江苏省如皋市三校2021届高三12月联考数学试题 Word版含答案

如皋中学、丹阳中学、如东中学2021届高三12月份联考试卷
数学试卷
时长：120分钟 分值：150分
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在.每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足false，其中i为虚数单位，则复数z的模为（ ）
A.false B.false C.false D.false
2.已知false，false，false，则a，b，c从小到大依次为（ ）
A.false B.false C.false D.false
3.已知向量false，false满足false，false，且false，则false与false的夹角为（ ）
A.false B.false C.false D.false
4.《周髀算经》中给出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论.已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为（ ）
A.false B.false C.false D.false
5.函数false的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.函数false（false，false，false）在R上的部分图象如图所示，则false的值为（ ）
A.false B.false C.0 D.false
7.已知偶函数false的定义域为R，且false是奇函数，下列说法正确的是（ ）
A.函数false为偶函数 B.函数false为偶函数
C.函数false是以2为周期的周期函数 D.函数false是以4为周期的周期函数
8.棱长为6的正四面体false与正三棱锥false的底面重合，若由它们构成的多面体false的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥false的体积为（ ）
A.false B.false C.false D.false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是（ ）
A.“false”是“false”的必要不充分条件；
B.“false”是false”的充要条件；
C.“false，false”是真命题；
D.“false，false”的否定是：“false，false”
10.已知双曲线的中心在原点，左焦点false，右焦点false均在坐标轴上，离心率为false，且过点false，点false在双曲线上.（ ）
A.双曲线方程为false B.false的面积为6
C.false D.false
11.如图，正方体false的棱长为1，E为false的中点（ ）
A.直线false与直线false是异面直线
B.在直线false上存在点F，使false平面false
C.直线false与平面false所成角是false
D.点B到平面false的距离是false
12.学校开展劳动实习课，某班将在如图的曲边梯形false的场地中建矩形花圃false，经建系测绘，收集到以下信息：false，false，false，false，曲边false可近似看作是函数false图象的一段，false，false.现要求矩形花圃false的顶点E，F，H分别落在边false，边false和曲边false上，若H点的横坐标为x且false，花圃false的面积S与x的函数关系式记为false.则（ ）
A.false在false上单调递增
B.false在false上先单调递增再单调递减
C.false在false上存在最大值
D.false最大为21
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.已知随机变量X服从正态分布false且false，则false__________
14.数列false为等比数列，其前n项的乘积为false，若false，则false__________.
15.在平面直角坐标系false中，已知抛物线false（false）的焦点为Ｆ，准线为l，l与x轴交于点C，若点A在l上，点B为抛物线上第一象限内一点，直线false与抛物线交于另一点D，false是正三角形，且四边形false的面积是false，则false__________；false的面积是__________.（本题第一空2分，第二空3分）
16.如图，三棱锥false中，false，false，false，false，false，false.点Q在棱false上且false，则直线false与平面false所成的角是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知等差数列false满足false，false.等比数列false各项均为正数且满足：false，false.
（1）求数列false和数列false的通项公式；
（2）设false，求数列false的前n项和false.
18.（12分）在①false，②false，③false这三个条件中选两个能解决问题的条件，补充在下面的问题中，并解决该问题.
在false中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足false.
（1）求A的大小；
（2）已知false存在，且_________，_________，求false的面积.
19（12分）如图在四棱锥false中，false平面false，四边形false为梯形，false，false，E为侧棱false上一点，且false，false，false，false.
（1）证明：false平面false.
（2）求平面false与平面false所成锐二面角的余弦值.
20.（12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病，而今年出现的新型冠状病毒（COVID-19）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p（false）.现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”
（1）若按方案一且false，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
（2）若false，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一、二、三中哪个最“优”？
（3）若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求P的取值范围.
21.（12分）已知函数false（false），其中e为自然对数的底数，false.false是函数false的极大值或极小值，则称false为函数false的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点.
（1）函数false在false上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）判断函数false的极值点的个数，并说明理由；
（3）当函数false有两个不相等的极值点false和false时，证明：false.
22.（12分）在平面直角坐标系false中，已知椭圆C：false（false）过点false，false，false分别为椭圆C的左、右焦点且false.
（1）求椭圆C的方程；
（2）动直线l：false（false）交椭圆C于A，B两点，交轴于点M.点N是M关于O的对称点，false的半径为false.设D为false的中点，false，false与false分别相切于点E，F，求false的最小值.
2021届高三12月份联考试卷
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在.每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】C 4.【答案】B
5.【答案】C 6.【答案】B 7.【答案】D 8.【答案】A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.【答案】BC 10.【答案】ABD 11.【答案】BCD 12.【答案】AD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.【答案】0.4 14.【答案】1 15.【答案】3；false 16.【答案】false
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）false；false
（2）false
false
false
两式相减得false
false，所以false.
18.解：（1）因为false.
又由正弦定理false，得false，
即false，所以false，
因为false，所以false.
（2）不能选①和②：若选条件①和②，在三角形中，因为false由正弦定理得
false不成立，所以这样的锤子数学三角形不存在.
只能选：②和③或①和③
若选条件②和③，
由余弦定理false，得false，则false，
所以false
所以false
所以false的面积false.
若选条件①和③.
由正弦定理false，得false
false.
false
所以false的面积false.
19.解：（1）证明：如图所示，连接false交false于点F，连接false.
∵四边形false为梯形，且false，∴false，即false，
在false中，∵false，false，∴false
又false平面false，false平面false，∴false平面false
（2）如图所示，以点A为坐标原点，以分别以false、false、false为x轴、y轴和z轴建立锤子数学空间直角坐标系，则false，false，false，false，false
所以，false，false，false，false，
设false和false分别是平面false和平面false的法向量，则false，得false，令false
得false，false，即false，
false，得false，令false得false，false，
即false
所以，false，
故平面false和平面false所成角锐二面角的锤子数学余弦值为平面false.
20.解：（1）用X表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则false
由题意可知，false
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为X，则随机变量X的可能取值为1、5，
false，false，
所以，随机变量X的分布列如下表所示：
X
1
5
P
false
false
所以，方案二的锤子数学期望为false
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测吹数为1次，其概率为false；
若呈阳性则检测次数为3次，其概率为false.
设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y的可能取值为2、4、6，
false，false，false.
所以，随机变量Y的分布列如下表所示：
X
2
4
6
P
false
false
false
所以，方案三的期望为false.
比较可得false
故选择方案一最“优”；
（3）方案二：记检测次数为X，则随机变量X的锤子数学可能取值为1、5，
false，false，
随机变量X的分布列如下表所示：
X
1
5
P
false
false
所以，随机变量X的数学期望为false，
由于“方案二”比“方案一”更“优”，则false，
可得false，即false，解得false，
故当false时，方案二比方案一更“优”.
21.解：（1）false在false上恒成立，false恒成立；解得false.
（2）false，令false，则false
①当false时，false，false在false上锤子数学单调递增
又false，false，于是false在false上有一个零点false
x
false
false
false
false
－
0
＋
false
false
极小值
false
于是函数false的有1个极值点；
②当false时，false单调递增，于是函数false没有极值点；
③当false时，由false得false
x
false
false
false
false
－
0
＋
false
false
false
false
false，当且仅当false时，取“=”号，函数false在false上单调递增，
于是函数false没有极值点；
④当false时，
x
false
false
false
false
－
0
＋
false
false
false
false
false，false又∵false ∴false
于是，函数false在false和false上各有一个零点，分别为false，false
x
false
false
false
false
false
false
＋
0
－
0
＋
false
false
极大值
false
极小值
false
于是，函数false的有2个极值点；
综上：当false时函数false的有1个极值点；当false时函数false没有极值点；
当false时函数false的锤子数学有2个极值点.
（2）当函数false有两个不相等的极值点false和false时，
由（2）知false且false，false
令false，false，由false得false
x
false
false
false
false
＋
0
＋
false
false
非极值点
false
false即false即false
∵false，false，false在false单调递增
∴false即false
又false，∴false.
22.解：（1）设false，false，
则false，false.∵false，∴false
又false在椭圆上，故false，又false，解得false，false，
故所求锤子数学方程为false.
（2）设false，false，联立方程false得false，
由false，得false（*）且false，因此false
所以false，又false，所以false，
整理得：false，因为false，
所以false.
令false，false，故false，
所以false.
令false，所以false
当false时，false，从而false在false上单调递增，
因此false，等号当且仅当false时成立，此时false，所以false，
由（*）得false且false，故false，
设false，则false，所以false的最小值为false.
从而false的最小值为false，此时直线/的斜率为0.
综上所述：当false，false时，false取得最小值为false.