北师大版九年级下册数学 2.2 二次函数的图像与性质 同步练习 (word版 含解析)
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册数学 2.2 二次函数的图像与性质 同步练习 (word版 含解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 85.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-14 22:22:57 | ||
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文档简介
2.2
二次函数的图像与性质
同步练习
一．选择题
1．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
???
0
1
3
4
5
???
y
???
﹣5
﹣
﹣
﹣5
﹣
???
根据表，下列判断正确的是（ ）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（ ）
A．a＜0、b＞0、c＞0
B．a＜0、b＜0、c＞0
C．a＜0、b＞0、c＜0
D．a＜0、b＜0、c＜0
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1
B．1＜m≤2
C．2＜m＜4
D．0＜m＜4
5．已知抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，其中a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．抛物线y＝﹣2x2+1上有两点（x1，y1）、（x2，y2），下说法中，正确的是（ ）
A．若x1＜x2，则y1＞y2
B．若x1＞x2，则y1＞y2
C．若x1＜x2＜0，则y1＜y2
D．若x1＞x2＞0，则y1＞y2
7．抛物线y＝2（x+1）2﹣4与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣4）
B．（﹣1，﹣4）
C．（0，﹣2）
D．（﹣2，0）
8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．对称轴是直线x＝
C．ab＜0
D．x＞时，y随x的增大而增大
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为2，且经过点（3，0），则a+b+c的值（ ）
A．等于0
B．等于1
C．等于﹣1
D．不能确定
10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④b＜1．
正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1
y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为
．
13．抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线
．
14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线
．
15．如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为
．
三．解答题
16．抛物线y＝x2﹣2x+c经过点（2，1）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．设抛物线与y轴的交点为点C．
（1）直接写出该抛物线的对称轴；
（2）求OC的长（用含a的代数式表示）；
（3）若∠ACB的度数不小于90°，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），
∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．
故选：D．
2．解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），
可知函数的对称轴为x＝2，
设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，
将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，
得到a＝﹣，c＝﹣3，
∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：C．
3．解：由图象开口可知：a＜0，
由图象与y轴交点可知：c＜0，
由对称轴可知：＜0，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
故选：D．
4．解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x＝m中2＜m＜4，
故选：C．
5．解：∵抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣1＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝3，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：B．
6．解：∵抛物线y＝﹣2x2+1，
∴对称轴是x＝0，抛物线开口方向向下，
又∵抛物线y＝﹣2x2+1上有两点（x1，y1）、（x2，y2），
∴若x1＜x2＜0，则y随x的增大而增大，即y1＜y2．
若0＜x2＜x1，则y随x的增大而减小，即y1＜y2．
若x2＜0＜x1，需看两个点与y轴的距离大小，距离大的函数值小，
所以选项C正确，
故选：C．
7．解：将x＝0代入y＝2（x+1）2﹣4，
∴y＝2﹣4＝﹣2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣2），
故选：C．
8．解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，正确；
B、对称轴为x＝，正确；
C、由对称轴为x＝＞0，可知a、b异号，即ab＜0，正确；
D、因为a＜0，所以，当x＞时，y随x的增大而减小，错误．
故选：D．
9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为2，
∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（1，0），
∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+b+c的值等于0．
故选：A．
10．解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＜0，c＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②∵当x＝1时，y＝2，
∴a+b+c＝2，结论②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确；
④当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0（1），
由②a+b+c＝2可得：c＝2﹣a﹣b（2），
把（2）式代入（1）式中得：b＞1；故④错误；
故选：B．
二．填空题
11．解：∵y＝x2+a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
12．解：设点A的坐标为（﹣2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为：2．
13．解：抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即x＝﹣1．
故答案为x＝﹣1．
14．解：
∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴其对称轴为x＝＝2
故答案为：x＝2．
15．解：∵y＝﹣x2+3x﹣2中a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，
∴y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为
y＝x2+3x﹣．
故答案是：y＝x2+3x﹣．
三．解答题
16．解：（1）把（2，1）代入y＝x2﹣2x+c得4﹣4+c＝1，解得c＝1，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1，
y＝（x﹣1）2，
所以抛物线顶点坐标为（1，0）；
（2）y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB＝2，
所以A（0，0），B（2，0），
所以新抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．
17．解：（1）把点A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得
a＝2．
则平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，则y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM为直角三角形，
∴S△BPM＝BP?MP＝××＝．
18．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）把A（﹣3，0）和B（1，0）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：
，
解得：c＝﹣3a，
∴OC＝3|a|；
（3）当∠ACB＝90°时，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠OAC＝∠OCB，
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴OC2＝OB?OA＝3，
∴CO＝，
∴c＝±，
①a＞0时，c＜0，
∵∠ACB不小于90°，c＝﹣3a，
∴﹣≤c＜0，
∵c＝﹣3a，
∴﹣≤﹣3a＜0，
∴0＜a≤；
②a＜0时，c＞0，
∵∠ACB不小于90°，
∴0＜c≤，
∵c＝﹣3a，
∴﹣≤a＜0．
综上所述可知：0＜a≤或﹣≤a＜0．
二次函数的图像与性质
同步练习
一．选择题
1．如果将抛物线y＝x2﹣2平移，使平移后的抛物线与抛物线y＝x2﹣8x+9重合，那么它平移的过程可以是（ ）
A．向右平移4个单位，向上平移11个单位
B．向左平移4个单位，向上平移11个单位
C．向左平移4个单位，向上平移5个单位
D．向右平移4个单位，向下平移5个单位
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
???
0
1
3
4
5
???
y
???
﹣5
﹣
﹣
﹣5
﹣
???
根据表，下列判断正确的是（ ）
A．该抛物线开口向上
B．该抛物线的对称轴是直线x＝1
C．该抛物线一定经过点（﹣1，﹣）
D．该抛物线在对称轴左侧部分是下降的
3．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，那么a、b、c的取值范围是（ ）
A．a＜0、b＞0、c＞0
B．a＜0、b＜0、c＞0
C．a＜0、b＞0、c＜0
D．a＜0、b＜0、c＜0
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（0，1），（4，0），当该二次函数的自变量分别取x1，x2（0＜x1＜x2＜4）时，对应的函数值是y1，y2，且y1＝y2，设该函数图象的对称轴是x＝m，则m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1
B．1＜m≤2
C．2＜m＜4
D．0＜m＜4
5．已知抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，其中a是常数且a＜0，下列选项中可能是它大致图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．抛物线y＝﹣2x2+1上有两点（x1，y1）、（x2，y2），下说法中，正确的是（ ）
A．若x1＜x2，则y1＞y2
B．若x1＞x2，则y1＞y2
C．若x1＜x2＜0，则y1＜y2
D．若x1＞x2＞0，则y1＞y2
7．抛物线y＝2（x+1）2﹣4与y轴的交点坐标为（ ）
A．（0，﹣4）
B．（﹣1，﹣4）
C．（0，﹣2）
D．（﹣2，0）
8．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．a＜0
B．对称轴是直线x＝
C．ab＜0
D．x＞时，y随x的增大而增大
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为2，且经过点（3，0），则a+b+c的值（ ）
A．等于0
B．等于1
C．等于﹣1
D．不能确定
10．抛物线y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论：
①abc＞0；②a+b+c＝2；③b2﹣4ac＞0；④b＜1．
正确的结论有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
二．填空题
11．如果点A（﹣3，y1）和点B（﹣2，y2）是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1
y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝ax2上的两点A、B满足OA＝OB，且tan∠OAB＝，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y＝x2的通径长为
．
13．抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线
．
14．如果点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，那么抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线
．
15．如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1与a2互为相反数，b1与b2相等，c1与c2互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为
．
三．解答题
16．抛物线y＝x2﹣2x+c经过点（2，1）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y＝x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB＝2，求新抛物线的表达式．
17．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，求△BPM的面积．
18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（1，0）．设抛物线与y轴的交点为点C．
（1）直接写出该抛物线的对称轴；
（2）求OC的长（用含a的代数式表示）；
（3）若∠ACB的度数不小于90°，求a的取值范围．
参考答案
一．选择题
1．解：∵抛物线y＝x2﹣8x+9＝（x﹣4）2﹣7的顶点坐标为（4，﹣7），抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（0，﹣2），
∴顶点由（0，﹣2）到（4，﹣7）需要向右平移4个单位再向下平移5个单位．
故选：D．
2．解：由表格中点（0，﹣5），（4，﹣5），
可知函数的对称轴为x＝2，
设函数的解析式为y＝a（x﹣2）2+c，
将点（0，﹣5），（1，﹣）代入，
得到a＝﹣，c＝﹣3，
∴函数解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3；
∴抛物线开口向下，抛物线在对称轴左侧部分是上升的；
故选：C．
3．解：由图象开口可知：a＜0，
由图象与y轴交点可知：c＜0，
由对称轴可知：＜0，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
故选：D．
4．解：当a＞0时，抛物线开口向上，则点（0，1）的对称点为（x0，1），
∴x0＞4，
∴对称轴为x＝m中2＜m＜4，
故选：C．
5．解：∵抛物线y＝ax2+3x+a﹣1，a是常数且a＜0，
∴图象开口向下，a﹣1＜0，
∴图象与y轴交于负半轴，
∵a＜0，b＝3，
∴抛物线对称轴在y轴右侧．
故选：B．
6．解：∵抛物线y＝﹣2x2+1，
∴对称轴是x＝0，抛物线开口方向向下，
又∵抛物线y＝﹣2x2+1上有两点（x1，y1）、（x2，y2），
∴若x1＜x2＜0，则y随x的增大而增大，即y1＜y2．
若0＜x2＜x1，则y随x的增大而减小，即y1＜y2．
若x2＜0＜x1，需看两个点与y轴的距离大小，距离大的函数值小，
所以选项C正确，
故选：C．
7．解：将x＝0代入y＝2（x+1）2﹣4，
∴y＝2﹣4＝﹣2，
∴抛物线与y轴的交点为（0，﹣2），
故选：C．
8．解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，正确；
B、对称轴为x＝，正确；
C、由对称轴为x＝＞0，可知a、b异号，即ab＜0，正确；
D、因为a＜0，所以，当x＞时，y随x的增大而减小，错误．
故选：D．
9．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为2，
∴根据二次函数的对称性得：点（3，0）的对称点为（1，0），
∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
∴a+b+c的值等于0．
故选：A．
10．解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，抛物线与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣＜0，c＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②∵当x＝1时，y＝2，
∴a+b+c＝2，结论②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确；
④当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0（1），
由②a+b+c＝2可得：c＝2﹣a﹣b（2），
把（2）式代入（1）式中得：b＞1；故④错误；
故选：B．
二．填空题
11．解：∵y＝x2+a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
12．解：设点A的坐标为（﹣2a，a），点A在x轴的负半轴，
则a＝，
解得，a＝0（舍去）或a＝，
∴点A的横坐标是﹣1，点B的横坐标是1，
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，
故答案为：2．
13．解：抛物线y＝mx2+2mx+5的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，即x＝﹣1．
故答案为x＝﹣1．
14．解：
∵点A（1，2）和点B（3，2）都在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴其对称轴为x＝＝2
故答案为：x＝2．
15．解：∵y＝﹣x2+3x﹣2中a＝﹣1，b＝3，c＝﹣2，且﹣1的相反数是1，与b相等的数是3，﹣2的倒数是﹣，
∴y＝﹣x2+3x﹣2的“亚旋转函数”为
y＝x2+3x﹣．
故答案是：y＝x2+3x﹣．
三．解答题
16．解：（1）把（2，1）代入y＝x2﹣2x+c得4﹣4+c＝1，解得c＝1，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1，
y＝（x﹣1）2，
所以抛物线顶点坐标为（1，0）；
（2）y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，抛物线的对称轴为直线x＝1，
而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB＝2，
所以A（0，0），B（2，0），
所以新抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．
17．解：（1）把点A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得
a＝2．
则平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，则y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM为直角三角形，
∴S△BPM＝BP?MP＝××＝．
18．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（2）把A（﹣3，0）和B（1，0）分别代入y＝ax2+bx+c（a≠0）得：
，
解得：c＝﹣3a，
∴OC＝3|a|；
（3）当∠ACB＝90°时，
∵∠OAC+∠OCA＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠OAC＝∠OCB，
又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴OC2＝OB?OA＝3，
∴CO＝，
∴c＝±，
①a＞0时，c＜0，
∵∠ACB不小于90°，c＝﹣3a，
∴﹣≤c＜0，
∵c＝﹣3a，
∴﹣≤﹣3a＜0，
∴0＜a≤；
②a＜0时，c＞0，
∵∠ACB不小于90°，
∴0＜c≤，
∵c＝﹣3a，
∴﹣≤a＜0．
综上所述可知：0＜a≤或﹣≤a＜0．