人教版九年级数学上册24.1.2-垂径定理的应用(用)1课件（共39张）

九年级数学(下)
圆
2. 圆对称性(2)
垂径定理的应用
垂径定理三种语言
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
老师提示:
垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想 P90
1
驶向胜利的彼岸
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
如图∵ CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC =BC,
⌒
⌒
AD=BD.
垂径定理的应用
例1 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点o是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且oE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
想一想P91
2
驶向胜利的彼岸
解:连接oC.
●
O
C
D
E
F
┗
垂径定理三角形
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量.
想一想 P补
7
⑴d + h = r
⑵
已知：如图，直径CD⊥AB，垂足为E .
⑴若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长.
⑵若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.
⑶由⑴ 、⑵两题的启发，你还能编出什么其他问题？
例2、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　　　　　.
变式：如下图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?
例3. 思考：过圆内一定点的弦中，
弦最短。

变式1：如图，P为⊙O内一点，且OP＝2，⊙O的半径为3，则过P的最短的弦等于___________。



O

P
已知P为
内一点，且OP＝2cm，如果
的半径是
，那么过P点的最短
的弦等于　　　　　.
例4.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
E
D
┌
600
情况1：
B
A
O
600
? 650
D
情况2：
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，，AB=6cm，CD=8cm，
⊙O的半径为5cm，
思考题：
（1）请根据题意画出符合条件的图形
（2）求出AB、与CD间的距离。
（1）
（2）
例5. 已知： （如图），求作： 的中点。

D

C

E

A

B


A

B

例5. 已知： （如图），求作： 的中点。

A

B

赵州石拱桥
1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
随堂练习P92
3
驶向胜利的彼岸
你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？
赵州石拱桥
随堂练习P92
4
驶向胜利的彼岸
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
船能过拱桥吗
例6 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
相信自己能独立完成解答.
做一做P补
5
驶向胜利的彼岸
船能过拱桥吗
解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根
据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高.
由题设得
做一做P补
6
驶向胜利的彼岸
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）.
在Rt△ONH中，由勾股定理，得
∴此货船能顺利通过这座拱桥.
范例
例7、如图，在⊙O中，弦AB长8cm，
圆心O到AB的距离为3cm，求的⊙O
半径。
O
B
A
转化思想
圆的线段问题转化
为直角三角形问题
变式1：如上图，若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?
变式2：如下图，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗?
变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。

B

O

A

C


D

变式3：如图，设AO＝BO，求证AC＝BD。
变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。

A

O

B

C


D

变式4：如图，设OC＝OD，求证AC＝BD。
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!
再见
三、计算题：
已知：在⊙O中，弦AB⊥CD于P，⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，
OE⊥AB，OF⊥CD。
求四边形OEPF的周长
4
3
5
5
3
4
例2、 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证:AC=BD．
学生练习
已知：AB是⊙O直径，CD
是弦，AE⊥CD，BF⊥CD
求证：EC＝DF
.
A
O
B
E
C
D
F
1. 如图,圆O中，AB,CD 是两条弦E，F分别是AB，CD的中点，EF过圆心O，CD?AB为什么？
F
A
B
C
D
E
.O
分析：
CD ? AB
?CFE=90 ?
?BEF=90 ?
OF?CD
OE ?AB
OF过圆心
OE过圆心
点F是CD中点
点E是AB中点
?CFE= ?BEF
2. 在我们生活中处处存在数学问题，比如：某村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱的圆心距地面２米，半径１.５米。现有一辆高２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通过这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用圆的有关知识，
C
D
O
A
B
E
F
M
3.如图，不过圆心的直线L交⊙O 于CD，AB 是⊙O 直径。AE、BF分别垂直于CD，垂足是E、F。
求证：CE=DF
4.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
E
D
┌
600
情况1：
B
A
O
600
? 650
D
情况2：

例3:图示，在直角三角形ＡＢＯ中，角Ｏ为直角，ＡＯ＝６，ＢＯ＝８，以Ｏ为圆心，ＯＡ为半径作圆，交ＡＢ与点Ｃ，求ＢＣ的长。
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）
挑战自我画一画
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，D为
AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，
CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.
挑战自我画一画
4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
·
A
B
C
D
0
E
F
G
H
巩固训练
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
　②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦
④平分弦的直径垂直于这条弦
⑤弦的垂直平分线是圆的直径
⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦
⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，　
　必平分此弦所对的弧
⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对　
　的两条弧分别三等分
挑战自我
P93:习题3.2 1题
祝你成功!
独立作业P91
11
驶向胜利的彼岸
结束寄语
形成天才的决定因素应该是勤奋.
下课了!
再见