人教版八年级数学上册15.2 分式的运算课件（34张ppt）

15.2 分式的运算
教学目标
1．类比分数的四则运算法则，探究分式的四则运算，掌握这些法则．
2. 能熟练借助分式的运算法则进行相关计算．
3．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系．
教学重点与难点
分式的四则运算．
分式的乘除
问题 1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，
底面的长为a，宽为b，当容器内的水占容积的 时，
水面的高度为多少？
长方体容器的高为 ，水面的高度为 ．
问题 2 大拖拉机 m天耕地a hm2，小拖拉机n 天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍？
大拖拉机的工作效率是 hm2/天，小拖拉机的工作效率是 hm2/天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的 倍．
从上面的问题可知，为讨论数量关系有时需要进行分式的乘除运算．
分式与分数具有类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算法则．
思考
你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则吗？
类似于分数，分式有：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
上述法则可以用式子表示为
例 1 计算：
（1） ；
（2） .
解:（1） ；
（2）
例 2 计算：
（1） ；
（2） .
解：（1）
（2）
例 3 如下图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m（a＞1）的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m 的正方形，两块试验田的小麦都收获了500 kg．
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
解：（1）“丰收１号”小麦的试验田面积是(a2－1)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰收２号”小麦的试验田面积是 (a－1)2 m2 ，单位面积产量是
kg/m2 ．
∵　a＞1，
∴ (a－1)2＞0，a2－1＞0．
由上右图可得(a－1)2＜a2－1 ．
∴ ＜
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）
所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍．
例 4 计算：
解：
思考
根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
；
.
一般地，当n 是正整数时，
n 个
n 个
n 个
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
例 5 计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
分式的加减
问题3　甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ，两队共同工作一天完成这项工程的( ＋ )．
问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积（单位：km2）分别是 S1，S2，S3，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？
2011年的森林面积增长率是 ，2010 年的森林面积增长率是 ，2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了 － .
从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要进行分式的加减运算．
思考
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同.观察下列分数加减运算的式子：
．你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
类似分数的加减法，分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则可用式子表示为
例 6 计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
例 7 计算：
解：
例 8 计算：
（1）
（2）
解：（1）
（2）
整数指数幂
我们知道，当n 是正整数时，
an＝a·a·…·a.
n 个
正整数指数幂有以下运算性质：
（1）a m·a n＝a m＋n（m，n 是正整数）；
（2）(a m)n＝a mn（m，n 是正整数）；
（3）(ab)n＝anbn（n 是正整数）；
（4）a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n是正整数，
m＞n）；
其中，第（5）个性质就是分式的乘方法则．
此外，我们还学习过 0 指数幂，即当a≠ 0时，a 0＝1.
（5） （n是正整数）．
思考
a m中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂a m表示什么？
由分式的约分可知，当a≠0时，
①
另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质（4）
a m÷a n＝a m－n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）中的条件m＞n去掉，即假设这个性质对于像a 3÷a 5的情形也能使用，则有
a 3÷a 5 ＝a 3－5＝a －2.
②
由①②两式，我们想到如果规定 (a≠0)，
就能使a m÷a n＝a m－n 这条性质也适用于像 a 3÷a 5 这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当 n 是正整数时
(a≠ 0).
这就是说，a－n（a≠0）是a n 的倒数．
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数．
思考
引入负整数指数和0指数后， a m·an＝a m＋n （m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n 是任意整数的情形？
我们从特殊情形入手进行研究．例如，
归纳
a m·a n＝a m＋n 这条性质对于m，n 是任意整数的情形仍然适用．
探究
类似地，你可以用负整数指数幂或 0 指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行试验，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，前面提到的运算性质也推广到整数指数幂．
例 9 计算：
（1）a－2÷a5；
（2）
（1）(a－1b2)3；
（4）a－2b2·(a2b－2)－3.
解：（1） a－2÷a5＝a－2－5＝a－7
（2）
（3） (a－1b2)3＝a－3b6
（4）a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8
（1）am·an ＝am＋n（m，n是整数）；
（2）(am)n ＝amn（m，n是整数）；
（3）(ab)n ＝anbn（m，n是整数）.
根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时， am÷an＝am－n，am·a－n＝am＋(－n )＝am－n，因此am÷an＝am·a－n，即同底数幂的除法am÷an可以转化为同底
数幂的乘法am·a－n．特别地， ＝a÷b＝a·b－1，所以， ＝(a·b－1)n ，即商的乘方 可以转化为积的乘方(a·b－1)n．这样，整数指数幂的运算性质可以归结为：
例10 纳米（nm）是非常小的长度单位，1 nm＝10－9m．把1 nm3的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放到地球上．1 mm3的空间可以放多少个1 nm3 的物体（物体之间的间隙忽略不计）？
解：1 mm＝10－3m，1 nm＝10－9m．
　　(10－3)3÷(10－9)3＝10－9÷10－27＝10－9－(－27)
＝1018．
1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
1018是一个非常大的数，它是 1 亿（即108）的100 亿（即1010）倍．
再见！