江苏省无锡第一高级中学校2021届高三上学期1月检测数学试卷 Word版含答案

江苏省无锡市第一中学2021届第一学期一月检测试卷
高三数学
2021．01
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知集合A＝false，B＝false，则AfalseB＝
A．[﹣2，false) B．[﹣1，false) C．(false，1] D．(false，2]
2．已知a是实数，则复数false为纯虚数的充要条件是
A．a＝0或a＝2 B．a＝0
C．afalseR，且a≠2且a≠﹣3 D．afalseR，且a≠2
3．国庆阅兵式上举行升旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一?排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为25米，则旗杆的高度约为(false≈1.732，false≈2.449)
A．17米 B．22米 C．31米 D．35米
4．如图，在△ABC中，BC＝6，false，点P为边BC上的一动点，则false的最小值为
A．﹣4 B．﹣3 C．false D．0

第3题 第4题
4199890914405．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台
北故宫博物馆．有甲、乙、丙三人想根据该图编排一个舞蹈，首
先由他们来选取该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶、摇中的五个
动作，每人至少模仿一个动作，且爬、扶、捡、顶、摇都要被依
序模仿到，则选择的方案共有
A．60种 B．90种 C．100种 D．150种
6．已知双曲线false(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：false相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
A．false B．false C．false D．false
7．一种药在病人血液中的量保持3000mg以上才有效，现给某病人注射了这种药5000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过约( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(lg2＝0.301，1g3＝0.4771)
A．2.3小时 B．3.5小时 C．5.6小时 D．8.8小时
8．已知函数false在[a，b]上有定义，若对任意false，false[a，b]，有false，则称false在[a，b]上具有性质P．设false在[1，2021]上具有性质P，则一定有
A．false在[1，2021]上图象是连续不断的
B．false在[1，false]上具有性质P
C．false≥false
D．对任意的false，false，false[1，2021]，有false
二、?多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，?共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．下列命题中是真命题的是
A．在四边形ABCD中，若false，且false，则四边形ABCD是菱形
B．若点G为△ABC的外心，则false
C．向量false＝(2，﹣3)，false＝(false，false)能作为平面内的一组基底
D．若O为△ABC所在平面内任一点，且满足false，则△ABC为等腰三角形
10．已知点P(1，﹣1)是角false终边上的一点，则
A．false一定是第一象限的角
B．若false，则false
C．函数false是奇函数
D．将函数false的图像向左平移false个单位可以得到false的图像
11．设x，yfalse，S＝x＋y，P＝xy，以下四个命题中正确的是
A．若P为定值m，则S有最大值false
B．若S2≥kP总成立，则k的取值范围为k≤4
C．若S＝P，则S有最小值4
D．若S＝P，则P有最大值4
12．已知false，则
A．false B．false
C．false D．false，false，false，…，false这8个数中false最大
三、填空题（本大题共4小题，?每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13．已知等比数列false的前n项和false，则a＝ ．
14．某校一次高三数学统计，经过抽样分析，成绩X近似服从正态分布N(110，false)，且P(90≤X≤110)＝0.3，该校有1000人参加此次统考，估计该校数学成绩不低于130分的人数为 ．
404368025908015．我们称点P到图像C上任意一点距离的最小值为点P到图像C的最小距离，记作d(P，C)，则点P(3，0)到抛物线C：y2＝4x的距离d(P，C)是 ．
16．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，P是AA1的中点，
Q是侧面正方形BB1C1C内的动点，当D1Q∥平面PBD时，点
Q的轨迹长度为 ，若点Q轨迹的两端点和点C1，D1在
球O的球面上，则球O的体积为 ．
第16题
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(c﹣b)sinC＝asinA﹣bsinB．
（1）求角A；
（2）若b＝5，a＝7，求cosC的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列false是等比数列，false，且false，false，false成等差数列，数列false满足：false(nfalse)．
（1）求数列false和false的通项公式；
（2）求证：false．
19．（本小题满分12分）
近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有着很大的健康隐患．目前，国际上常用身体质量指数（英文为Body Mass Index，简称BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝false，中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜23.9为正常；24≤BMI＜27.9为偏胖；BMI≥28为肥胖．某地区随机调查了100名35岁以上成人的身体健康状况，测量身高、体重并计算BMI数值．
（1）根据调查结果制作下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为35岁以上成人肥胖与不经常运动有关?
肥胖
不肥胖
总计
经常运动员工
40
60
不经常运动员工
24
40
总计
100
参考公式：false，其中false．
参考数据：
P(false)
0.25
0.10
0.050
0.010
0.005
0.001
false
1.323
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（2）如果视样本的频率视为概率，现随机地从这个地区抽取经常运动人群中的3人，不经常运动人群中的1人座谈，记这4人中肥胖人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．（本小题满分12分）
如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，平面false经过棱PC的中点E，与棱PB，AC分别交于点F，D，且BC∥平面false，PA∥平面false．
（1）证明：AB⊥平面false；
（2）若AB＝BC＝PA＝2，点M是直线EF上的动点，求平面MAC与平面PBA所成锐二面角的余弦值的最大值．
21．（本小题满分12分）
如图所示，椭圆false(a＞b＞0)的左顶点和上顶点分别为A，B，D(false，false)为椭圆上一点，且e＝false．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点E，直线PB交椭圆于另外一点F．①求直线PA与PB的斜率之积；②试判断△PEF和△PAB的面积之比是否为false?说明理由．
22．（本小题满分12分）
已知函数false．
（1）求实数a的值，使得倾斜角为45°、在y轴上截距为﹣1的直线l是函数false图象的切线；
（2）若对于任意实数a，不等式false在[false，false)(falseZ)上都成立，求false的最小值．
参考答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．A 7．A 8．D
9．AD 10．BD 11．BC 12．ABC
13．2 14．200 15．false 16．false，false


20．
22．