(共31张PPT)
7.3 正切函数的图象与性质
课标阐释
1.能够正确画出正切函数的图象.(数学抽象)
2.会通过正切函数的图象研究其性质.(逻辑推理)
3.能运用正切函数图象与性质解决问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.同学们,你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法,研究正切函数的图象和性质吗?
激趣诱思
知识点拨
一、正切函数的图象
1.正切函数y=tan
x的图象:
2.正切函数的图象叫作正切曲线.
3.正切函数的图象特征:正切曲线是被相互平行的直线
x=
+kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习
画出函数y=|tan
x|的图象.
性质
y=tan
x
定义域
?
值域
R
奇偶性
奇函数
单调性
单调递减区间:无
周期性
最小正周期是π
对称中心
激趣诱思
知识点拨
二、正切函数的性质
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)正切函数在定义域上是增函数.( )
(3)函数y=tan(π-x)是奇函数.( )
(4)正切曲线相邻两个与x轴的交点间的距离恰好为该函数的周期.
( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
正切函数的定义域与值域问题
例1求下列函数的定义域和值域:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
求正切函数定义域的方法及注意事项:
求与正切函数有关的函数定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan
x有意义,即x≠
+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用正切函数的图象求解.
解形如tan
x>a的不等式的步骤:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
正切函数的图象及其应用
例2解不等式tan
x≥-1.
解作出y=tan
x一个周期的图象,如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
利用正切函数图象解决不等式的解决方法
解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
正切函数的单调性及应用
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
运用正切函数的单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
(2)运用单调性比较大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
(2)判断函数y=sin
x+tan
x的奇偶性.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为
,常常利用此公式来求周期.
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案(1)C (2)A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
答案-5(共38张PPT)
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
课标阐释
1.了解位移、速度和力等向量的实际背景,初步认识现实生活中向量和数量的区别.(数学抽象)
2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、单位向量、相等向量、平行(共线)向量、相反向量等概念.(数学抽象)
3.掌握平面向量的表示方法.
4.了解向量的夹角.(数学抽象)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
帆船运动是借风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.1900年第二届奥运会将其列为正式比赛项目.帆船的最大动力来源是“伯努利效应”,如果一艘帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以20
km/h的速度行驶,而此时水的流向是正东,流速为20
km/h.若不考虑其他因素,可求得帆船的速度的大小和方向.
在现实生活和科学实验中常常会遇到两类量,一类量是只有大小而没有方向,这类量叫作数量;另一类量是既有大小又有方向,即本章要学习的向量.
激趣诱思
知识点拨
一、向量的背景及向量的概念与表示
1.向量的背景及向量的概念
(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小、又有方向的量,在物理中称为矢量.
(2)向量:既有大小,又有方向的量称为向量.
(3)数量:那些只有大小没有方向的量称为数量(如年龄、长度、体重、面积、体积等).
激趣诱思
知识点拨
(4)有向线段:在物理学中,位移、速度和力通常用一条带箭头的线段表示,箭头表示这些量的方向,线段表示这些量的大小.在数学中,这些具有方向和长度的线段称为有向线段.(如图)以A为起点,B为终
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量与数量有什么联系和区别?
答案联系是向量与数量都是有大小的量;区别是向量有方向且不能比较大小,数量无方向且能比较大小.?
微探究1
有向线段就是向量,向量就是有向线段吗?
答案有向线段是一个几何图形,是向量的直观表示.因此,有向线段与向量是完全不同的两个概念.
激趣诱思
知识点拨
2.向量的表示方法
(1)几何表示:向量可以用有向线段表示,其中有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向.
3.有关概念
(1)向量a的大小,记作|a|,又称作向量的模.
(2)长度为0的向量称为零向量,记作0或
.任何方向都可以作为零向量的方向.
(3)模等于1个单位长度的向量称为单位向量.
激趣诱思
知识点拨
微探究2
零向量的方向是什么?两个单位向量的方向相同吗?
答案零向量的方向是任意的.两个单位向量的方向不一定相同.
微练习
下列物理量中不是向量的个数是( )
①质量 ②速度 ③力 ④加速度 ⑤路程 ⑥密度 ⑦功 ⑧电流强度
A.5
B.4
C.3
D.2
解析看一个量是否为向量,就要看它是否具备向量的两个要素——大小和方向,特别是方向的要求,对各量从物理本身的意义作出判断.②③④既有大小也有方向,是向量,①⑤⑥⑦⑧只有大小没有方向,不是向量.
答案A
激趣诱思
知识点拨
二、相等向量与共线向量
1.相等向量:指它们的长度相等且方向相同.向量a与b相等,记作a=b.
2.共线向量:若两个非零向量a,b的方向相同或相反,则称这两个向量为共线向量或平行向量,也称这两个向量共线或平行,记作a∥b.
两个向量共线或平行,是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行.
3.相反向量:两个向量的长度相等、方向相反.相反向量是共线向量.若其中一个向量为a,则它的相反向量记作-a.
4.规定零向量与任一向量共线,即对于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.共线向量
(1)向量共线时,向量所在的直线平行或重合.
(2)向量共线中的“共线”的含义不是平面几何中的“共线”的含义,共线向量有四种情况:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.
(3)如果两个向量所在的直线平行或重合,则这两个向量是共线向量.
(4)任一向量都与它本身是共线向量.
激趣诱思
知识点拨
2.相等向量
(1)两个向量只有当它们的模相等,且方向相同时,才能称它们相等,例如a=b就意味着|a|=|b|,且a与b的方向相同.
(2)任意两个相等的非零向量都可用同一条有向线段表示,并且与有向线段的起点无关,只有大小和方向两个要素.
(3)向量是可以平行移动的,用有向线段表示向量时,可任意选择起点,即任意一组平行向量都可以移到同一条直线上.
(4)在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)若a=b,b=c,则a=c.( )
(2)若a∥b,则a与b的方向一定相同或相反.( )
(4)向量的模是一个正实数.( )
答案(1)√ (2)× (3)× (4)×
激趣诱思
知识点拨
三、向量的夹角
1.定义:已知两个非零向量a和b,如图,在平面内选一点O,作
,则θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)称为向量a与b的夹角.
当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
2.规定零向量可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都有0⊥a.
激趣诱思
知识点拨
名师点析对向量的夹角的理解
(1)向量夹角的几何表示.
依据向量夹角的定义,两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点,这样它们所成的角才是两个向量的夹角.如图①②③④⑤,已知两向量a,b,作
,则∠AOB为a与b的夹角.
激趣诱思
知识点拨
(2)注意事项.
①向量的夹角是针对非零向量定义的;②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的,它们分别是[0,π]和
激趣诱思
知识点拨
微探究
激趣诱思
知识点拨
微练习
试指出图中向量的夹角.
激趣诱思
知识点拨
答案(1)θ (2)0° (3)180° (4)θ
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的有关概念
例1给出以下说法:
①若|a|=0,则a为零向量;
②单位向量都相等;
③若a与b共线,则a与b的方向相同或相反;
④向量的模一定是正数;
⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;
其中正确说法的序号是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解析①正确,模等于0的向量是零向量;
②错误,单位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,单位向量不一定相等;
③错误,由于零向量与任一向量共线,且方向是任意的,因此,当a与b共线且其中有一个零向量时,它们的方向不一定相同或相反;
④错误,向量的模是非负实数,可能是零;
⑤正确,对于一个向量只要不改变其模的大小和方向,是可以任意移动的,因此相等向量可以起点不同;
⑥错误,共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两个向量必须在同一直线上.
答案①⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
向量及其相关概念的注意事项
1.区分向量与数量.向量既强调大小,又强调方向,而数量只与大小有关.
2.明确向量与有向线段的区别.有向线段有三要素,即起点、方向、长度,只要起点不同,另外两个要素相同也不是同一条有向线段;但决定向量的要素只有大小和方向,与表示向量的有向线段的起点无关.
3.零向量和单位向量都是通过模的大小来规定的.
4.平行向量也叫共线向量,当两个共线向量的方向相同且模相等时,两个向量为相等向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练1下列说法正确的是( )
A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小
B.向量的模可以比较大小
C.模为1的向量都是相等向量
D.由于零向量的方向不确定,因此零向量不能与任意向量平行
解析向量不能比较大小,故A不正确;向量的模是一个数量,可以比较大小,故B正确;相等向量不但模相等,方向也相同,故C不正确;规定零向量与任意向量平行,故D不正确.
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的表示
例2一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100
km到达点B,然后又改变方向向北偏西40°行驶了200
km到达点C,最后又改变方向,向正东行驶了100
km到达点D.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
解(1)所作向量如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
1.作平面向量时既要考虑向量的大小,又要考虑其方向和起点,必要时可以建立坐标系辅助作图.
2.准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的模的大小确定向量的终点.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
变式训练2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺画出下列向量:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
相等向量与共线(平行)向量
例3(1)
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
(2)O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED,OCFB都是正方形,在如图所示的向量中:
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
反思感悟
相等向量与共线向量的探求方法
1.寻找相等向量:先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量,再确定哪些是同向共线.
2.寻找共线向量:先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段,再构造同向与反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点,起点为终点的向量.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
向量的夹角
例4在正方形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,指出下列各组向量的夹角.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
1.(2020山东济宁第二中学高一月考)关于零向量,下列说法中错误的是( )
A.零向量没有方向
B.零向量的长度是0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
解析由定义可得,零向量的长度为0,方向任意,且零向量与任意向量都平行,所以选项A错误,所以选项B,C,D正确.故选A.
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
2.(多选)下列说法中不正确的是( )
A.单位向量的模都相等
B.长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
C.若a与b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b
D.若a,b都是单位向量,则a=b
解析单位向量的模为1,故A正确;向量共线包括同向和反向,故B不正确;向量不能比较大小,故C不正确;a,b都是单位向量,模相等但方向不一定相同,则不一定有a=b,故D不正确.故选BCD.
答案BCD
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
答案B
4.零向量与单位向量的关系是 (填“共线”“相等”或“无关”).?
解析零向量与任一向量共线.
答案共线(共24张PPT)
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
课标阐释
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角.(数学运算)
2.掌握向量垂直条件的坐标形式,并能灵活运用.(数学运算、逻辑推理)
3.会利用数量积计算长度与角度.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示.它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”,从而使几何问题数量化,把“定性”研究推向“定量”研究.
激趣诱思
知识点拨
一、向量数量积的坐标表示
数量积的坐标形式:已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2,即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
名师点析数量积的坐标形式的推导
在平面直角坐标系中,设i,j分别是x轴和y轴方向上的单位向量,则a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i·i+x1y2i·j+x2y1j·i+y1y2j·j.
因为i·i=j·j=1,i·j=j·i=0,
所以a·b=x1x2+y1y2.
激趣诱思
知识点拨
微思考
用向量的数量积的坐标表示求数量积的优势是什么?
答案优势是不需求向量的模和夹角,直接求数量积,简化了运算.
微练习
已知a=(-3,4),b=(5,2),则a·b的值是( )
A.23
B.7
C.-23
D.-7
解析a·b=(-3,4)·(5,2)=-3×5+4×2=-7.
答案D
激趣诱思
知识点拨
二、向量的模与夹角的坐标表示
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1y2-x2y1=0.( )
答案(1)× (2)×
微练习1
若a=(1,m),且|a|=2,则m的值为 .?
激趣诱思
知识点拨
答案120°
微练习3
已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且a⊥b,则由x的值构成的集合是( )
A.{2,3}
B.{-1,6}
C.{2}
D.{6}
解析因为a⊥b,所以a·b=2(x-5)+3x=0,解之,得x=2,则由x的值构成的集合是{2}.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
数量积的坐标运算
角度1 数量积的基础坐标运算
例1已知向量a=(-1,2),b=(3,2).
(1)求a·(a-b);
(2)求(a+b)·(2a-b);
(3)若c=(2,1),求(a·b)·c,a·(b·c).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解(1)a·(a-b)=a·a-a·b
=(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
(2)因为a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),
2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),
所以(a+b)·(2a-b)=(2,4)·(-5,2)=2×(-5)+4×2=-2.
(3)(a·b)·c=[(-1,2)·(3,2)](2,1)
=(-1×3+2×2)(2,1)=(2,1).
a·(b·c)=(-1,2)[(3,2)·(2,1)]
=(-1,2)(3×2+2×1)=8(-1,2)=(-8,16).
探究一
探究二
探究三
当堂检测
角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
答案5
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用坐标运算解决模的问题
例3已知向量a=(1,2),b=(3,-1).
(1)求|a-2b|;
(2)求与a垂直的单位向量;
(3)求与b平行的单位向量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用坐标运算解决夹角与垂直问题
例4已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
解(1)因为a∥b,所以3x=4×9,即x=12.
因为a⊥c,所以3×4+4y=0,所以y=-3.
故b=(9,12),c=(4,-3).
(2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4),
n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1).
设m,n的夹角为θ,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究本例中,其他条件不变,若向量d=(2,1),且c+td与d的夹角为45°,求实数t的值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.已知a=(3,4),b=(-2,-1),则(a-b)·(a+2b)等于( )
A.5
B.10
C.15
D.20
解析(a-b)·(a+2b)=(5,5)·(-1,2)=-1×5+2×5=5.
答案A
2.已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3),且a⊥b,则x=( )
A.-3
B.-1
C.1
D.-9
解析a·b=3x-3=0,解得x=1.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.设向量a与b的夹角为θ,且a=(3,3),2b-a=(-1,1),则cos
θ= .?
解析设b=(x,y),则2b-a=(2x,2y)-(3,3)=(2x-3,2y-3)=(-1,1),
所以2x-3=-1,2y-3=1,解得x=1,y=2.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若|a+b|不超过5,则k的取值范围是 .?
答案-6≤k≤2(共21张PPT)
4.1 平面向量基本定理
课标阐释
1.理解基、正交分解、标准正交基的概念,并能判断两个向量是否是平面上的一组基.(数学抽象)
2.掌握平面向量基本定理.(数学抽象)
3.能运用平面向量基本定理和向量的线性运算解决有关问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
情境1:在物理中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同方向的力.试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和?
情境2:导弹升空的某一时刻,速度可以分解成竖直向上和水平方向的两个分速度.
激趣诱思
知识点拨
平面向量基本定理
如果e1和e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向量a,存在唯一的一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基,记为{e1,e2}.
若基中的两个向量互相垂直,则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解.若基中的两个向量是互相垂直的单位向量,则称这组基为标准正交基.
名师点析1.0向量不能与另外一个向量构成一组基.因为0与任一向量是共线的.
2.平面向量的基不是唯一的.同一平面内的任何两个不共线的向量都可以作为一组基.这组基一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一组基唯一表示.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
两个单位向量能作为一组基吗?
解析不共线的两个单位向量能作为一组基.
微思考2
如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么?
答案不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示.
激趣诱思
知识点拨
微练习
设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基的是 .?
①e1,e2;
②e1,2e1;
③e1,2e2;
④e2,2e2.
解析由于e1,e2不共线,则e1,2e2不共线,所以①③中的向量组都可以作为基;因为e1与2e1共线,e2与2e2共线,所以②④中的向量组都不能作为基.故填②④.
答案②④
探究一
探究二
探究三
当堂检测
对平面向量基本定理的理解
例1给出下列命题:
①若向量e1,e2不共线,则空间中的任一向量a均可表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R);
②若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2线性表示;
③若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式.
其中不正确命题的序号是 .?
答案①②③
反思感悟
平面向量基本定理是指平面内任一向量均可用平面内的两个不共线向量线性表示,且表示方法是唯一的.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1设e1,e2是平面向量的一组基,则下面四组向量中,不能作为一组基的是( )
A.2e1+e2和e2-e1
B.3e1-2e2和4e2-6e1
C.e1+2e2和e2+2e1
D.e2和e1+e2
解析B中,3e1-2e2=-
(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,不能作为一组基.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
用基表示向量
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
用一组基表示向量的注意事项
平面内任一向量都可用一组基来表示,在表示过程中,主要结合向量的线性运算完成这种向量表示.注意以下几点:
(1)通常选取有公共点的两个不共线向量作为基;
(2)注意平面向量基本定理的应用;
(3)注意a,b不共线,则0=0×a+0×b是唯一的;
(4)充分利用首尾相连的向量所表示的等量关系;
(5)利用同一向量的多种表示方法建立等量关系,也是常用技巧.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究将本例中“M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“M是AB上靠近A的一个三等分点”,“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“N为OA的中点”,求BP∶PN的值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量基本定理与线性运算的综合运用
例3在△ABC中,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
在三角形中,中线、重心等与向量的关系非常重要,一些结论的用处非常广泛,须熟记.例如,在△ABC中,若M是重心,AD,BE,CF是三条中线,则下列结论都是成立的:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
4.若a与b是一组基,p=a+mb,q=ma+2b,且p与q不能组成一组基,则实数m= .?
解析因为p与q不能组成一组基,所以p∥q,
所以存在实数λ,使p=λq,
所以有a+mb=λ(ma+2b),
即a+mb=λma+2λb,(共30张PPT)
4.2 平面向量及运算的坐标表示
课标阐释
1.理解平面向量坐标的概念,会求平面向量的坐标.(数学抽象)
2.掌握平面向量的坐标运算法则,会进行坐标运算.(数学运算)
3.掌握用坐标表示两个向量共线的条件,能运用两向量共线的条件解决相关问题.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”向量是数形结合的典范.一方面,向量的有向线段表示法是用平面几何知识解决向量问题的基础,为灵活运用几何知识及图形性质解决向量问题提供了保证;另一方面,向量的符号语言和坐标语言又很好地加强了向量与实数之间的联系.本节课我们体会向量的坐标语言美.
激趣诱思
知识点拨
一、平面向量的坐标表示
因此,a=xi+yj.我们把(x,y)称为向量a在标准正交基{i,j}下的坐标,向量a可以表示为a=(x,y).
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.把一个平面向量分解成两个互相垂直的向量,叫作平面向量的正交分解.
2.向量与坐标的关系:
3.向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同.当且仅当向量的起点是原点时,向量的坐标和这个向量终点的坐标才相同.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
平面内的一个向量a,其坐标是唯一的吗?
答案由平面向量坐标的概念可知.平面内的一个向量a的坐标是唯一.
微思考2
若
=(-2
019,2
020),则点A的坐标为(-2
019,2
020)正确吗?
答案正确.对于从原点出发的向量,其终点坐标与向量的坐标表示相同.
微思考3
正交分解与平面向量基本定理有何联系?
答案正交分解是平面向量基本定理的特殊形式(基垂直).
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
二、平面向量运算的坐标表示
1.加法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),即两个向量和的坐标,等于这两个向量相应坐标的和.
2.减法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2),即两个向量差的坐标,等于这两个向量相应坐标的差.
3.数乘:若a=(x1,y1),设λ∈R,则λa=(λx1,λy1),即实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的乘积.
4.给定点A(x1,y1),B(x2,y2),则
=(x2-x1,y2-y1),即一个向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.进行向量的坐标运算时,应先将平面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算规则进行计算.
2.进行平面向量坐标运算时,先分清向量坐标与向量起点、终点的关系.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
A.-1
B.-1或4
C.4
D.1或-4
答案A
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案(-1,2)
激趣诱思
知识点拨
三、平面向量平行的坐标表示
两个向量共线的坐标表示:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0.
名师点析1.相等向量的坐标是相同的,但是两个相等向量的起点、终点的坐标可以不同.
2.若两个向量(与坐标轴不平行)平行,则它们相应的坐标成比例,反之也成立.
激趣诱思
知识点拨
微练习
解析因为2a+b=(16+x,x+1),b=(x,1),所以x(x+1)-(16+x)=0.解得x=-4或x=4(舍去).
答案-4
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求平面向量的坐标
例1(1)设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j,求a+b与a-b的坐标.
(2)已知△ABC的三个顶点分别是A(4,6),B(7,6),C(1,8),D为BC的中
解(1)因为a=3i+4j,b=-i+j,
所以a+b=(3i+4j)+(-i+j)=2i+5j,
a-b=(3i+4j)-(-i+j)=4i+3j.
又i=(1,0),j=(0,1),所以a+b与a-b的坐标分别是(2,5),(4,3).
(2)因为B(7,6),C(1,8),
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
1.若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).
2.向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标,只有当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
3.求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案(1)B (2)(1,-1) (1,1) (-1,1)
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量的坐标运算
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
进行平面向量的坐标运算时,应先将向量用坐标表示出来.一般地,已知有向线段两端点的坐标,应先求出向量的坐标.求一个点的坐标时,可以转化为求该点相对于坐标原点的向量的坐标.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2(1)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c等于( )
A.3a+b
B.3a-b
C.-a+3b
D.a+3b
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
平面向量平行的条件及应用
(2)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时,它们是同向还是反向?
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
(2)解ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
因为(ka+b)∥(a-3b),
所以(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
利用向量坐标判断向量共线或三点共线的方法
1.利用向量的坐标判断两向量是否平行时,可先求出需要判断的向量的坐标,再依据坐标关系来说明两个向量平行,即:若已知
3.利用向量解决三点共线问题的思路:先利用三点构造出两个向量,求出唯一确定的实数λ使得两个向量共线.因为两个向量过同一点,所以两个向量所在的直线必重合,即三点共线.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
A.A点的坐标是(-2,4)
B.B点的坐标是(-2,4)
C.当点B是原点时,A点的坐标是(-2,4)
D.当点A是原点时,B点的坐标是(-2,4)
解析由任一向量的坐标的定义可知.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4).
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为( )
解析由已知得ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),
a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1).
又因为ma+4b与a-2b共线,所以有(2m-4)×(-1)-4×(3m+8)=0,解得m=-2.故选D.
答案D
4.已知a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),则当(a+λb)∥c时,λ= .?(共22张PPT)
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
课标阐释
1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切值.(数学运算)
2.理解并熟记正切函数的诱导公式.(逻辑推理)
3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦问题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究,那么正切函数是如何定义的呢?正切函数的诱导公式又是什么样的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、正切函数的定义
1.定义:
2.正切值在各象限中的符号
由正切函数的定义知:当角
α的终边在第一和第三象限时,正切值为正;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为负.
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.若一个角的某一个正切函数值是已知的,但这个角所在的象限或终边所在的位置没有给出,首先要根据已知的正切函数值确定这个角所在的象限或终边所在的位置,然后分不同的情况求解.
2.化简正切函数式常用技巧
减少不同名的三角函数,或化切为弦,或化弦为切,如涉及sin
α,cos
α的分式问题,常采用分子分母同除以cosnα(n∈N+),将被求式化为关于tan
α的式子.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
正切线
如图,在直角坐标系中,设单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0),任意角α的终边与单位圆交于点P,过点A(1,0)作x轴的垂线,与角的终边或终边的延长线相交于点T.从图中容易看出:当角α位于第一和第三象限时,点T位于x轴的上方;当角α位于第二和第四象限时,点T位于x轴的下方.过点P作x轴的垂线,与x轴交于点M,那么,不论角α的终边在第几象限,都有∠AOT与∠MOP的正切值相等.我们称线段AT为角α的正切线.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
二、正切函数的诱导公式
tan(kπ+α)=tan
α(k∈Z);tan(-α)=-tan
α;tan(π+α)=tan
α;tan(π-α)
名师点析1.正切函数的诱导公式可以用正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”.
2.利用诱导公式求任意角的正切函数值的步骤与求任意角的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为锐角再求值”,即由未知转化为已知的化归思想.
3.诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)因为3<4<5,所以tan
3
45.( )
(3)在△ABC中,若A>B>C,则tan
A>tan
B>tan
C.( )
答案(1)× (2)× (3)×
探究一
探究二
探究三
当堂检测
正切函数定义的应用
例1已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sin
α,cos
α,tan
α的值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
利用正切函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法有以下两种:
方法一,先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函数的定义求出相应的正切函数值.
方法二,注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用正切函数诱导公式求值
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法
1.正切函数的诱导公式通常结合已知角求值,即“知角求值”,关键是利用诱导公式将任意角的正切函数值转化为锐角,通常是特殊角的正切函数值.
2.“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
利用正切函数的诱导公式化简或证明
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
求正切函数值的流程图:
任意角的正切值→0~2π的角的正切值→锐角的正切值用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则:
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少.
(2)“大化小”,角尽可能化小.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练3化简:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.tan
660°的值为( )
答案C
2.下列各式成立的是( )
A.tan(π+α)=-tan
α
B.tan(π-α)=tan
α
C.tan(-α)=-tan
α
D.tan(2π-α)=tan
α
解析tan(π+α)=tan
α;tan(π-α)=-tan
α;tan(-α)=-tan
α;tan(2π-α)
=tan(-α)=-tan
α.故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共38张PPT)
6.1 探究ω对y=sin
ωx的图象的影响
6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
6.3 探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
课标阐释
1.掌握y=sin
x与y=sin
ωx,y=sin(x+φ),y=Asin(ωx+φ)(A>0且A≠1,ω>0且ω≠1,φ≠0)的图象间的关系,会进行函数图象的变换.(逻辑推理)
2.会用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,明确A,ω,φ的物理意义.(数学抽象)
3.掌握研究函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质的基本方法,会研究其性质.(数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
在物理学问题中,常见的电流、单摆、光波、机械波等都具有周期性,函数关系都是形如y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的形式,那么,你知道这类函数有什么性质吗?
激趣诱思
知识点拨
一、三角函数的图象变换
1.左、右伸缩变换
激趣诱思
知识点拨
2.左、右平移变换
3.上、下伸缩变换
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)图象上每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0x的图象
激趣诱思
知识点拨
3.上、下伸缩变换
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)的图象是将y=sin(ωx+φ)图象上每个点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0x的图象
激趣诱思
知识点拨
4.上、下平移变换
函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象,可以看作是把y=Asin(ωx+φ)上所有的点向上(当b>0时)或向下(当b<0时)平移|b|个单位长度得到的(可简记为上“+”下“-”),
名师点析函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中,参数A,ω,φ,b的变化引起图象的变换:A的变化引起图象中振幅的变换,即纵向伸缩变换;ω的变化引起周期的变换,即横向伸缩变换;φ的变化引起左右平移变换;b的变化引起上下平移变换.图象平移遵循的规律为“左加右减,上加下减”.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(2)把函数y=sin
x的图象上点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y=sin
3x的图象.
( )
(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( )
答案(1)× (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
(3)把函数y=sin
3x图象上所有点的 坐标缩短到原来的 ,即可得到函数y=sin
x的图象.?
(4)将函数y=4sin
x-1的图象向下平移2个单位,得到函数 的图象.?
激趣诱思
知识点拨
二、A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的影响
2.在函数y=sin(ωx+φ)中,φ决定了x=0时的函数值,通常称φ为
初相,ωx+φ为相位.
3.在函数y=Asin(ωx+φ)(A>0)中,A决定了函数y=Asin(ωx+φ)的值域以及函数的最大值和最小值,通常称A为振幅.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
A.4π,-2
B.4π,2
C.π,2
D.π,-2
答案B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案[0,2]
激趣诱思
知识点拨
三、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
1.定义域:R.
2.值域:[-A,A].
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个.如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减
的整数倍达到目的.
2.正弦函数、余弦函数的两个相邻的对称中心、两条相邻的对称轴之间的距离并不是函数的一个周期,而是半个周期.
激趣诱思
知识点拨
微练习
激趣诱思
知识点拨
四、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
1.用五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
激趣诱思
知识点拨
这五个点为
其中P1,P3,P5均为零点(图象与x轴的交点),P2是最大值点,P4是最小值点.
激趣诱思
知识点拨
(3)描点连线,作出函数在一个周期内的图象,再向左、右无限扩展,得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象.
名师点析由y=sin
x变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的方法
(1)先平移后伸缩:
激趣诱思
知识点拨
(2)先伸缩后平移:
激趣诱思
知识点拨
微思考
激趣诱思
知识点拨
微练习
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象
解列表.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的实质和步骤
(1)实质:利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
(2)步骤:
第一步,列表.
第二步,在同一坐标系中描出各点.
第三步,用光滑曲线连接这些点,得到图象.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解列表.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
正、余弦函数的图象变换
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
正、余弦函数图象的变换方法
1.对函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,φ≠0,b≠0),其图象的基本变换有四种.(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的.当A>1时其函数图象上每个点的纵坐标伸长;当A<1时其函数图象上每个点的纵坐标缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的.当ω>1时其函数图象上的所有点的横坐标缩短;当ω<1时其函数图象上的所有点的横坐标伸长.(3)相位变换(横向平移变换):是由φ的变化引起的.当φ>0时其函数图象上的所有点向左平移;当φ<0时其函数图象上的所有点向右平移.(4)上下平移(纵向平移变换):是由b的变化引起的.当b>0时其函数图象上的所有点向上平移;当b<0时其函数图象上的所有点向下平移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.
2.当相应的变换函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化相同,再利用相应的变换得到结论.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质
例3已知函数f(x)=Asin(3x+φ)(A>0,x∈R,0<φ<π)在x=
时取得最大值4.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的单调区间.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
研究函数y=Asin(ωx+φ)的性质,主要通过整体换元的思想,将(ωx+φ)视为一个整体来研究,但首先要掌握和熟记y=sin
x的性质.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω= .?
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共18张PPT)
章末整合
三角函数
专题一
专题二
专题三
专题一 三角函数的求值与化简?
例1(1)已知角α终边上一点P(-4,3),求
①求cos
θ的值;
②求tan(θ-3π)的值.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
方法技巧
应用诱导公式化简求值的注意事项
(1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用.
(2)对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
答案(1)B (2)1
专题一
专题二
专题三
专题二 三角函数的图象变换?
答案C
专题一
专题二
专题三
方法技巧
三角函数图象变换的易错警示
(1)由y=sin
ωx到y=sin(ωx+φ)的变换:向左平移
(ω>0,φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.
(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致,应先利用诱导公式化为同名函数,ω为负时应先变成正值.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题三 三角函数的性质?
专题一
专题二
专题三
答案(1)B (2)C
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
方法技巧
有关三角函数性质的求解方法
1.三角函数的周期在不加说明的情况下,就是指最小正周期.求三角函数的周期一般要先通过三角恒等变形将三角函数化为y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)及y=Atan(ωx+φ)的形式,再用公式求解,另外还可以利用图象求出三角函数的周期.
2.研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时,应先考虑其定义域.若其定义域关于原点对称,则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;
专题一
专题二
专题三
3.求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的单调区间时(若ω<0,可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值),应把ωx+φ视为一个整体,由A的符号来确定单调性.
4.求三角函数的最值有三种方法:(1)利用函数y=Asin(ωx+φ)的值域求得;(2)利用换元法,把sin
x,cos
x看成一个变量,转化为求二次函数的最值;(3)利用数形结合.
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三
专题一
专题二
专题三(共30张PPT)
5.1 向量的数量积
课标阐释
1.理解平面向量的数量积的定义及其物理意义.(数学抽象)
2.掌握数量积公式及投影向量的意义.(数学运算、直观想象)
3.掌握平面向量数量积的性质及运算律.(数学运算)
4.会求向量的数量积及夹角,能运用数量积求投影数量.(数学抽象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
一只猴子捡到一把钝刀,连小树也砍不断.于是它向砍柴人请教,砍柴人说“把刀放到石上磨一磨”.猴子高兴地跑回去,把刀放在一块石头上拼命地磨,直到发现刀口和刀背差不多厚了,才停下来……结果当然是失败的.难道猴子没有做功吗?不!难道猴子没有用心吗?不!但是做功≠成功.
物理学当中的做功在数学中叫什么,是如何表示的呢?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的数量积的定义
激趣诱思
知识点拨
规定零向量与任一向量的数量积为0.
当0°≤<90°时,a·b>0;当=90°时,a·b=0;
当90°<≤180°时,a·b<0;
当=0°时,a·b=|a||b|;当=180°时,a·b=-|a||b|.
名师点析对数量积含义的理解
(1)向量的数量积a·b,不能表示为a×b或ab.
(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量;向量的数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数.
(3)两个向量的数量积所得的数值为两个向量的模与两个向量的夹角θ的余弦的乘积,由于|a|,|b|均为正数,故其符号由夹角来决定.
激趣诱思
知识点拨
微思考
若a·b>0,a与b的夹角是锐角吗?a·b<0,a与b的夹角是钝角吗?反过来说呢?
答案若a·b>0,则a与b的夹角是锐角或0°;若a·b<0,则a与b的夹角是钝角或180°.反过来,若a与b的夹角是锐角,则a·b>0;若a与b的夹角是钝角,则a·b<0.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)向量的夹角和直线的夹角的范围相同.( )
(2)设向量a与b夹角为θ,则cos
θ>0?a·b>0.( )
答案(1)× (2)√
微练习
已知向量a和b的夹角为30°,|a|=2,|b|=3,则向量a和b的数量积
a·b= .?
答案3
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
2.由向量投影的定义,可以得到向量的数量积a·b的几何意义:
b的长度|b|与a在b方向上的投影数量|a|cos
θ的乘积(如下图);
或a的长度|a|与b在a方向上的投影数量|b|cos
θ的乘积.
名师点析1.a在b上的投影与b在a上的投影是不同的.
2.向量b在向量a方向上的投影数量不是向量而是数量,它的符号取决于a与b的夹角θ的范围.
激趣诱思
知识点拨
微思考
按照投影数量的定义,非零向量b在a方向上的投影数量为|b|cos
θ,其具体情况,我们可以如何借助图形分析?
答案
激趣诱思
知识点拨
答案D
激趣诱思
知识点拨
三、平面向量数量积的运算律
对任意的向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)与数乘的结合律:λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
(3)关于加法的分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
名师点析1.已知实数a,b,c(b≠0),则ab=bc?a=c.但对于向量的数量积,该推理不正确,即a·b=b·c
a=c.
2.对于实数a,b,c有(ab)c=a(bc),但对于向量a,b,c,(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线,所以(a·b)·c=a·(b·c)一般不成立.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)两个向量的数量积的运算结果是一个向量.( )
(2)若a·b=b·c,则一定有a=c.( )
(3)(a-b)·c=a·c-b·c.( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)√
激趣诱思
知识点拨
四、平面向量的数量积的性质
1.若e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos;
2.若a,b是非零向量,则a·b=0?a⊥b;
5.|a·b|≤|a||b|,当且仅当a∥b时等号成立.
名师点析常用运算公式
(1)(a+b)·(a+b)=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)(a-b)·(a-b)=|a|2-2a·b+|b|2.
(3)(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
激趣诱思
知识点拨
微思考
在实数运算中,若ab=0,则a与b中至少有一个为0;而在向量数量积的运算中,能由a·b=0推出a=0或b=0吗?
答案不能.当a·b=0时,a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b.
微练习
若向量a满足a·a=8,则|a|= .?
解析因为|a|2=a×a=8,所以|a|=2
.
答案2
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
例1已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
(1)a·b;(2)(2a-b)·(a+3b).
(2)(2a-b)·(a+3b)=2|a|2+5|a||b|cos
120°-3|b|2=8-15-27=-34.
反思感悟
求向量的数量积时,需明确两个关键点,相关向量的模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律进行化简,再进行数量积运算.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案-1
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
1.解决几何图形中的向量的数量积运算问题,要充分利用图形特点及其含有的特殊向量,这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求向量的投影数量
例3如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=90°,D是边BC的中点,求:
探究一
探究二
探究三
当堂检测
解如图,连接AD,因为AB=AC=4,∠BAC=90°,所以△ABC是等腰直角三角形.
又D是BC边的中点,
所以AD⊥BC,∠ABD=45°,
反思感悟
求投影数量时要搞清楚是哪一个向量在哪一个向量方向上的投影,在正确理解其定义的同时,找准两向量之间的夹角是关键.在确定两向量的夹角时,一定要注意“共始点”.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
当堂检测
向量数量积的运算律的综合应用
例4已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角θ为60°,求(a+2b)·(a-3b).
解(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a||b|cos
θ-6|b|2
=62-6×4×cos
60°-6×42
=-72.
反思感悟
熟练掌握两向量的数量积的定义及运算性质,是解决此类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿照多项式乘法的法则展开计算,再运用数量积定义求解.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
延伸探究若将本例中条件“a与b的夹角为60°”改为“a与b的夹角为120°”,结论如何?
解(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b
=|a|2-a·b-6|b|2
=|a|2-|a||b|cos
θ-6|b|2
=62-6×4×cos
120°-6×42
=-48.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
1.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,则a在b方向上的投影数量为( )
解析a在b方向上的投影数量为|a|cos=4×cos
30°=2
.故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题是真命题的是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a·a=b·b,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
解析A中,若a·b=0,则a=0或b=0或a≠0,b≠0,但a⊥b,故A错;C中,若a·a=b·b,则|a|=|b|,C错;D中,当a=0时,推不出b=c,D错误;选项B正确.故选B.
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案-25(共31张PPT)
习题课1——正、余弦函数的图象与性质
课标阐释
1.理解函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)中参数A,ω,φ的意义.(数学抽象)
2.会画正弦函数、余弦函数的图象,并能够借助图象研究函数的性质.(数学运算)
3.进一步培养学生的数形结合、分类讨论及化归思想的意识.(逻辑推理)
思维脉络
知识点拨
一、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ)
(A>0,ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
ωx+φ
φ
知识点拨
2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的图象
用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的图象时,要找五个关键点,如下表所示:
知识点拨
名师点析1.正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期;
2.求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时要注意A和ω的符号,尽量化成ω>0,A>0的形式,避免出现单调增减区间的混淆.
知识点拨
微练习
知识点拨
答案A
知识点拨
二、y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
名称
性质
定义域
R
值域
[-A,A]
对称性
奇偶性
当φ=kπ,k∈Z时是奇函数
单调性
通过整体代换可求出其单调区间
知识点拨
知识点拨
微练习1
下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )
答案A
知识点拨
微练习2
答案D
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的周期性
A.①②③④
B.①③④
C.②④
D.①③
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
正、余弦函数最小正周期的求解方法
(1)定义法:对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.
(2)公式法:函数y=Asin(ωx+φ)(y=Acos(ωx+φ))的最小正周期
.
(3)图象法:求含有绝对值符号的正、余弦函数的周期时可画出函数的图象,通过观察图象得出周期.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案π
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的奇偶性
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
与正、余弦函数的奇偶性相关的结论
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
变式训练2已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=
”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的对称性
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
正、余弦函数图象的对称轴和对称中心的求解方法
求正、余弦函数图象的对称轴及对称中心,须先把所给正、余弦函数式化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式,再把(ωx+φ)整体看成一个变量.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称轴,则只需令ωx+φ=
+kπ(k∈Z),求x.若求f(x)=Asin(ωx+φ)(ω≠0)图象的对称中心的横坐标,则只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求x.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的单调性
反思感悟
求正、余弦函数单调区间的两种方法
(1)代换法:就是将比较复杂的正、余弦函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t),利用基本正、余弦函数的单调性列不等式求解.
(2)图象法:画出正、余弦函数曲线,结合图象求它的单调区间.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
正、余弦函数的值域
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
反思感悟
求正、余弦函数的值域常见的几种类型
(1)形如y=Asin(ωx+φ)+k的值域问题,需要求得ωx+φ的范围,再求值域;
(2)形如y=asin2x+bsin
x+c的函数,可先设sin
x=t,化为关于t的二次函数求值域,此时需要注意t的取值范围;
(3)形如y=asin
xcos
x+b(sin
x±cos
x)+c的函数,可先设t=sin
x±cos
x,化为关于t的二次函数求值域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
变式训练5求下列函数的值域:
(1)y=3-2cos
2x,x∈R;
(2)y=cos2x+2sin
x-2,x∈R.
解(1)因为-1≤cos
2x≤1,
所以-2≤-2cos
2x≤2.
所以1≤3-2cos
2x≤5,即1≤y≤5.
所以函数y=3-2cos
2x,x∈R的值域为[1,5].
(2)y=cos2x+2sin
x-2=-sin2x+2sin
x-1=-(sin
x-1)2.
因为-1≤sin
x≤1,所以函数y=cos2x+2sin
x-2,x∈R的值域为[-4,0].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
解析由题意,得sin(-φ)=±1,即sin
φ=±1.因为φ∈[0,π],所以φ=
.故选C.
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案2或-2
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
当堂检测
答案3(共37张PPT)
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
课标阐释
1.会用五点法画正弦函数的图象.(数学抽象)
2.能够根据正弦函数的图象求满足条件的角的范围.(数学运算)
3.能结合正弦函数的图象理解正弦函数的性质.(数学运算)
4.会求正弦函数的定义域、值域、最值.(数学运算)
5.会求正弦函数的单调区间,根据单调性能比较大小.(逻辑推理)
6.会判断有关函数的奇偶性.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
公元5世纪到12世纪,印度数学家对三角学做出了较大的贡献.尽管当时三角学仍然是天文学的一个计算工具,但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而得到大大的丰富.三角学中“正弦”的概念是由印度数学家首先引进的.当我们遇到一个新函数时,它总具有许多基本性质,要直观、全面了解基本特性,自然是从它的图象入手,画出它的图象,观察图象的形状,看它的特殊点,并借助它的图象研究它的性质,如值域、单调性、奇偶性、最值等.今天我们就来一起学习正弦函数的图象和性质.
激趣诱思
知识点拨
一、正弦函数的图象
1.正弦函数图象的作法
(1)几何法:利用单位圆中的正弦线作出.
2.正弦函数的图象
正弦函数y=sin
x(x∈R)的图象称作正弦曲线,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
名师点析“五点法”中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.“五点法”只是画出y=sin
x在区间[0,2π]上的图象,若x∈R,可将正弦函数在区间[0,2π]上的图象,再通过左右平移,每次平移2π个单位长度,得到y=sin
x,x∈R的图象.这是作正弦函数以及下一节余弦函数图象最常用的方法.
激趣诱思
知识点拨
微练习
用五点法画y=sin
x,x∈[0,2π]的图象时,最高点的横坐标与最低点的横坐标的差为( )
答案A
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)第一象限内的角越大,其正弦曲线越长.( )
(2)正弦函数的图象向左、右两边无限延伸.( )
(3)正弦函数是定义域上的增函数.( )
答案(1)× (2)√ (3)×
性质
y=sin
x
定义域
R
值域
[-1,1]
奇偶性
奇函数
单调性
激趣诱思
知识点拨
二、正弦函数y=sin
x的性质
激趣诱思
知识点拨
性质
y=sin
x
周期性
最小正周期是2π
最值
对称轴
x=
+kπ(k∈Z)
对称中心
(kπ,0)(k∈Z)
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)y=|sin
x|,x∈R与y=sin|x|,x∈R均是周期函数,且周期为π.( )
(2)对于函数y=msin
x+n(m≠0),当且仅当sin
x=1时,取最大值ymax=m+n;当且仅当sin
x=-1时,取最小值ymin=-m+n.( )
(3)在锐角范围内,角越大,其正弦函数值越大.( )
(4)对于正弦函数,相邻两个零点的距离大小恰好为该函数的周期.
( )
答案(1)× (2)× (3)√ (4)×
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.
2.正弦曲线是中心对称图形,其对称中心坐标为(kπ,0)(k∈Z),即正弦曲线与x轴的所有交点;正弦曲线也是轴对称图形,其对称轴方程是x=kπ+
(k∈Z),对称轴垂直于x轴,且与正弦曲线交点的纵坐标是正弦函数的最大(小)值.
3.判断正弦函数奇偶性时,必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间,如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,则该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
函数y=2-sin
x的最大值及取最大值时的x的值为( )
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
用五点法作正弦函数图象
例1利用“五点法”画出函数y=-2+sin
x,x∈[0,2π]的图象.
解列表:
描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin
x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟
通过解决本题可归纳出用五点法画函数y=Asin
x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
变式训练1作出函数y=-2sin
x(0≤x≤2π)的图象.
解列表:
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
根据正弦函数的图象求角的范围
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟
利用正弦函数的图象求解sin
x≥a(≤a)的步骤
(1)作出正弦函数在区间[0,2π]上的图象;(2)作直线y=a与函数图象相交;(3)在区间[0,2π]上确定x的取值范围;(4)根据正弦函数周期性确定最终范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
利用正弦函数图象判断方程根的个数
例3判断方程sin
x=lg
x根的个数.
解画出函数y=sin
x和y=lg
x的图象,如图所示.由图象可知两图象有3个交点,因此,原方程有3个实数根.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟
与正弦函数相关方程根的个数问题探究
1.关于方程根的个数问题,往往运用数形结合的方法,将函数根的个数问题转化为函数图象的交点的个数问题.
2.正弦曲线上最高点的纵坐标都是1,最低点的纵坐标都是-1,在作图时要注意这种有界性.
3.在利用图象研究方程根的个数时,作图要精确,特别注意图象所经过的某些关键点是否包含.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
求与正弦函数有关的定义域问题
例4求下列函数的定义域:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟
函数解析式有意义的一般准则
(1)分式中的分母不为0;
(2)偶次根式的被开方数非负;
(3)y=x0要求x≠0;
(4)对数式中的真数大于0,底数大于0且不等于1;
(5)实际问题中除考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
与正弦函数周期性、奇偶性有关的问题
A.周期为2π的奇函数
B.周期为2π的偶函数
C.周期为π的奇函数
D.周期为π的偶函数
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟
求正弦函数周期和判断奇偶性的方法
(1)求正弦函数周期的方法
①定义法:利用周期函数的定义求解.
②图象法:通过观察函数图象求其周期.
(2)判断函数的奇偶性,首先要看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
变式训练5若函数y=2sin
x+a-1是R上的奇函数,则a的值为( )
A.-1
B.1
C.0
D.2
解析依题意f(0)=0,即a-1=0,故a=1.
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
求与正弦函数有关的值域与最值问题
例6(1)求函数y=3-2sin
x的最大值和最小值,并分别写出使这个函数取得最大值和最小值时x的集合.
(2)求函数y=-2sin2x+5sin
x-2的值域.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
反思感悟
求正弦函数值域或最值的常用方法
1.一般函数的值域求法有观察法、配方法、判别式法等,而正弦函数是函数的特殊形式,其一般方法也适用,但要结合正弦函数本身的性质.
2.形如y=a+bsin
x(b≠0)的函数的最值或值域,一般利用正弦函数的有界性(-1≤sin
x≤1)求解,当b>0时,ymax=a+b;当b<0时,ymax=a-b.
3.形如y=Asin2x+Bsin
x+C(A≠0)的函数的最值或值域,应利用换元法,结合正弦函数的性质、二次函数的性质求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
A.R
B.{x|x≠kπ,k∈Z}
C.[-1,0)∪(0,1]
D.{x|x≠0}
解析要使函数有意义,应有sin
x≠0,因此,x≠kπ(k∈Z).故定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
答案C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
3.函数f(x)=x3+sin
x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为 .?
解析因为f(a)=a3+sin
a+1=2,所以a3+sin
a=1.
所以f(-a)=(-a)3+sin(-a)+1=-(a3+sin
a)+1=-1+1=0.
答案0
答案2(共28张PPT)
习题课2——函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
课标阐释
1.能够利用五点法作出正弦函数和余弦函数的图象.(数学抽象)
2.掌握正、余弦函数的图象变换原理,并能解决相关问题.(逻辑推理)
3.能够根据所给函数的图象求正、余弦函数的解析式.(逻辑推理)
思维脉络
知识点拨
一、确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式的常用方法
1.代入法:把图象上的一个已知点代入(此时,A,ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
知识点拨
名师点析1.A为离开平衡位置的最大距离,即最大值与最小值的差的一半.
2.ω由周期得到:①函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期;②函数图象与x轴的交点是其对称中心,相邻两个对称中心之间的距离也是函数的半个周期;③一条对称轴与其相邻的一个对称中心之间的距离为函数的
个周期.
3.求φ的值时最好选用最值点求.
也可用零点求,但要区分该零点是升零点,还是降零点.
升零点(图象上升时与x轴的交点)时,ωx+φ=2kπ(k∈Z);
降零点(图象下降时与x轴的交点)时,ωx+φ=π+2kπ(k∈Z).
知识点拨
微练习
如图是y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的一部分,则它的一个解析式为( )
知识点拨
答案D
知识点拨
二、图象变换的两种主要途径
1.先平移后伸缩:
y=sin
x的图象
知识点拨
2.先伸缩后平移:
知识点拨
3.若函数f(x)的图象对称轴为x=a,则有f(2a-x)=f(x)成立,反之也成立.
4.求函数y=Asin(ωx+φ)的最值时,一定要弄清函数定义域,不要认为sin(ωx+φ)总是满足-1≤sin(ωx+φ)≤1.
知识点拨
微练习
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例1已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为( )
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式的常用方法
(1)升降零点法,由
即可求出ω;求φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入最值法,将最值点(最高点、最低点)坐标代入解析式,再结合图形解出ω和φ.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与变换
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
正、余弦函数图象变换的两种方法及两个注意事项
(1)两种方法:方法一是先平移,后伸缩;方法二是先伸缩,后平移.
(2)两个注意事项:①两种变换中左右平移的单位长度不同,分别是
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合应用
解因为f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x),
即函数f(x)的图象关于y轴对称,
所以f(x)在x=0时取得最值,即sin
φ=1或-1.
因为0≤φ≤π,所以解得φ=
.
由f(x)的图象关于点M对称,
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟
正、余弦函数图象与性质的综合问题的求解思路
先将y=f(x)化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再借助y=Asin(ωx+φ)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一
探究二
探究三
当堂检测
答案D
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移
个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式为y=sin
x,则( )
答案B
探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.函数y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω= .?
答案3
探究一
探究二
探究三
当堂检测(共42张PPT)
5.2 余弦函数的图象与性质再认识
课标阐释
1.会用五点法画出余弦函数的图象.(数学抽象)
2.能够根据余弦函数的图象求满足条件的角的范围.(数学运算)
3.能结合余弦函数的图象理解余弦函数的性质.(数学运算)
4.会求余弦函数的定义域、值域、最值.(数学运算)
5.会求余弦函数的单调区间,根据单调性能比较大小.(逻辑推理)
6.会判断有关函数的奇偶性.(逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某港口的水深y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,根据有关数据描出曲线,经拟合,该曲线可近似地看作函数y=cos
t的图象.你能类比正弦函数的性质,总结出余弦函数的相关性质吗?
激趣诱思
知识点拨
一、余弦函数的图象
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
答案(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)× (6)√
激趣诱思
知识点拨
二、余弦函数y=cos
x的性质
性质
y=cos
x
定义域
R
值域
[-1,1]
奇偶性
偶函数
单调性
当x∈[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)时,函数单调递增;
当x∈[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)时,函数单调递减
周期性
最小正周期是2π
最值
当x=2kπ(k∈Z)时,y的最大值为1;
当x=(2k+1)π(k∈Z)时,y的最小值为-1
对称轴
x=kπ(k∈Z)
对称中心
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.余弦函数有单调区间,但都不是定义域上的单调函数,即余弦函数在整个定义域内不单调.
2.余弦函数图象的对称轴一定过余弦函数图象的最高点或最低点,即此时的余弦值取最大值或最小值.
3.利用余弦函数的单调性比较两个余弦函数值的大小,必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间,若不属于,先化至同一单调区间内,再比较大小.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
函数y=-3cos
x的一条对称轴方程是( )
答案D
激趣诱思
知识点拨
微练习2
A.值域是[-1,0]
B.是奇函数
C.最小正周期是2π
D.在区间[0,π]上单调递减
答案C
激趣诱思
知识点拨
微练习3
使y=sin
x和y=cos
x均为减函数的一个区间是( )
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
用五点法作余弦函数的图象
例1画函数y=2cos
x+3,x∈[0,2π]的图象.
解(1)列表:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
反思感悟
用五点法画函数y=Acos
x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
变式训练1作出函数y=-cos
x+1,x∈[0,2π]的图象.
解(1)列表:
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
(3)连线:
用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,如图所示.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
根据余弦函数的图象求角的范围
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
反思感悟
用余弦函数图象解不等式的步骤
(1)作出余弦函数在区间[0,2π]上的图象;
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据余弦函数周期确定取值范围.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
变式训练2满足cos
x>0,x∈[0,2π]的x的取值范围为 .?
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
利用余弦函数图象判断方程根的个数
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
反思感悟
与余弦函数图象有关的根的个数问题的处理策略
判断f(x)-Acos
x=0(A≠0)的根的个数时,运用数形结合的方法,转化为函数图象交点的个数.由于余弦函数的图象都是介于y=-1与y=1之间,只需考虑-A≤f(x)≤A的x的范围,在该范围内f(x)的图象与Acos
x的图象的交点的个数即方程根的个数.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
变式训练3方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内的所有根的和为( )
A.2
B.1
C.0
D.-1
解析如图所示,在同一平面直角坐标系内画出函数f(x)=|x|与g(x)=cos
x的图象,易知两个函数的图象在(-∞,+∞)内只有两个交点,即原方程有两个根,且两根互为相反数,故和为0.选C.
答案C
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
求与余弦函数有关的定义域问题
例4(1)已知f(x)的定义域为[0,1),求f(cos
x)的定义域;
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
反思感悟
利用余弦函数图象处理函数的定义域问题
一些函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到,但同时要注意区间端点的取舍.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
与余弦函数有关的奇偶性、对称性问题
例5判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=xcos
x;
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
反思感悟
判断与余弦函数有关函数奇偶性的处理方法
1.判断函数的奇偶性时,必须先检查其定义域是否关于原点对称.如果是,再验证f(-x)是否等于-f(x)或f(x),进而判断函数的奇偶性;如果不是,那么该函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.判断与余弦函数有关的函数的奇偶性时,需注意诱导公式的合理利用.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
变式训练5函数y=-xcos
x的部分图象是下图中的( )
答案D
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
求与余弦函数有关的值域与最值问题
例6(1)设M和m分别是函数y=
cos
x-1的最大值和最小值,则M+m= .?
(2)函数y=cos2x-4cos
x+5的值域为 .?
解析(1)因为cos
x∈[-1,1],
(2)令t=cos
x,则-1≤t≤1.
所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
所以t=-1时,y取得最大值10,t=1时,y取得最小值2.
所以y=cos2x-4cos
x+5的值域为[2,10].
答案(1)-2 (2)[2,10]
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
反思感悟
求余弦函数值域的常用方法
(1)求解形如y=acos
x+b的函数的最值或值域问题时,利用余弦函数的有界性(-1≤cos
x≤1)求解.求余弦函数取最值时相应自变量x的集合时,要注意考虑余弦函数的周期性.
(2)求解形如y=acos2x+bcos
x+c,x∈D的函数的值域或最值时,通过换元,令t=cos
x,将原函数转化为关于t的二次函数,利用配方法求值域或最值即可.求解过程中要注意t=cos
x的有界性.
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
答案D
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
2.函数y=cos
x-2在x∈[-π,π]上的图象是( )
解析把y=cos
x,x∈[-π,π]的图象向下平移2个单位长度即可.
答案A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
答案B
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究六
当堂检测
4.函数y=x2-cos
x的零点个数为 .?
解析在同一平面直角坐标系中,作出y=x2,y=cos
x的图象,如图所示.则两个函数图象有2个交点,所以函数y=x2-cos
x的零点有2个.
答案2(共30张PPT)
2.1 向量的加法
课标阐释
1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义.(数学抽象、直观想象)
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.(数学抽象、数学运算)
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.(数学运算、逻辑推理)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
以前台胞春节期间来大陆探亲,乘飞机先从台北到香港,再从香港到上海.
如今,两岸直航包机启航.若台北到香港的位移用向量a表示,香港到上海的位移用向量b表示,台北到上海的位移用向量c表示.
想一想,向量a、b、c有何关系?
激趣诱思
知识点拨
一、向量的加法及其运算法则
1.向量加法的概念
求两个向量和的运算,称为向量的加法.
2.向量加法的平行四边形法则
激趣诱思
知识点拨
3.向量加法的三角形法则
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.
2.规定:a+0=0+a=a.
3.非零向量a,b与向量a+b的模及方向的关系
(1)当向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|.
(2)当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|.
(3)当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|.若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|.
激趣诱思
知识点拨
微思考
向量加法的平行四边形法则和三角形法则有何区别与联系?
提示区别:①三角形法则中强调“首尾相连”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;②三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形仅适用于不共线的向量求和.
联系:当两个向量不共线时,向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的.
微探究
任意两个非零向量相加,是否都可以用向量的平行四边形法则进行?
答案不一定,当两向量共线时不能用平行四边形法则,只能用三角形法则.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)任何两个向量的和仍然是一个向量.( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.( )
答案(1)√ (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
答案C
激趣诱思
知识点拨
二、向量加法的运算律
1.向量加法满足结合律和交换律,即(a+b)+c=a+(b+c),a+b=b+a.
2.向量加法的多边形法则:由于向量的加法满足结合律与交换律,因此求n个向量α1,α2,…,αn的和可以按以下步骤进行:任取一点O,依次作有向线段
激趣诱思
知识点拨
名师点析向量加法与实数加法的异同
(1)运算结果:向量的和还是向量,实数的和还是实数.
(2)运算律:向量的加法与实数的加法都满足交换律与结合律.
(3)运算的意义:向量加法的几何意义是向量加法的三角形法则和平行四边形法则;实数加法的意义是实数的加法法则.
由此可见,向量的加法与实数的加法不相同,其根本原因是向量不仅有大小而且还有方向,而实数仅有大小,是数量,所以向量的运算不能按实数的运算法则来进行.
激趣诱思
知识点拨
微思考
你能验证向量加法也满足结合律吗?
提示如图,a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c).
激趣诱思
知识点拨
微探究
向量加法的交换律与结合律是否只对两个和三个向量成立?它们的作用是什么?
答案向量加法的交换律与结合律对多个向量仍然成立,它们的作用是对向量加法进行化简.
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
已知向量作和向量
例1如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.
探究一
探究二
探究三
探究四
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反思感悟
求和向量的方法
(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将其中一向量的起点平移至该点,之后再将其他向量平移并首尾相接,从一个向量的始点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和.
(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
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探究二
探究三
探究四
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探究一
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向量的加法运算
例2如图,已知O为正六边形ABCDEF的中心,化简下列向量:
探究一
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反思感悟
进行向量的加法运算一般有两种方法:(1)利用几何方法通过作图实现化简;(2)利用代数方法,先通过向量加法的交换律,使各向量首尾相接,再用向量加法的结合律求和,有时还需将一个向量拆分成两个或多个向量.
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变式训练2在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
答案C
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向量的加法运算律及应用
例3化简下列各式:
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反思感悟
1.向量的加法运算律的意义.
向量的加法运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
2.应用原则.
利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
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变式训练3下列等式错误的是( )
答案B
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向量加法的实际应用
例4在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
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反思感悟
向量加法应用的关键及技巧
(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出两个向量的和.
(2)应用技巧:准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.
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延伸探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地?
解如图,由点C作垂线,垂足为D,
因为∠BAC=45°,
所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,
即可由此按正西方向飞回A地.
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答案C
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2.设a表示“向东走5
km”,b表示“向南走5
km”,则a+b表示( )
A.向东走10
km
B.向东南走10
km
C.向南走10
km
D.向东南走5
km
解析如图,借助于向量加法的三角形法则或平行四边形法则,可知选D.
答案D
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答案B
答案0(共30张PPT)
2.2 向量的减法
课标阐释
1.理解相反向量的概念.(数学抽象)
2.理解向量减法的意义,掌握向量减法的运算法则及其几何意义.(数学抽象、直观想象)
3.能运用向量的加法与减法解决相关问题.(数学抽象、数学运算)
思维脉络
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知识点拨
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫有一则名为《天鹅、梭子鱼和虾》的寓言:一天,梭子鱼、虾和天鹅,出去把一辆小车从大路上拖下来:三个家伙一齐负起沉重的担子.他们用足劲,身上青筋根根暴露.无论他们怎样的拖呀,拉呀,推呀,小车还是在老地方,一点也没有移动.倒不是小车重得动不了,而是另有缘故:天鹅使劲往上向天空直提,虾一步一步向后倒拖,梭子鱼又向池塘拉去.对于这个结果我们可以用物理学知识解释,实质上,在这个寓言中还蕴含着丰富的数学知识——向量的加法运算和减法运算等知识.本节课我们就来研究向量的减法.
激趣诱思
知识点拨
一、相反向量
名师点析相反向量类似于实数中的相反数,它们的性质有相似之处.
定义
如果两个向量长度相等,方向相反,则称它们为相反向量
性质
①对于相反向量有:a+(-a)=0
②若a、b互为相反向量,则a=-b,a+b=0
③零向量的相反向量仍是零向量
激趣诱思
知识点拨
微探究
相反向量就是方向相反的向量吗?
答案不是.相反向量是方向相反且长度相等的向量.
微练习
非零向量m与n是相反向量,下列不正确的是( )
A.m=n
B.m=-n
C.|m|=|n|
D.方向相反
解析相反向量只满足m=-n,不满足m=n.
答案A
激趣诱思
知识点拨
二、向量的减法
激趣诱思
知识点拨
名师点析1.向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,就可以把减法化为加法.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接两向量的终点,箭头指向被减向量”即可.
激趣诱思
知识点拨
微探究
在代数运算中的移项法则,在向量中是否仍然成立?
答案含有向量的等式称为向量等式,在向量等式的两边都加上或减去同一个向量仍得到向量等式,移项法则对向量等式也是适用的.
激趣诱思
知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量.( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算.( )
答案(1)√ (2)× (3)√ (4)√
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知识点拨
答案C
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已知向量作向量的差
例1如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c.
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反思感悟
求两个向量的差,关键是把两向量平移到首首相接的位置,然后利用向量减法的三角形法则来运算.
平移作两个向量的差的步骤:
此步骤可以简记为“作平移,共起点,两尾连,指被减”.
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变式训练1如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c.
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向量的减法运算
例2化简下列各式:
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反思感悟
1.满足下列两种形式可以化简
(1)首尾相接且为和;(2)起点相同且为差.
做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用及统一向量起点方法的应用.
2.在向量的减法中,无论是作图还是化简都必须考虑起点是否相同,差向量的起点和终点顺序不能颠倒.
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向量减法运算的几何意义
例3如图,
(2)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是矩形?
(3)当向量a,b满足什么条件时,四边形ABCD是菱形?
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反思感悟
要熟练掌握在三角形、平行四边形等常见图形中,各边对应向量以及对角线对应向量之间的关系,能够运用向量的加法与减法进行正确的表示,同时还要熟悉常见平面图形的几何性质,能够从向量的角度,运用向量语言进行表示.
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A.点P在△ABC的内部
B.点P在△ABC的边AB上
C.点P在AB边所在直线上
D.点P在△ABC的外部
答案D
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向量的和与差的模
例4已知|a|=|b|=1,|a+b|=1,则|a-b|=
( )
解析如图,根据向量加法的平行四边形法则可知,当|a|=|b|=1时,平行四边形ABDC为菱形.
答案B
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反思感悟
解决向量模的问题的两种方法
(1)依据图形特点,适当运用三角形法则和平行四边形法则进行转化,要注意相关知识间的联系.
(2)利用向量形式的三角不等式,即||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求解.用此法求解时,一定要注意等号成立的条件.
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答案10,5
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用已知向量表示未知向量
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反思感悟
在解决这类问题时,要注意向量加法、减法和共线向量的应用.当运用三角形法则时,要注意两向量首尾相接,当两个向量起点相同时,可以考虑用减法.
事实上任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和,即
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变式训练4如图,解答下列各题:
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探究三
探究四
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答案C
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探究三
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探究五
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答案D
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3.若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|= ,
|a-b|= .?
解析若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0,又a=-b,
所以|a|=|-b|=1,因为a与-b共线,所以|a-b|=2.
答案0 2
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答案a+b-c