《数学广角──重叠问题》
教学目标：
1、结合具体情境体会用“韦恩图”解决重叠问题的价值，掌握用“韦恩图”解决一些简单的重叠问题题目的方法，培养学生的思维能力。
2、进一步渗透集合的思想，在解决实际问题的过程中感受选择解决问题策略的重要性，养成善于思考的良好习惯，提高学习数学的兴趣。
教学重难点：理解集合图的各部分意义及解决简单问题的计算方法。
教具、学具：课件、带有学生姓名的小贴片。
教学过程：
一、设疑引入。
1、出示通知。
师：同学们，今天我接到了一个通知，请同学们看一下：（出示通知，一生读）
师：根据通知要求，每个班一共要选多少人参加这两项比赛？（11人）
师：怎么算的？
5+6＝11(人)
师：你们同意这种做法吗？真同意？
2、查看原始数据，引出重复。
师：果真是这样吗？（在算式后打问号）请看四（１）班记录的参加比赛的学生名单（课件出示两组学生名单），上边这几个同学就是参加书法比赛的那5个人，下边这几个同学就是参加绘画比赛的那6个人。
师：请仔细观察这份参赛的学生名单，你发现了什么？你觉得我们刚才的答案怎么样？（错了）
师：怎么会错了呢？再仔细看看，谁来说说？（有重复的）
师：你这里的“重复”是什么意思？谁重复了？有几个人重复了？（杨明和李芳两个人重复了。）
师：因为有重复的，如果还是直接用5+6怎么样？（不行了，那样的话杨明和李芳就算了2次了。）
师：在实际生活中你们遇到过这种情况了吗？
3、揭示课题。
师：生活中像这样有重复现象的问题，在数学上我们把它叫做重叠问题（板书课题：重叠问题）。
二、探究新知
1、激发探究欲望，明确探究要求。
师：刚才，我们通过仔细地查看四（1）班参赛的学生名单，发现有2个同学重复了，但是从这份名单（表格）中你能一下子就看出是哪2个人重复了吗？（生流露出困难的神情）有难度是吧？
师：看来我这样记录不够清楚，大家想想办法，如果用两个圈来表示参加书法和绘画的人数怎样表示会看得更清楚一些?（课件出示要求:既要能让人很清楚地看出参加书法比赛的是哪5个人，参加绘画比赛的是哪6个人，又要能让人很明显地看出两项比赛都参加的是哪两个人。）讨论交流（画一画）
师：你认为下面那幅图能代表你们的意思？（因为图2有重复的部分）
?师：谁来说说重复的部分是什么意思？（重复部分就是两项活动都参加人。）
师：参加书法的有几个人？参加绘画的呢？
生：书法的有5人，绘画有6人。
师：根据表中提供的信息，请同学们完成在这个集合图。（把参加比赛的学生的姓名写一写。）
2、交流汇报
①、同桌交流，说说圆圈中学生的姓名是怎样放的。
师：展示学生的作品并强调不管圆圈中学生姓名怎么放，但这两个重复的同学都放在重叠的部分上。
3、明确“韦恩图”各部分表示的意思，感受其的价值。
现在谁来说说这个集合图由几部分组成？每部分各表示什么意思？
生：三部分，左边一小部分表示只参加书法的人数，中间一部分表示两个小组都参加的人数，右边一小部分表示只参加绘画的人数。
师：相机在集合图上标示出“只参加书法”、“既参加书法又参加绘画”、“只参加绘画”的字样。
4、简单介绍“韦恩图”来历。向学生介绍韦恩图：像这样的图早在很多年前就有人发明了，他就是英国的数学家韦恩，所以就以“韦恩”来命名，叫韦恩图。也可以叫集合图。”
我们同学真了不起，都和韦恩想到一块去了。
5、数形结合，解决问题。
师：现在，你能不能根据韦恩图列算式来解决四（１）班一共有多少人参加了这两项比赛？
整理算法：
生：一共是9人，我是数出来的。
生1：5＋6－2＝9（人）
生2：3＋2＋4＝9（人）
生3：5－2＋6＝9（人）
生4：6－2＋5＝9（人）
师：不管用数的方法还是用算式计算都要注意什么？
生：不能把重复的2个人多算了一次。
师：现在我们能用这么多的方法算出四（1）班参加比赛的一共是9个人，是谁帮了我们的大忙啊？（韦恩图。）
师：韦恩图确实好吧？想不想用韦恩图来解决几个生活中的问题？
三、综合应用。
1、动物的问题。（教材p110练习二十四第1题）
师出示一组动物图片：你们喜欢动物吗？请翻到课本110页，这些动物有会游泳的，有会飞的？找找哪些是会飞的，哪些是会游泳的，请把这些动物的序号填入下图中合适的位置！
只会飞的有哪些？【②④⑦⑧⑩】
只会游泳的有哪些？【①⑤⑥⑨】
③天鹅放哪儿？【放中间】为什么放中间？【它既会飞又会游泳】同意吗？
如果又来了一只小狗，应该把它放在哪呢？【因为它既不会飞也不会游泳】
所以不能放在圈里，只能把它放在哪里？【圈外】
看来在韦恩图的内部与外部都可以表示信息。真有意思。同学们真了不起，没有被这样的问题迷惑住！
2、文具店的问题。
今天，数学广角的文具店开业了，咱们去看看（出示110页第2题）。
师：看到这个问题，你首先注意的是什么？你们在观察什么？
生：看有没有重复的。
师：你真棒，思考问题更全面了！
师：可以怎么计算？（生答略）
师：有很多的方法，其中的一种可以这样做（课件出示）：5＋5－3＝7（种）
3、拓展练习，回扣课始的问题。
师：课上到这里，同学们还这么有精神，真棒！下面我们再回过头来，看看那份学校的通知和我们已经解决的那个问题：每班一共要选多少人参加这两项比赛？我们一开始脱口而出的答案是5+6=11人，后来看到三（1）的参赛名单，发现有2人重复了，实际只有9个人。
我们现在再来思考这个问题，四（1）班是9人，其它班级呢？每个班一定是9人吗？（不一定）
师：还可以是多少人？（
6至11人。）
四人小组交流讨论。(
还有哪几种重复的情况呢？当有一人重复的时候呢？
最多有几人重复呢)
师：什么情况下是11人？（没有重复的情况下）
师：也就是说我们一开始的做法有没有考虑重复的情况？（板书：无重复）
师：至少是多少人？（6人。）
师：什么情况下是6人？（有5人重复了，参加书法比赛的同学全部参加绘画比赛）。
师（出示一大一小两个圈）：如果用这个小圈来表示参加书法比赛的同学，用这个大圈来表示参加绘画比赛的同学，我这样放表示的是哪种情况？（分开的）
生：没有重复的。
师：这样呢？（两圈有重叠部分）
生：有重复的。
师：这样呢？（小圈放入大圈）
生：参加书法比赛的同学全部参加了绘画比赛。
师：同学们，这样一个我们本来觉得很简单的问题，经过我们深入地思考，原来还有这么多的学问。
五、通过这节课的学习，你有什么收获？
今天我们遇到的数学问题都有什么共同特征？【有重复的】都通过了什么方法帮助我们解决的？【画韦恩图、列算式计算时减去重复的一次】
?今天我们解决了生活中一些有重复现象的问题，像这样的问题在生活中还有很多很多，比如我们为了节省空间，我们会把纸杯或碗套在一起，如雨伞的伞柄，门窗。就等着大家去发现去解决。只要大家肯于动脑筋，你也会有所发明，希望大家能发现生活中更多的数学知识。
通 知
为迎接我校2018年校园艺术节的召开，学校定于12月16日、12月17日举行书法和绘画比赛。要求：每班选5名同学参加书法比赛，6名同学参加绘画比赛。
实验小学教导处
2018年12月15日《重叠问题》教学设计
教学目标：
1．引导学生借助直观图，理解并掌握解决简单重叠问题的方法，能够主动交流并用较简洁的语言表达自己的想法。
2．通过观察、对比、探究等活动初步感受集合思想，培养学生观察和抽象的能力。
3．能够借助直观图，尝试运用不同的方法解决重叠问题，感受不同方法之间的联系。
4．引导学生在参与数学活动的过程中感受数学的价值，获得成功的学习体验。
教学重点：借助直观图，理解重叠问题，并能够解决简单的重叠问题。
教学难点：借助直观图，能够尝试用不同方法解决简单的重叠问题。
教学准备：
教具：课件；学具：写有学生名字的小卡片、表格。
教学过程：
（一）复习引入
教师出示如下问题：
第一学期，四（1）班参加文艺小组和体育小组的学生一共有多少人？
四（1）班参加文艺小组、体育小组的学生名单
文艺小组
王冲
庄严
杜丽
高天
张乐
黄平
体育小组
李政
马辉
张章
杨新
李里
教师：你能解决这个问题吗？
学生列式并解释算式：6＋5＝11（人）。
教师：这是同学们非常熟悉的“已知两部分，求整体”的问题。在实际生活中，同样的事情还会有怎样的新情况呢？
【设计意图】调动已有认知，引导学生能借助表格的信息解决“求和”问题，并以问题激趣，为后面的学习做好孕伏。
（二）研究与讨论
1．出示问题。
本学期参加文艺小组和体育小组的人员发生了一些变化，参加文艺小组的还是6人，参加体育小组的也还是5人。这时参加文艺小组和体育小组的学生一共有多少人呢？
四（1）班参加文艺小组、体育小组的学生名单
文艺小组
王冲
庄严
杜丽
高天
张乐
黄平
体育小组
李政
马辉
张章
杨新
李里
学生1：还是11人。
学生2：不对，应该一共有9人，因为有2人两个小组都参加了。
教师：看来同样是求“两个小组一共有多少人”的问题，同学们通过分析参加两个小组的人员情况，发现了有“重叠”的新情况。接下来，我们就围绕“新情况”进行深入研究。（板书：重叠问题。）
2．动手操作，初步认识“重叠”。
（1）小组探究。
教师：有什么方法能让大家清晰地看出两个小组的人员情况呢？请大家四
人一组，借助学习材料（写有人名的小卡片和表格）展开探究。
学生分组活动，教师巡视，并对学习有困难或有疑问的组给予指导。
（2）交流成果。
小组1：
文艺小组
王冲
杜丽
黄平
张乐
王冲
庄严
体育小组
李政
张章
杨新
王冲
庄严
小组2：
文艺小组
王冲
庄严
高天
杜丽
黄平
张乐
体育小组
杨新
李政
马辉
小结：虽然大家摆的形式不完全一样，但都发现“王冲、庄严”两名同学比较特殊，他们是同时参加两个小组的同学，看来这两名同学是正确解决这个：问题的关键。
【设计意图】借助直观表格，引导学生在动手操作的过程中发现“重复”现象，初步认识重叠问题。
3．初步抽象，探究方法。
教师：刚才同学们在表格中用了不同的方式表示“重复”的学生，我们把?大家的发现贴在黑板上。除了可以用表格的形式，还可以用集合圈（见下图）来表示。如果左边的集合圈里都是参加文艺小组的同学，右边的集合圈里都是参加体育小组的同学，你能把同学们的名字贴在相应的位置吗？
学生作品预设如下：
教师：怎样能够更清晰地看出有两名同学同时参加了两个小组？
学生（出示下图）：将两个集合圈“重叠”，将“重叠”的同学放在中间就可以表示他们同时参加两个小组了。
教师：同学们通过分析信息，发现了“重叠问题”，还借助直观图更清晰地表示出了参加两个小组同学之间的关系。其实，在很久以前，有一位大数学家也像你们这样，画了这样一幅直观图，并不断地进行修改，使它变得更直观、更清楚，这种图就以他的名字命名，叫做韦恩图。请大家结合图分析一下同学们参加小组活动的情况。
学生：“庄严”和“王冲”2人既参加了文艺小组又参加了体育小组。“杜丽、高天、张乐、黄平”4人只参加了文艺小组，“李政、马辉、杨新”3人只参加了体育小组。
教师：同学们用了“只……”和“既……又……”这样的词语准确地说明了同学们参加小组活动的三类不同情况。你能试着列算式解决这个问题吗？
学生1：6＋5－2
＝9（人）。
学生2：（6－2）＋2＋（5－2）＝9（人）。
学生3：6＋（5－2）＝9（人）。
教师：请你结合图讲一讲算式的含义。
学生结合直观图解释自己列出的算式，请其他的学生也用手圈一圈。
小结：虽然大家列出的算式各不相同，但我们都能借助直观图，理解算式的每一步在求什么，看来直观图的作用还真不小。在解决重叠问题时，它真是我们的好帮手！你能利用它来解决下面的问题吗？
【设计意图】通过探究，借助直观图，尝试运用不同的方法解决重叠问题，感受不同方法之间的联系。引导学生感受到借助直观图解决问题的价值。
4．抽象概括，深化理解“重叠”。
（1）抽象出一般模型。
教师（出示下图）：刚才我们在韦恩图中用人名表示了不同的同学，如果换一种更简单的方式（用一个小圆点表示一个人），你还能看懂吗？
教师：这个韦恩图除了能表示“参加文艺小组”和“参加体育小组”的情况外，还能表示别的吗？
学生1：可以表示参加游泳队和田径队的情况。
学生2：可以表示借故事书和借科技书的情况。
学生3：还可以表示会飞的动物和会游的动物的情况。
学生4：…．
小结：生活中类似的问题有很多，同学们借助韦恩图不仅能够解决参加小组活动的一个问题，而且能够解决有“重叠”特点的一类问题了。
（2）应用一般模型。
教师：仅以“A组有6人，B组有5人”为例，重叠的情况只有“2人重复”这一种情况吗？还会有哪些不同的情况？
学生1：有可能两个组没有重复。
学生2：可能有1人重复。
学生3：可能有2人重复。
学生4：可能有1～5人重复。
教师：重复的人可能比5人更多吗？为什么？根据学生的分析，演示以下不同情况的韦恩图：
学生结合韦恩图每一次的变化，理解直观图中的每一部分分别表示什么。
小结：当我们的直观图发生变化时，没有人名了，没有组名了，但你们还能很准确地解释图中的每一部分。在直观图的变化过程中，我们发现重叠的人越来越多，最后“大圈”包含了“小圈”。直观图不仅能解决参加文艺小组和体育小组人数的问题，还可以解决很多类似的问题，大家掌握了解决重叠问题的“金钥匙”。
（三）拓展提高
1．教材第93页的“练一练”。
教师巡视，提示学生可以借助直观图来帮助自己思考。学生完成后进行订正。
学生交流自己的方法。
学生3：18＋15
＝33（人）。
学生4：（18－9）＋（15－9）＝15（人）。
【设计意图】在练习中巩固解决重叠问题的一般方法，发现学生可能出现的问题，借助直观图帮助理解，进而掌握解决简单重叠问题的一般方法。
2．解决问题。
出示题目：五（1）班有32人参加了学校开展的“读书周”活动，每人至少阅读一本天文类或历史类的书籍，其中有20人阅读了天文类的图书，有9人两类图书都读了，有多少人阅读了历史类的图书？
引导学生在解决问题时，如果遇到困难，可以在旁边画直观图帮助理解条件和所求的问题。
【设计意图】在解决问题时学生经常会遇到无从入手的情况，这个题目的设计在于引导学生感受到直观图可以帮助我们把相对复杂的问题简单化，从而使问题得以顺利解决。
（四）全课小结
教师：我们通过表格认识了什么是直观图，并且通过直观图解决了身边的问题。在今后的学习中，我们会继续利用直观图解决更多的问题，相信你们会更出色。重叠问题
教学基本信息
课题
重叠问题
学科
小学数学
学段：
第二学段
年级
四年级
相关领域
综合与实践
教材
书名：义务教育教科书
出版社：
北京教育出版社出版日期：
2013年
（北京版数学四年级上册）
1.指导思想与理论依据
《新课标》中指出：在数学教学活动中，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程。自己去探索数学的体验和利用数学知识解决生活中实际问题的能力。根据数学知识的内在联系和四年级学生特点，本节课以学生实际为出发点，创设生动的活动环节，启发学生积极思维。通过动手操作和同学间合作交流，促使多种感官参与活动，在探究中发现并利用集合思想解决实际问题。了解韦恩图各部分含义，使学生在掌握基础知识和基础技能的过程中，数学能力得到培养，智力得到提升。
2.教学背景分析
教材分析：“重叠问题”是教材专门安排来向学生介绍一种重要的数学思想方法的，即“集合”。教材通过统计表的方式列出参加文艺小组和体育小组的学生名单，而总人数并不是这两个小组的人数之和，从而引发学生的认知冲突。这时，教材利用直观图（即韦恩图）把这两个课外小组的关系直观地表示出来，从而帮助学生找到解决问题的办法。教材只是让学生通过生活中容易理解的题材去初步体会集合思想，为后继学习打下必要的基础，学生只要能够用自己的方法解决问题就可以了。学情分析：学生基础：集合思想是数学中最基本的思想，集合理论可以说是数学的基础。从学生一开始学习数学，其实就已经在运用集合的思想了。例如，学生在学习数数时，就常常把1个人、2朵花、3枝铅笔等用一条封闭的曲线圈起来表示，在学习认识三角形等图形时，也常常把各种不同的三角形用一个圈圈起来表示。又如，学生学习过的分类思想和方法实际上就是集合理论的基础。但是，这些都只是单独的一个个集合图，而本节课所要用到的含有重复部分的集合图，学生并没有接触过。教学方式：体验探究法为主，辅以讲解法。教学手段：课件、姓名牌、磁扣。
3.教学目标(含重、难点)
教学目标：1知识与技能：使学生会借助直观图，利用集合的思想方法解决简单的实际问题。?过程与方法：让学生体验利用直观图解决简单的实际问题的过程，培养学生数形结合的思想。?情感、态度与价值观：让学生养成善于观察和思考的良好习惯，体会数学的严谨，感受数学与日常生活的密切联系，提高学生学习数学的兴趣。教学重点：用集合的思想方法解决简单的实际问题。教学难点：通过解决简单的实际问题，渗透集合和建模思想。
4.教学过程
一、情景导入，激发兴趣师：同学们，上周我们举行了语文的百词竞赛和数学的计算比赛。都哪些同学取得了好成绩？下面老师统计一下得奖人数。师：在百词竞赛中取得好成绩的同学请起立（记录在黑板上：3人）请把你们的名字先贴在黑板的左边，然后站在讲台左边。师：在计算比赛中取得好成绩的同学请起立（记录在黑板上：5人）请把你们的名字先贴在黑板的右边，然后站在讲台右边。质疑：重叠同学的名字贴在哪？在讲台上犹豫。二、创造图形，明确意义师：为了让同学们一目了然的看明白,像这种情况，在数学领域中，我们把它叫做重叠。这节课我们就来研究研究重叠问题。（板书：重叠问题）课件演示：重叠问题师：我们设计的把两个圈重叠在一起正好和一位伟大的数学家的想法不谋而合。（课件出示：韦恩图介绍）同学们自己读一读。
5.学习效果评价设计
6.本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
1．生动的活动导入，激发学习兴趣整堂课由一个生动的活动入手，激发学生的学习兴趣。因为学生的学习兴趣高，因此课堂活动的参与度也高。
2.将集合圈带到现实中来，让学生看得见摸得着。
学生在尝试解决问题的过程中，探索和发现怎么利用“集合圈”来解决问题，探索过程生动有趣，学生理解起来也更加容易。
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