1.3空间几何体的表面积与体积 专题训练（含答案）

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苏教版必修2 第一章立体几何初步 1.3空间几何体的表面积与体积专题训练
一、选择题
1.在直三棱柱中, ,分别是的中点, ,则与成角的余弦值为(?? ?)
A. B. C. D.
2.已知三棱锥的所有顶点都在球O的求面上,是边长为1的正三角形,为球O的直径,且;则此棱锥的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
3.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(? ?)
A. B. C. D.
4.正方体的内切球与外接球的半径之比为(?? )
A. B. C. D.
5.长方体一个顶点上的三条棱的长度分别为3、4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,这个球的表面积为(?? )
A. B. C. D.
6.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的全面积为(?? )
A. B. C. D.
7.已知一个表面积为24的正方体,设有一个与每条棱都相切的球,则此球的体积为(? ?)
A. B. C. D.
8.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是(?? )
A. B. C. D.
9.正三棱柱的底面边长为,侧棱长为,为中点,则三棱锥的体积为(??? )
A. B. C. D.
二、填空题
10.若一个圆台的正视图如图所示,则其侧面积为________.
11.已知某三棱锥的三视图(单位: )如图所示,则该三棱锥的体积等于__________.
12.将一钢球放入底面半径为的圆柱形玻璃容器中,水面升高,则钢球的半径是__________.
13.棱台的体积为,高为,一个底面面积为,则另一个底面面积为__________.
14.一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为,则该正方体的表面积为__________.
三、解答题
15.—个圆锥的底面半径为,高为,其中有一个高为的内接圆柱.
1.求圆锥的侧面积;
2.当为何值时,圆柱侧面积最大?并求出侧面积的最大值.
16.如图,已知四棱锥的底面为等腰梯形, 垂足为四棱锥的高.
1. 证明:平面平面
2.若,求四棱锥的体积
参考答案
1.答案：C
解析：本题主要考查空间角的求法、空间向量在立体几何中的应用.建立如图所示的空间直角坐标系,设,则,所以,
设与所成的角为,则.
2.答案：A
解析：设外接圆的圆心为,
则.
三棱锥的高为.
所以三棱锥的体积.
故选A.
3.答案：B
解析：
由三视图可知,此几何体是底面半径为,高为的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的,根据对称性,可补全此圆柱如图,
故体积.
4.答案：D
5.答案：C
解析：长方体对角线长为,长方体对角线等于外接球直径,所以求半径是这个球的表面积为。故选C
6.答案：A
解析：设圆锥的底面半径为,母线长为,因为轴截面是等边三角形,所以。由题意知,轴截面面积,所以,。因而圆锥的全面积.
7.答案：D
解析：设正方体的棱长为,则,解得.又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长等于球的直径,则球的半径是,则此球的体积为.
8.答案：A
解析：设圆柱底面半径为,则圆柱的高,
,
,
∴.
9.答案：C
解析：方法一:易知为三棱锥的底面上的高,
且,
∴,
故选C.
方法二:在正三棱柱-中,∵,∴平面,
∴,故选C.
点拨:解题的关键是正确画出图形,熟记棱锥的体积公式.
10.答案：
解析：由正视图可知,该圆台的上、下底面圆的半径分别为其高为,
所以其母线长
所以.
11.答案：1
解析：观察题目中的三视图知,该三棱锥的底面为一直角三角形,右侧面也是一直角三角形,体积为.
12.答案：3cm
解析：圆柱形玻璃容器中水面升高,则钢球的体积为,即有,所以.
13.答案：
解析：设另一个底面面积为,
则由,
得
解得,即另一个底面的面积为.
14.答案：
解析：由球的体积可知球的半径为,
则球的直径为.设该正方体的棱长为,
则,解得,
因此该正方体的棱长为2,
故该正方体的表面积为
16.答案：1.圆锥的母线长为,圆锥的侧面积.
2.画出轴截面如图所示,设圆柱的半径为.
由题意知,.
圆柱的侧面积,
当时,圆柱的侧面积最大,最大为.
解析：
17.答案：1.
证明:因为是四棱锥的高,
所以.又都在平面内,
且所以平面,故平面平面.
2.
因为为等腰梯形, ,所以
因为,
所以可得
等腰梯形的面积为
所以四棱锥的体积为
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