曹杨二中高一数学练习题2020年12月25日
一、填空题：
1.若，则符合条件的集合M有______________个.
【答案】8
【解析】或或或或或或或.
2.已知函数满足，则=______________.
【答案】
【解析】由，得，故.
3.函数的定义域为
.
【答案】且
【解析】由于，得，故；由于，得.
综上所述：且也可以表述为.
4.设集合，，若，则实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】由于，则；因为，则.
综上所述：.
5.已知函数的零点在区间内，则整数
.
【答案】1
【解析】零点：函数为0时，的值.
令，则.
零点在之间.
6.计算：
.
【答案】2.5
【解析】
7.若函数，，则
.
【答案】26
【解析】，得.
.
8.若函数是上的严格增函数，则实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】对称轴为直线.
因为函数在上的严格增函数，则，解得.
综上所述：实数的取值范围是.
9.若函数的最大值为，且是偶函数，则
.
【答案】1
【解析】因为是偶函数，所以，即，得.
因为，所以.
综上所述：.
10.已知函数满足，当，时总有，
若，则实数的取值范围是
.
【答案】
【解析】因为函数满足，所以函数的图像关于轴对称.
当，时总有，即，
故函数在区间为严格增函数，函数在区间为严格减函数.
①当时，函数为严格增函数，可满足，得.
②当时，函数为严格减函数，可满足，得.
③当，时，即时，，得，解得，
故.
④当，时，此时无解，舍.
综上所述：实数的取值范围是.
11.已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意满足，又当时，，则
.
【答案】
【解析】由于函数是定义在R上的奇函数，则，且.
因为对任意满足，则.
因为当时，，所以.
，，
因为函数是定义在R上的奇函数，函数图像为中心对称图像，定义域关于原点对称，
可得关于原点对称的点的纵坐标和为0，即.
故，即.
综上所述：.
【补充】（为整数）
（为整数）
12.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围为
.
【答案】
【解析】由于，则，
故，整理得：.
由于，得.
由于，
得.
，.
构造与的图像得：
综上所述：的取值范围为.
二、选择题：
13.下列每组函数是同一函数的是（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
【答案】B
【解析】对于A：（），（）；
对于C：（），（）
；
对于D：（或），（）.
14.函数的图像大致为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】化简整理：，由于，则.
【补充】，为偶函数.
15.已知函数，．若存在两个不同的零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据题意得：为单调函数.
因为存在两个不同的零点，则在时有一个解.
在时有一个解.
令，则；令，则.
设，，.
绘图如下：
当时，即时，存在两个不同的零点.
综上所述：实数的取值范围是.
16.若函数在R上是严格增函数，且满足对任意R，都有，则的值是(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
【答案】D
【解析】因为函数在R上是严格增函数，，则是一个定值.
设且，则，即.
由于，在R上都是单调函数，则，得，故.
.
三、解答题：
17.（1）已知函数，求；（2）已知，求.
【答案】（1）；（2）（）.
【解析】（1）整理：，则.
当时，，移项得，故，
此时（），
故.
（2），则，当时，.
移项得，解得（），故（），
此时，（）.
18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，.
当时，此时，，此时.
综上所述：.
（2）因为，∴.
因为，所以.
由于，，则
由题意得：函数是定义在上为严格增函数，故，解得.
综上所述：实数的取值范围为.
19.某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．
（1）根据周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
【答案】（1）；（2）当该商品的销售价格为元时，最大周利润为．
【解析】（1）当时，为一次函数图像.
设，代入（12，26），（20，10），解得，故.
当时，为一次函数图像.
设，代入（28，2），（20，10），解得，故.
周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式.
（2），
整理得：.
当时，，即当时，.
当时，，即当时，.
综上所述：当该商品的销售价格为元时，周利润最大，最大周利润为．
20.已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）当，求函数的最小值；
（3）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）；（3）
【解析】（1）.
，
故，得函数为奇函数.
（2）.
当时，即时，当时，；
当时，即时，当时，；
当，且（距离1更远）时，即时，；
当，且（距离1更远）时，即时，.
综上所述：.
（3）因为在为单调递增函数，则，则.
设，则在上恒大于0.
①当时，即时，；
②当时，即时，；
故，整理得，解得.
③当时，即时，，解得.
综上所述：实数的取值范围.
21.若函数同时满足：①函数在整个定义域是严格增函数（或严格减函数）；②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是R上的“闭函数”？若是求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求，满足的条件.
【答案】（1）不是“闭函数”；（2）；（3）且.
【解析】（1）因为是减函数满足①，设满足②，则，得，无解，故不
满足②，所以不是“闭函数”；
（2）因为在上是增函数，且为常数，所以是增函数，满足①，
设，令，则，得，故.
要想满足②，必须在区间上的值域为，即存在两
个不相同的实数根，此时，则.
又因为在上满足要求，且对称轴为直线，
则，且当时，，解得.
（3），对称轴为直线，
整理得：.
①当时，为一次函数，为严格减函数，则（舍）或（舍）；
②当时，为严格减函数，；
综上，，满足的条件是且.曹杨二中高一数学练习题2020年12月25日
一、填空题：
1.若，则符合条件的集合M有______________个.
2.已知函数满足，则=______________.
3.函数的定义域为
.
4.设集合，，若，则实数的取值范围是
.
5.已知函数的零点在区间内，则整数
.
6.计算：
.
7.若函数，，则
.
8.若函数是上的严格增函数，则实数的取值范围是
.
9.若函数的最大值为，且是偶函数，则
.
10.已知函数满足，当，时总有，
若，则实数的取值范围是
.
11.已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意满足，又当时，，则
.
12.已知函数，函数，其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围为
.
二、选择题：
13.下列每组函数是同一函数的是（
）
A.，
B.，
C.，
D.，
14.函数的图像大致为（
）
A.
B.
C.
D.
15.已知函数，．若存在两个不同的零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
16.若函数在R上是严格增函数，且满足对任意R，都有，则的值是(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
三、解答题：
17.（1）已知函数，求；（2）已知，求.
18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.
19.某网店经营的一种商品进价是每件10元，根据一周的销售数据得出周销量P（件）与单价x（元）之间的关系如图折线所示，该网店与这种商品有关的周开支均为25元．
（1）根据周销量图写出周销量P（件）与单价x（元）之间的函数关系式；
（2）写出周利润y（元）与单价x（元）之间的函数关系式；当该商品的销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润．
20.已知函数，.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）当，求函数的最小值；
（3）若不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
21.若函数同时满足：①函数在整个定义域是严格增函数（或严格减函数）；②存在区间，使得函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“闭函数”.
（1）判断是不是R上的“闭函数”？若是求出区间；若不是，说明理由；
（2）若是“闭函数”，求实数的取值范围；
（3）若在上的最小值是“闭函数”，求，满足的条件.
