方阵问题
一、指导思想与理论依据
《数学课程标准》强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。因此对于方阵问题的研究，本节课通过让学生观看国庆阅兵视频，从感性上认识方阵，同时能够调动学生已有经验，即学生排队列时的经验认识，建立数学与生活的联系。进而以方阵队伍为情境进行方阵问题研究，使学生更容易接受。此外，国庆阅兵视频带来的视觉震撼，激发了学生的民主自豪感。
《数学课程标准》还强调教师要激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。因此，本节课，通过为学生提供方阵点子图，让学生画一画、圈一圈来展现出自己的思考过程，通过分享、交流，帮助学生建立数学模型。在活动中，注重学生的自主参与和全过程参与。重视培养学生积极动脑、动手、动口的能力。重视培养学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。此外，数学课堂的教学是师生互动与发展的过程，学生是数学学习的主人，本节课以“自主、合作、探究”的学习方式，以学生的亲手操作、亲身体验为基础，探索出解决问题的不同策略。
二、教学背景分析
1．教学内容分析
本节课教学内容是北京版教材第十单元数学百花园中的方阵问题，属于综合与实践领域。本单元主要介绍数学的思想和方法，使学生运用这些数学思想方法解决一些简单的问题，为学生提供了一种通过综合、实践的过程去做数学、学数学、理解数学的机会。本单元主要是结合实际问题，引导学生初步体会集合思想及方阵问题、编码规则的特点。对于方阵问题这一节来说，它是生活中常见的一类问题，例如同学们为参加运动会入场式而进行的队列操练、解放军排着整齐的队伍接受检阅等。因此本节课与生活有着密切联系。
2．学生情况分析
关于方阵问题的研究，学生在运动会入场式排队列时已经有了一定的经验积累。同时，在三年级时学生已经认识了正方形，了解正方形的特点，所以学生很容易掌握“方阵”的概念。此外，在本册教材的第十单元中，学生学习了重叠问题，对于方阵最外层总人数求法中涉及到的重叠问题，学生也有了一定的经验积累。
教学方式与教学手段
以学生为课堂的主体，采用创设情境，提出问题的方式，让学生经历主动探究、动手操作、分享交流、合作提升的过程。?
教学方式：主要是教师引导和学生自主探究学习结合的教学方式，采用“讨论法”、“观察法”、“操作法”等方法，发挥学生的主体作用。注重为学生提供自主探索的空间，引导学生在观察、操作、分享、交流等数学活动中找到解决方阵问题的不同方法，经历“数学化”的过程。
教学手段：应用视频、课件，将抽象的方阵直观化、形象化，活跃课堂气氛，加深巩固教学内容，使学生感受到学习的喜悦，寓学于乐。激发学生的学习兴趣，调动学生主动学习的积极性。
技术准备
多媒体课件、学习单。
前期教学状况、问题、对策等研究说明。
前期调研中发现，学生对于已知方阵中最外层每边人数，求最外层人数的问题，最常见的错误就是直接用“最外层每边人数×4”来解决，所以本节课把这一错误作为教学设计的一个思考点，在设计时，借助电子图帮助学生思考，直接用“最外层每边人数×4”的方法会多算四个角上的四个人，所以还要减去多算的部分。同时引申出为了避免四个角有人发生重复的情况，在解决问题时也可以“每边少看一个角”或是“每边少看二个角”等的思考问题的方式。
三、教学目标
1.了解方阵特点，掌握解决方阵问题的基本方法，提高学生解决实际问题的能力。
2.通过自主、合作、交流等学习方式探索解决问题的不同方法，并结合直观图沟通不同方法间的联系，培养学生的模型思想。
3.让学生在解决问题的过程中，体会数学的价值。
四、教学重点、难点
教学重点：掌握方阵最外层每边数量与最外层总数之间的关系，能够解决简单的方阵问题。
教学难点：借助直观图培养学生的模型思想，并提高学生解决实际问题的能力。
五、教学过程与教学资源设计
（一）创设情境，直接导入。
1.播放国庆阅兵视频，建立方阵与生活之间的联系。
2.观察视频中的图片，引出方阵。
小结：像这样当每行的人数和队伍的行数相等时，就组成了一个正方形的队伍，在数学上我们把它称为“方阵”。今天，我们就一起来研究方阵问题。（板书：方阵问题）
【设计意图】通过观看视频，进行爱国主义教育，同时建立数学与生活之间的联系，使学生在观察中了解方阵的基本特点，建立感性认识。
（二）提出问题，探究思考。
出示例题。
1.梳理条件与问题。
从图中找到了哪些信息？需要解决的问题是什么？
2.小组探究方法。
（1）借助学习单上的方阵图，通过圈一圈、画一画的方法把你的思考过程表示出来。
（2）交流汇报。
预设：
列式：①6×4－4=20（名）答：最外层一共有20名士兵。
②（6-1
）×4=20（名）答：最外层一共有20名士兵。
③（6＋4）×2=20（名）答：最外层一共有20名士兵。
④（6-2）×4＋4=20（名）答：最外层一共有20名士兵。
根据图式列式并建立算式与图之间的联系。
学生分享解决方法后，鼓励其他学生提出问题。
【设计意图】：让学生借助学习单中的方阵图进行圈一圈、画一画的活动，在活动中引导学生发现方阵最外层每边上花盆的数量与最外层花盆的总数之间的关系，探究解决问题的不同方法，体验解决问题的策略多样性，并结合直观图来感受不同方法之间得了联系，建立数学模型。
生活中的方阵。
举例谈一谈生活中的方阵。
猜谜游戏，巩固练习。
十九乘十九，黑白两对手，有眼看不见，无眼难活久。（打一棋类名称）：围棋
棋盘最外层每边能放19颗棋子，最外层一共可以摆放多少颗棋子？
注：让学生选择自己喜欢的方法进行解决，然后说出算式，请其他同学尝试理解算式的含义，并画出该同学解决问题时采用的直观图。
【设计意图】：通过一个猜谜游戏活跃课堂气氛，引出基础练习的同时又将队列中的方阵引入到围棋中，丰富学生对生活中的方阵的认识。对于练习来说，这是一道根据方阵最外层每边数量求最外层总数的基本练习，巩固学生解决方阵问题的基本方法，同时优化方法。
拓展提高。
棋盘最外一层共有32颗棋子，最外层每边各有多少枚棋子？
注：学生借助点子图辅助思考。在交流汇报时说出算式，让其他同学尝试理解并画出直观图。
【设计意图】：这是一道逆向思维练习，学生需要根据最外层总数求出最外层每边的数量，借助直观图进一步强化最外层每边数与总数间的关系，从而巩固模型思想。
回顾反思，总结提升。
在我们生活中，有很多与方阵有关的问题。今天这节课，我们研究的方阵都叫实心方阵，还有一些方阵像是大屏幕上的样子，内部是空的，我们称为中空方阵。感兴趣的同学可以课下继续研究。
板书设计
6×4－4=20（名）
（6-1）×4=20（名）
（6-2）×4＋4=20（名）
6×2＋2×（6-2）=20（名）
答：最外层一共有20名士兵。
答：最外层一共有20名士兵。
答：最外层一共有20名士兵。
答：最外层一共有20名士兵。
六、学习效果评价设计
学生学习效果评价如下：
练习课讲评自我评价量表
评价纬度：思、问、听、讲
评价问题：练习课讲评中学生参与的深度与广度
独立思考
主动质疑
专注听讲
讲解题目
自我评价
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
注1（评价标准）
A
B
C
独立思考
独立思考，能解决1/3的问题
独立思考，能解决1/2的问题
独立思考，能解决所有问题
主动质疑
能提出1～2个问题，引发小组讨论
能提出3～4个问题，引发小组讨论
能提出4个以上问题，引发小组讨论
专注听讲
能主动倾听组员讲解，并解决了1～2个问题
能主动倾听组员讲解，并解决了3～4个问题
能主动倾听组员讲解，并解决了4个以上问题
讲解题目
能正确叙述解决问题的思想，为组员讲解1～2个问题
能正确叙述解决问题的思想，为组员讲解3～4个问题
能正确叙述解决问题的思想，为组员讲解4个以上问题
注2（赋分标准）：
A项：赋分1分，B项：赋分2分，C项：赋分3分
注3（自我评价参考标准）：
分数
等级
5分以下
不合格
5～6分
合格
7～8分
良好
9分以上
优秀
教师自身教学效果的评价如下：
评价方面
评价内容
分值
（1～5分）
角色转换
教师对于培养学生搜集或加工信息的能力的关注。
教师对于培养学生分析解决问题的能力的关注。
教师对于培养学生交流协作表达能力的关注。
教师对于培养学生创新意识能力的关注。
教学设计的落实与调整
学生达到了教学设计阶段的相关学习目标。
教学设计中的重要环节，如自主探究、协作学习、任务设计等得到了很好的贯彻和落实。
教师根据学生的情况和发言灵活调整教学。
教学方法和手段
教学方法和教学手段有利于发挥“学生是教育主体”的作用。
教学方法和教学手段有利于实现教学目标，促进多种学习方式的开展。
教学方法和手段有利于学生“学会学习”，掌握相关的方法和策略。
教学方法和手段有利于学生创新能力和素质的培养，有利于促进学生个性的发展。
教学方法和教学手段有利于发挥信息技术的优势，促进信息技术与课程的深层次整合。
本次教学设计特色说明与教学反思
教学设计特色说明：
1.本节课更加注重学生的自主探究，通过切身体验掌握解决方阵问题的基本方法。
2.重视学生的自主参与和全过程参与。
3.重视培养学生积极动脑、动手、动口的能力。通过在方阵图中圈一圈的活动，将学生的思考方式展现出来，培养学生的模型思想。
4.重视培养学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的信心。当学生上课分享出自己的经验方法的时候，直接将这个方法命名为“某某某法”，使分享方法的同学有更多的成功体验。
5.重视培养学生提出问题的能力，例如在学生进行方法分享的时候，鼓励学生提出问题。
教学反思：
《方阵问题》教学反思
今天上了四年级数学百花园里的《方阵问题》一课。这一内容属于综合与实践领域，有一定的深度和广度。对于这样难度较深的课，既要考虑到学生学的效果，又要扩大教学内容的容量。我翻阅了不同版本的资料，确定了这节课的教学目标，并围绕教学目标开展了富有挑战性学习过程，达到了一定的教与学的效果。现从以下几方面来谈谈课后的几点思考。
注重学生的自主探究，在分享交流中培养学生提出问题的能力。
本节课通过让学生画一画、圈一圈的活动，使问题由抽象变得更加直观。学生在点子图的帮助下，至少能够找到一种解决问题的方法。在分享交流的过程中，我非常重视学生提出问题能力的培养。学生在提出问题的同时，就是在建立算式与直观图之间的联系。
注重鼓励学生解决问题策略的多样化，同时渗透方法优化的思想。
本节课，我鼓励学生多思考，寻找解决同一问题的不同方法，培养学生的方法多样化意识。同时在巩固练习中渗透方法优化的思想。
注重培养学生学好数学的信心，使学生获得成功的体验。
课上，当学生提供了解决问题的方法时，就把方法称为“某某某法”，学生们会觉得这种方法是他们自己找出来的，从而获得成功的体验，树立学好数学的信心。教学基本信息
课题
方阵问题
是否属于地方课程或校本课程
否
学科
数学
学段：
第二学段
年级
四年级
相关领域
教材
书名：
数学
出版社：
北京出版社
出版日期：2014年7月
指导思想与理论依据
《小学数学课程标准》中指出：数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生数学思考，鼓励学生的创造性思维。在“问题解决”中要求学生：获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样化，发展创新意识。
教学背景分析
教学内容：《方阵问题》是小学四年级数学第七册教材（北京版）中数学百花园的内容学生情况：学生已经对行和列有了了解，对正方形也有了清楚的认知。学生对于学习数学有较大的兴趣，有较强的语言表达能力，能够表达自己的所思所想。教学方式：在本节课中主要采用“尝试探索”的教学法，让学生利用已有的知识经验，动手操作，动手圈画，独立思考。教师并通过直观演示辅助教学，引导学生思考，在不断尝试总结中，形成解决问题的模型，促进学生全面发展。教学手段：多媒体、实物展台及小旗、泡沫板等教具技术准备：多媒体课件
学生学习单
教学目标(内容框架)
教学目标：1.认识数学中的方阵问题，会求简单的方阵问题。2.通过尝试探索、计算、观察、总结，发现方阵问题的排列的规律，会求最外圈人数。3.培养学生仔细观察、认真思考的学习习惯。4.让学生在活动中探索解决问题的不同方法，结合直观图沟通不同方法间的联系，培养学生的初步模型思想。教学重点：通过学生自主探索、计算、观察、总结等活动发现方阵排列的规律，会计算最外圈人数教学难点：借助直观图培养学生衩步的模型思想，并提高学生解决实际问题的能力。自主探索，发现规律
教学过程(文字描述)
一、导入同学们，学校要组织广播操比赛了，听到这个消息兴奋吗？咱位一起来看看比赛的要求。课件出示。（1）每班选派16人排成正方形的队伍，参加广播操的比赛二、合作探究：1、动手操作：在泡沫板上插出队形。师：这个要求老师可为难了，16个同学，好找，可是这个排成一个正方形的队伍该怎么排呢？下面就请同学们帮老师排一排。老师课前给大家准备了泡沫板和小旗，请大家在泡沫板上插出队伍的形状。小组合作。师巡视。找生展示小组拼插的结果，说明理由。师小结：像这样当每行的人数和队伍的行数相等时，就形成了一个正方形的队伍，在数学上我们称为方阵。这就节我们就来研究方阵问题。2、探究最外圈人数：师：在大家的共同努力下，队伍排好了，咱们一起来看第二个要求。课件出示（2）最外圈同学参加绳操表演。师提出学习要求：1.先独立思考，想一想最外圈的人数与每边的人数有什么关系。
2.再利用点子图圈一圈，算一算，列出算式
3.小组同学之间交流，组长汇总，准备全班交流。
生小组合作，师巡视
预设：
等等（2）师：这三种方法表面上看各不相同，但不同的背后却有着相同点，大家都注意了处理角上那四个特殊的位置，因为这４个角上的同学，既属于行，又属于列．问：你喜欢哪种方法？说明理由按喜欢第几种方法临时分组师：把你喜欢的方法说给同组同学听。三.巩固练习问：如果行和列的人数稍有变化，你会求吗？1.看算一算。用你喜欢的方法计算
图例
每行人数
6人7人10人实有人数（列式计算）最外圈人数（列式计算）找生汇报．发现的规律师进行板书。2.练一练有16个学生站在正方形场地的四周，四个角上都站1人，如果每边站的人数相等，那么每边站几个学生？四、课堂小结：通过今天
的学习你有什么收获？师：在我们的生活中方阵问题是非常常见的，希望大家能够利用今天
所学的知识解决生活中的问题。板书设计：
方阵问题
16
=
4
×
4
实有人数
=
每行人数×
每列人数
学习效果评价设计
评价方式通过课堂交流中，对于学生的方法可行性进行评价，另外对于表达是否完整，组长予以评价。课上对于学习选取方法的评价，学生发表自己的见解，选出最优的方法解题。
评价量规方法可行，能够找到所圈的数据与每条边的关系，能够完整地表达自己的见解为优秀。良好:方法可行,能较完整地表达自己的见解.
本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)
在这节课的设计上，我以贴近学生的广播操排队形引入，从生活中来，让学生解决生活中的问题，体现数学与生活的联系。然后让学生帮老师解决问题，让学生自己动手操作，通过学生的动手插，动笔圈画，展现学生的解题思路程，同时提倡解题策略的多样化，让学生用自己喜欢的方法解题。本节课我放手让学生自主探究一层中空方阵（一个方阵最外层每边站4人，最外层一共站了多少人？）的算式，得出的方法四种，并让学生说一说，你喜欢哪种方法，并说明理由。引导学生选择最优的计算方法。另外我设计一个按每边的数量、求实有人数和最外圈人数的表格，而且从第一个图形的有点阵图到后来的没有点阵图只有数字，让学生在解决、比较的过程中，发现规律，并对这种规律进行概括和总结。
4×4-4
每边人数×4-4
图1
（4-1）×4
（每边人数-1）×4
图2
4×2+(4-2)
×2
每边人数×2+（每边人数-2）×2
图3
图4
PAGE
4《方阵问题》
【教学背景分析】
1
学习内容分析
方阵问题为北京版教材四年级数学百花园中第二节内容。第一节内容是重叠问题，两个问题都是对于数学中存在的重叠现象的研究。学生可以通过对生活中实际问题的探索，发现方阵问题中存在的规律，抽象出数学模型，并且能够应用模型解决问题，形成初步的模型思想。并且将图与算式建立起联系，将抽象的数字图像化。
2
学生情况分析
对于四年级的学生，具有了初步的抽象能力，能够用语言较准确的表达自己的思想，如果借助直观图，学生能够更清晰的阐明自己的观点与同伴进行交流，所以，在进行教学设计时，可以给予学生充分展示的过程。通过学生感受数学知识，建构对于知识的认识，从而内化为学生的思想与能力。
【教学目标】
1
通过观察，认识方阵特点，掌握解决问题的基本方法。
2
能够交流不同的想法，结合模型图沟通各种方法间的联系，形成头脑中初步的模型思想。
3
通过探究解决问题方法，感受多角度体会问题的价值。
【教学重点】
体会方阵问题中，每边数变化和最外层数量之间的联系性，能够抓住本质解决简单问题。
【教学难点】
探究不同的解决方法，学生能够形成初步的模型思想。
【教学过程】
一、初步了解方阵
1
出示图片，认识方阵
方阵其实是一种队形，一个团队排队,横着叫行,竖着叫列,行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这种队形就叫做方阵。将一些物体按照这样的方式排列起来，也叫做方阵。（学生通过自己的语言可以尝试总结方阵特点）
2
观察方阵，总结特点
【设计意图】通过学生熟悉的方阵，初步认识与感知方阵，并第方阵的特点初步掌握。
二、结合实际，解决问题
1
梳理条件问题
1）每边花的数量
2）最外边的认识
图1
2
小组探究活动
①学生活动：圈一圈，画一画，算一算
②小组汇报交流活动
3
沟通联系
抓住边角处的4盆花的特殊性，可能的情况：
算式的情况：4x6-4
4X4+4
4x(6-1)
2x6+2X4
这些算式，你能评价一下吗？（从不同的角度看问题，会有不同的解决方式）
它们之间有什么联系吗？
算式和图相对应理解
【设计意图】通过学生自己圈画，汇报，能通过多种表征理解与解决问题。将自己的想法与同伴交流沟通，不仅丰富了解决问题的策略，而且能够更好的感受每种方法的价值。发现不同直观图与算式之间的联系性与共同点。
三、应用知识，拓展提高
1
每边有8盆花的情况
4x8-4
4x6+4
4x(7-1)
图2
图3
图4
图5
【设计意图】根据列出的算式，选出对应的模型，虽然每边数变化了，但是对应的解决问题的方式是相似的，学生对于图与算式的联系进一步明晰
2
每边有100盆花的情况
4x100-4
4x98+4
4x(100-1)
图3
3
进一步体会每边数和最外层总数之间的关系。
学生活动：汇报想法，根据模型，自己列出的式子，并能够解释算式含义，找出算式中的对应关系。
【设计意图】随着每边数的变化，最外层花的总数也在变化，学生可以根据直观图，逐渐抽象每边数与总数之间的方阵模型，为解决问题做好准备。
四
练习巩固
书p94页
练一练
学生活动：能够借助直观图解决问题。
4
