上海市复兴高中2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题 Word版含答案

1136650011239500上海市复兴高级中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．双曲线的实轴长为________
2．以为准线的抛物线的标准方程为________
3．已知椭圆C：的两个焦点为、，P为椭圆C上一点，则的周长为________
4．直线（t为参数）的倾斜角大小为________
5．已知点在圆上运动，则的取值范围为________
6．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则双曲线的标准方程为．
7．点到抛物线上的点的距离的最小值为________
8．双曲线的左、右焦点分别为、，点P在双曲线上，且，则________
9．如图，A、B分别为椭圆C：的顶点，D为椭圆C上位于第一象限的动点，O为坐标原点，则四边形OADB面积的最大值为________
10．已知椭圆C：的两个焦点为、，且椭圆C上存在点P使得，则实数m的取值范围为________
11．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝______________．
12．已知，当ab取得最小值时，曲上的点到直线的距离的取值范围是________
二、单选题
13．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）条
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知椭圆E：，对于任意实数k，下列直线被椭圆E截得的弦长与l：被椭圆E截得的弦长不可能相等的是（ ）
A． B．
C． D．
15．已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点O为双曲线的中心，点P在双曲线右支上，△PF1F2内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F2作直线PQ的垂线，垂足为B，则下列结论成立的是（ ）
A．|OA|＞|OB| B．|OA|＜|OB|
C．|OA|＝|OB| D．|OA|与|OB|大小关系不确定
三、解答题
17．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为，求直线l的方程．
18．圆：，圆：，圆、关于直线l对称．
（1）求直线l的方程；
（2）直线l上是否存在点Q，使点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
19．已知点，直线l：，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为Q，且满足．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）对于（1）中轨迹C，为C上的一点，动点M、N都在C上，且直线AM与AN的斜率互为相反数，求证：直线MN的斜率是定值．（求出该定值）
20．设椭圆C：的两个焦点是和，且椭圆C与圆有公共点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若椭圆C上的点到焦点的最短距离为，求椭圆C的方程；
（3）对（2）中的椭圆C，直线l：与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点，求实数m的取值范围．
21．已知抛物线：上一点到焦点的距离为4，动直线交抛物线于坐标原点O和点A，交抛物线的准线于点B，若动点P满足，动点P的轨迹C的方程为．
（1）求出抛物线的标准方程；
（2）求动点P的轨迹方程；
（3）以下给出曲线C的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性；②范围；③渐近线；④时，写出由确定的函数的单调区间．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据双曲线标准方程以及实轴长为求解即可.
【详解】
由得，，故实轴长为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了双曲线的基本量求解，属于基础题型.
2．
【分析】
设抛物线方程为，再利用准线方程求解即可.
【详解】
设抛物线方程为，则，故.故抛物线的标准方程为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了抛物线的标准方程与准线方程，属于基础题型.
3．16
【分析】
由椭圆的定义求解即可.
【详解】
由椭圆的定义有，
故的周长为.
故答案为：16.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的焦点三角形的周长问题，属于基础题型.
4．
【分析】
先求出直线的直角坐标方程，再根据斜率求解即可.
【详解】
由有，故直线的斜率为，
又倾斜角，，故倾斜角
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了参数方程化直角坐标方程的方法，同时也考查了直线倾斜角与斜率的关系，属于基础题型.
5．
【分析】
设，再计算的取值范围即可.
【详解】
设，则，
因为，故的取值范围为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了圆的参数方程的运用与三角恒等变换的运用，属于基础题型.
6．
【解析】
试题分析：抛物线的焦点为，渐近线
考点：抛物线双曲线方程及性质
7．
【分析】
设抛物线上的点，再表达出的距离，再利用满足代换求最值即可.
【详解】
设抛物线上的点，则
故当时取最小值
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了点到抛物线上的点的最值问题，主要方法是设点表达所求的表达式，再利用抛物线的方程换元求二次函数最值即可.属于中等题型.
8．
【分析】
根据双曲线的定义有，再利用余弦定理求出，进而用三角形面积公式求解即可.
【详解】
由题，，由余弦定理有
又，，，代入得
，又，故
故.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义以及焦点三角形的面积运用等，需要利用余弦定理与双曲线的
进行运算，再利用面积公式求解.属于中等题型.
9．
【分析】
设，再利用，代入求得关于的关系式，利用三角恒等变换的公式求最值即可.
【详解】
设，则
.故当时最大值为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查椭圆的参数方程求面积最值的方法，属于基础题型.
10．
【分析】
存在点P使得即为存在点P使得为钝角，只需在椭圆上找到点P使得的最大值能够为钝角.分焦点在轴与轴两种情况进行分类计算即可.
【详解】
由题意得，椭圆C上存在点P使得即存在点P使得为钝角.故只需的最大值能够为钝角即可.
当焦点在轴上时，由椭圆的性质有，当在上下顶点时，取最大值，
此时若，则，故，解得.
当焦点在轴上时，由椭圆的性质有，当在左右顶点时，取最大值，
此时若，则，故，解得.
故m的取值范围为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查焦点三角形角度最值的问题，当在对应的短轴顶点时取得最值，属于基础题型.
11．
【解析】
试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，
圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，
根据新定义可知，曲线到直线的距离为，
对函数求导得，令，
故曲线在处的切线方程为，即，
于是曲线到直线的距离为，则有，
解得或，
当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.
综上所述，.
考点：1.新定义；2.直线与曲线的位置关系
12．
【分析】
利用基本不等式求得的最小值及当取得最小值时的值，再代入，分的正负判断方程的种类再画图分析即可.
【详解】
由题有，因为，故，当且仅当时取，因为，解得.故曲线方程为.
故方程为：，画出图像有

故为双曲线与的渐近线方程.
易得曲线上的点到直线的距离.
最大值时设椭圆上的点.
此时，
当时取最大值为.点到直线的距离的取值范围是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的运用以及圆锥曲线的综合问题，需要画图再化成参数方程的形式求点到线的距离最值问题，属于中等题型.
13．C
【分析】
在抛物线上，再画图分析直线与抛物线只有一个公共点的情况即可.
【详解】
由图，当过的直线与轴平行或与抛物线相切时仅有一个公共点.

故选：C
【点睛】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，利用几何法画出图像分析即可.属于基础题型.
14．A
【分析】
利用椭圆的对称性进行分析即可.
【详解】
对A，过，直线过，且斜率为.
由对称性可得与截得椭圆E：的弦长相等.
因为与平行且不关于原点对称，故被椭圆E截得的弦长不可能相等.
对B，过点，且斜率为.故与关于轴对称，由对称性可得被椭圆E截得的弦长相等.
对C，与关于轴对称，故被椭圆E截得的弦长相等.
对D，与关于原点对称，故被椭圆E截得的弦长相等.
故选：A
【点睛】
本题主要考查直线关于原点或坐标轴对称的关系与椭圆的对称性，属于基础题型.
15．D
【解析】

因为点到抛物线焦点距离等于点到抛物线的准线的距离，所以到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小等价于到点的距离与点到抛物线准线距离之和取得最小，如图，由几何性质可得，从向准线作垂线，其与抛物线交点就是所求点，将代入，可得，点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为，故选D.
【方法点晴】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于难题.与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.本题是将到焦点的距离转化为到准线的距离，再根据几何意义解题的.
16．C
【解析】
由于点Q为三角形PF1F2内切圆的圆心，故过点F2作PQ的垂线并延长交PF1于点N，易知垂足B为F2N的中点，连接OB，则|OB|＝|F1N|＝(|F1P|－|F2P|)＝a，又设内切圆与PF1，PF2分别切于G，H，则由内切圆性质可得|PG|＝|PH|，|F1G|＝|F1A|，|F2A|＝|F2H|，故|F1P|－|F2P|＝|F1A|－|F2A|＝2a，设|OA|＝x，则有x＋c－(c－x)＝2a，解得|OA|＝a，故有|OA|＝|OB|＝a，故选C.
17．（1）；（2）．
【分析】
(1)两式平方消去参数即可.
(2)利用点差法求解直线l的方程即可.
【详解】
(1)由，所以曲线C的普通方程为.
(2)设直线交椭圆于，的斜率为.则，
两式相减有，故
因为线段的中点坐标为，故，故，即.
故直线l的方程为，化简得
【点睛】
本题主要考查了椭圆的参数方程化简以及点差法的用法，属于中等题型.
18．（1）；（2）不存在．理由见解析
【分析】
(1)因为圆心关于直线l对称，故直线过圆心、的中点，且直线与垂直即可.
(2)由点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4可求得的轨迹为以，为焦点，的双曲线右支上，求出双曲线方程再分析与是否相交即可.
【详解】
(1)由题，直线过圆心、的中点，
又，即.故直线l的方程为，
化简得.
(2)由题意得的轨迹是以，为焦点，的双曲线右支.
故，故的轨迹方程为，.
联立得，方程组无解.
故直线l上不存在满足条件的点.
【点睛】
本题主要考查了直线中对称的问题，同时也考查了双曲线的轨迹问题与直线与双曲线的位置关系等，属于中等题型.
19．（1）；（2）定值为．证明见解析
【分析】
(1)设，根据化简求解轨迹方程即可.
(2)设，利用直线AM与AN的斜率互为相反数可得，再代入点坐标进行化简，最后表达出求解即可.
【详解】
(1)设，则，因为，
所以.即，即.
所以点P的轨迹C的方程为.
(2)因为在上，故设，则因为直线AM与AN的斜率互为相反数，故.即，又，.
，故.
所以直线MN的斜率为定值
故线MN的斜率是定值
【点睛】
本题主要考查了轨迹方程的一般求法，同时也考查了设点求证抛物线中的定值问题等，属于中等题型.
20．（1）；（2）；（3）．
【分析】
(1)根据椭圆C与圆有公共点，可转换为联立方程有解即可.
(2)设椭圆上的点，再求出到焦点的距离，分析取最短距离时的情况，再列式求解椭圆中基本量的关系即可.
(3)联立直线与椭圆的方程，求出MN的垂直平分线，代入即可得的关系，再根据判别式与的关系列出不等式进行求解即可.
【详解】
(1)由已知，，所以方程有实数解，从而.
故，所以，故a的取值范围是.
(2)设椭圆上的点到一个焦点的距离为，
则
因为，故，
因为.所以当时，
故，故椭圆方程为
(3)由
因为直线与椭圆交于不同两点，所以，即.
设，则，故线段的中点.
又线段的垂直平分线横过点，所以，即.
故.又，故，解得，
又，故
故实数m的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了椭圆上的点到焦点距离的最值问题，同时也考查了直线与椭圆的位置关系.一般是联立直线与椭圆的方程，根据题中所给的条件列出对应的表达式进行求解化简，属于中等题型.
21．（1）；（2）；（3）见解析．
【分析】
(1)根据抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离列式求解即可.
(2)求出的坐标，利用动点P满足，求出动点P的轨迹C的方程即可.
(3)根据(2)中所得的方程直接得出结论即可.
【详解】
(1)由题意，，所以
所以抛物线的标准方程为
(2)设，则与抛物线方程联立，可得，即，与联立，可得.因为，所以，所以，故，.
消去可得
(3)由，可得
①因为，，故关于轴对称；
②范围：，则.即
又当时，，
故，即或.
故，
③因为分母为，故渐近线
④当时，因为，所以由确定的函数为，即
，
当时，单调递减；当时，单调递增
故在上递减，在上递增.
综上所述，
①关于轴对称
②，
③渐近线
④时，由确定的函数在上递减，在上递增
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系与轨迹方程的求解等，属于中等题型.