上海市杨浦区三门高中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

2020-2021学年度上海市杨浦区三门中学高二上学期数学期中试卷(含答案)
一、选择题
1681480402590
1.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
1700530850265
2.如图所示，墙上挂有边长为a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.与a的值有关联
3.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75.现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则
A. B.
C. D.
4.一个盒子里装有大小相同的10个黑球、12个红球、4个白球,从中任取2个,其中白球的个数记为X,则下列概率等于的是（ ）
A.P(05.设样本数据的均值和方差分别为1和4，若为非零常数，，则的均值和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
6.从区间随机抽取个数，构成个数对，，…，，其中两数的平方和小于的数对有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ）
A. B. C. D.
7.某学校位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.将20名学生任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为（ ）

A. B. C. D.
10.下列说法正确的是（ ）
A.若残差平方和越小，则相关指数越小
B.将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变
C.若的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小
D.若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数
11.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元）
4
2
3
5
销售额（万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
12.已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题
13.有一批产品，其中有件次品和件正品，从中任取件，至少有件次品的概率为______.
14.运行如图所示的流程图，则输出的结果S为_______.

15.在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，这个正方形的面积介于与之间的概率为__________.
16.为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体名员工中抽名员工做体检，现从名员工从到进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是，则从这个数中应抽取的数是__________.
17.假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为_________________
18.为了在运行下面的程序之后得到输出y＝25，键盘输入x应该是____________.
INPUT x
IF x<0 THEN
y=(x+1)*(x+1)
ELSE
y=(x-1)*(x-1)
END IF
PRINT y
END
19.某学生每次投篮的命中概率都为.现采用随机模拟的方法求事件的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值随机数，制定1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中；再以每3个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生如下20组随机数：989 537 113 730 488 556 027 393 257 431 683 569 458 812 932 271 925 191 966 907，据此统计，该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为__________.
20.已知函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为______________；
三、解答题
21.某中学从高三男生中随机抽取100名学生，将他们的身高数据进行整理，得到下侧的频率分布表.
组号
分组
频率
第1组
[160，165）
0.05
第2组
0.35
第3组
0.3
第4组
0.2
第5组
0.1
合计
1.00
（Ⅰ）为了能对学生的体能做进一步了解，该校决定在第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行体能测试，问第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进行测试；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生进行引体向上测试，求第3组中至少有一名学生被抽中的概率；
（Ⅲ）试估计该中学高三年级男生身高的中位数位于第几组中，并说明理由.
22.画出解关于的不等式的程序框图，并用语句描述.
1052830525145
23.为检验两条生产线的优品率，现从两条生产线上各抽取件产品进行检测评分，用茎叶图的形式记录，并规定高于分为优品.前件的评分记录如下，第件暂不公布.
求所抽取的生产线上的个产品的总分小于生产线上的第个产品的总分的概率；
已知生产线的第件产品的评分分别为.
①从生产线的件产品里面随机抽取件，设非优品的件数为，求的分布列和数学期望；
②以所抽取的样本优品率来估计生产线的优品率，从生产线上随机抽取件产品，记优品的件数为，求的数学期望.
24.(1)从区间[1，10]内任意选取一个实数，求的概率；
(2)从区间[1，12]内任意选取一个整数，求的概率.
25.某药厂为了了解某新药的销售情况，将今年2至6月份的销售额整理得到如下图表：
（1）根据2至6月份的数据，求出每月的销售额关于月份的线性回归方程；
（2）根据所求线性回归方程预测该药厂今年第三季度（7,8,9月份）这种新药的销售总额.
（参考公式：，）
26.某“双一流类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：

将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数；
该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设区间，月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收取600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元；
方案二：每人按月薪收入的样本平均数的收取；
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
【参考答案】
一、选择题
1.B
解析：B
【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.
点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.
2.C
解析：C
【解析】试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为.
考点：几何概型，圆的面积公式．
3.A
解析：A
【解析】
【分析】
分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得的值，即可得到答案．
【详解】
由题意，根据平均数的计算公式，可得，
设收集的48个准确数据分别记为，
则
，
，
故.选A.
【点睛】
本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
4.B
解析：B
【解析】
【分析】由题意知本题是一个古典概型，由古典概型公式分别求得P（X=1）和P（X=0），即可判断等式表示的意义．
【详解】
由题意可知，
∴表示选1个白球或者一个白球都没有取得即P（X≤1），
故选B．
【点睛】本题是一个古典概型问题，这种问题在高考时可以作为文科的一道解答题，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以用组合数表示出所有事件数．
5.A
解析：A
【解析】试题分析：因为样本数据的平均数是,所以的平均数是；根据（为非零常数，），以及数据的方差为可知数据的方差为，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
6.B
解析：B
【解析】
【分析】根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可.
【详解】
如下图：
由题意，从区间随机抽取的个数对，，…，，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域面积为，所以由几何概型可知，所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查几何概型，属于中档题.
7.C
解析：C
【解析】
【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可计算概率．
【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，，
则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.
故选C．
【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率．在求两个事件中至少有一个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率．这样可减少计算，保证正确．
8.A
解析：A
【解析】
【分析】由题意知本题是一个古典概型，先求出事件发生的总个数，再求出满足要求的事件个数，再根据古典概型的概率公式即可得出结果.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，
试验发生的所有事件是20名学生平均分成两组共有种结果，
而满足条件的事件是2名学生干部恰好被分在不同组内共有中结果，
根据古典概型的概率公式得.
故选：A.
【点睛】本题主要考查古典概型和组合问题，属于基础题.
9.B
解析：B
【解析】
【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.
【详解】
输出；
；
；
；
；
，
退出循环，输出，故选B.
【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.
10.B
解析：B
【解析】
【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断；由方差的性质可判断；由的随机变量的观测值的大小可判断；由相关系数的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断.
【详解】对于，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数越大，故错误；
对于，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故正确；
对于，对分类变量与，它们的随机变量的观测值越大，“与有关系”的把握程度越大，故错误；
对于，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数，故错误.
故选：B.
【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．
11.B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程中的为9.4，
∴42=9.4×3.5+a，
∴=9.1，
∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，
∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5
考点：线性回归方程
12.B
解析：B
【解析】
【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的.从而S△PBC=S△ABC.由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．
【详解】
以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
则=，
∵，∴，
∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，
∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的.
∴S△PBC=S△ABC.
∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：
P==.
故选B.
【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．
二、填空题
13.【解析】【分析】利用古典概型概率公式求出事件至少有件次品的对立事件全都是次品的概率再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率【详解】记事件至少有件次品则其对立事件为全都是次品由古典概型的概率公式
解析：.
【解析】
【分析】利用古典概型概率公式求出事件“至少有件次品”的对立事件“全都是次品”的概率，再利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】
记事件至少有件次品，则其对立事件为全都是次品，
由古典概型的概率公式可得，.
因此，至少有件次品的概率为，故答案为.
【点睛】本题考查古典概型概率公式以及对立事件概率的计算，在求事件的概率时，若问题中涉及“至少”，可利用对立事件的概率进行计算，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题.
14.【解析】【分析】【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;应填答案
解析：
【解析】
【详解】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知当,则执行运算;继续运行:;继续运行:;当时;,应填答案.
15.【解析】若以线段为边的正方形的面积介于与之间则线段的长介于与之间满足条件的点对应的线段长为而线段的总长度为故正方形的面积介于与之间的概率故答案为：
解析：
【解析】
若以线段为边的正方形的面积介于与之间，
则线段的长介于与之间，
满足条件的点对应的线段长为，
而线段的总长度为，
故正方形的面积介于与之间的概率.
故答案为：.
16.52【解析】由题意可知抽取的人数编号组成一个首项为7公差为15的等差数列则从这个数中应抽取的数是：故答案为52
解析：52
【解析】
由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列，
则从这个数中应抽取的数是：.
故答案为52.
17.【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度即可得到结论【详解】分别设两个互相独立的短信收到的时间为x y则所有事件集可表示为0≤x≤50≤y≤5
由题目得如果手机受则到干扰的事件发生必有|x
解析：
【解析】
【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的测度，即可得到结论
分别设两个互相独立的短信收到的时间为x，y．则所有事件集可表示为0≤x≤5，0≤y≤5．
由题目得，如果手机受则到干扰的事件发生，必有|x-y|≤2．
三个不等式联立，则该事件即为x-y=2和y-x=2在0≤x≤5，0≤y≤5的正方形中围起来的图形即图中阴影区域而所有事件的集合即为正方型面积52=25，
阴影部分的面积，
所以阴影区域面积和正方形面积比值即为手机受到干扰的概率为.
【点睛】
本题主要考查几何概型的概率的计算，分别求出对应区域的面积是解决本题的关键，比较基础．
18.-6或6【解析】当x＜0时25=（x+1）2解得：x=﹣6或x=4（舍去）当x≥0时25=（x﹣1）2解得：x=6或x=﹣4（舍去）即输入的x值为±6故答案为：﹣6或6点睛：根据流程图（或伪代码）写
解析：-6或6
【解析】当x＜0时，
25=（x+1）2，解得：x=﹣6，或x=4（舍去）
当x≥0时，
25=（x﹣1）2，解得：x=6，或x=﹣4（舍去）
即输入的x值为±6
故答案为：﹣6或6.
点睛：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
19.【解析】这20组随机数中该学生三次投篮中恰有一次命中的有537 730 488 027 257 683 458 925共8组则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为故填
解析：
【解析】这20组随机数中,该学生三次投篮中恰有一次命中的有537,730,488,027,257,683,458,925共8组,则该学生三次投篮中恰有一次命中的概率约为,故填.
20.【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意
解析：
【解析】
为单独递增函数，所以
点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围
三、解答题
21.（1）3人，2人，1人.（2）0.8.（3）第3组
【解析】
分析：（Ⅰ）由分层抽样方法可得第组：＝人；第组：＝人；第组：＝人；（Ⅱ）利用列举法可得个人抽取两人共有中不同的结果，其中第组的两位同学至少有一位同学被选中的情况有种，利用古典概型概率公式可得结果；（Ⅲ）由前两组频率和为，中位数可得在第组.
详解：（Ⅰ）因为第3，4，5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组学生人数分别为：
第3组：＝3人；第4组：＝2人；第5组：＝1人.
所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人.
（Ⅱ）设第3组3位同学为A1，A2，A3，第4组2位同学为B1，B2，第5组1位同学为C1，则从6位同学中抽两位同学的情况分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）.共有15种.
其中第4组的两位同学至少有一位同学被选中的情况分别为：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种可能.
所以，第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.
答：第4组中至少有一名学生被抽中的概率为0.8.
（Ⅲ）第3组
点睛：本题主要考查分层抽样以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，….，再，…..依次….…这样才能避免多写、漏写现象的发生.
22.见解析
【解析】
【分析】
【详解】
解：流程图如下：
程序如下：
INPUT a，b
IF a＝0 THEN
IF b＜0 THEN
PRINT“任意实数”
ELSE
PRINT“无解”
ELSE
IF a＞0 THEN
PRINT“x＜“；﹣b/a
ELSE
PRINT“x＞“；﹣b/a
ENDIF
ENDIF
ENDIF
END
点睛：解决算法问题的关键是读懂程序框图，明晰顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义，本题巧妙而自然地将算法、不等式、交汇在一起，用条件结构来进行考查.这类问题可能出现的错误：①读不懂程序框图；②条件出错；③计算出错.
23.（1）；（2）①详见解析；②2.
【解析】
【分析】
（1）根据生产线前件的总分为，生产线前件的总分为；则要使制取的生产线上的个产品的总分小于生产线上的个产品的总分，则第件产品的差要超过7.
（2）①可能取值为，根据超几何分布求解概率，列出分布列，再求期望.②由样品估计总体，优品的概率为，可取且，代入公式求解.
【详解】
（1）生产线前件的总分为，
生产线前件的总分为；
要使制取的生产线上的个产品的总分小于生产线上的个产品的总分，则第件产品的评分分别可以是，，，
故所求概率为.
（2）①可能取值为，
，，，
随机变量的分布列为：
.
②由样品估计总体，优品的概率为，可取且，
故.
【点睛】本题主要考查茎叶图，离散型随机变量的分布列和期望，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
24.(1)；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求解不等式可得的范围，由测度比为长度比求得的概率；
（2）求解对数不等式可得满足的的范围，得到整数个数，再由古典概型概率公式求得答案．
【详解】
解：（1），，又
故由几何概型可知，所求概率为.
（2），，
则在区间内满足的整数为3,4,5,6,7,8,9共有7个，
故由古典概型可知，所求概率为.
【点睛】本题考查古典概型与几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题．
25.（1）；（2）万元.
【解析】
【分析】
(1)先计算出，，代入公式求出，结合线性回归方程的表达式求出结果
(2)由线性回归方程计算出、、时的值，然后计算出结果
【详解】
（1）由题意得：，，
，
，
故每月的销售额关于月份的线性回归方程.
（2）因为每月的销售额关于月份的线性回归方程，
所以当时，；
当时，；
当时，，
则该药企今年第三季度这种新药的销售总额预计为万元.
【点睛】本题考查了线性回归方程的实际应用，结合公式求出回归方程是本题关键，较为基础
26.(1)2；(2)方案一能收到更多的费用.
【解析】
【分析】
（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加；
（2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可．
【详解】
(1)这100人月薪收入的样本平均数是
.
(2)方案一：月薪落在区间左侧收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间收活动费用约为（万元）；
月薪落在区间右侧收活动费用约为（万元）；
因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）；
方案二：这50人共收活动费用约为（万元）；
故方案一能收到更多的费用.
【点睛】本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题．