北师大版九年级下册数学 2.4 二次函数的应用 同步练习（word版，含答案）
文档属性
| 名称 | 北师大版九年级下册数学 2.4 二次函数的应用 同步练习（word版，含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 138.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-14 22:24:46 | ||
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文档简介
2.4
二次函数的应用
同步练习
一．选择题
1．周长是4m的矩形，它的面积S（m2）与一边长x（m）的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h＝﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1米
B．1.5米
C．1.6米
D．1.8米
3．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（ ）
A．y＝（60+2x）（40+2x）
B．y＝（60+x）（40+x）
C．y＝（60+2x）（40+x）
D．y＝（60+x）（40+2x）
4．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．﹣3
B．1
C．5
D．8
5．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ ）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
6．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月、2月、3月
B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月
D．1月、11月、12月
7．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A．1米
B．2米
C．5米
D．6米
8．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y＝
B．y＝﹣
C．y＝﹣
D．y＝
9．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y＝﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ）
A．1米
B．2米
C．4米
D．5米
10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为
（ ）
A．33°
B．36°
C．42°
D．49°
二．填空题
11．等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为
．
12．某炮弹从炮口射出后飞行的高度h（m）与飞行的时间t（s）之间的函数关系式为h＝v0×t﹣5t2，其中v0是发射的初速度，当v0＝300m/s时，炮弹飞行的最大高度为
m，该炮弹在空中运行了
s落到地面上．
13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为
米．
14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价
元，最大利润为
元．
15．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为
米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
三．解答题
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
17．阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
（1）当x＝
时，代数式3（x﹣2）2﹣1有最
（填“大”或“小”）值为
；
（2）当x＝
时，代数式﹣2x2﹣4x+3有最
（填“大”或“小”）值为
；
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
18．竹叶山汽车城销售某种型号的汽车，每辆进价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x万元，平均每周的销售利润为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围．
（2）销售部经理说通过降价促销，可以使每周最大利润突破50万元，他的说法对吗？
（3）要使每周的销售利润不低于48万元，那么销售单价应该定在哪个范围内？
参考答案
一．选择题
1．解：
∵S＝x（2﹣x）
＝﹣（x﹣1）2+1（0＜x＜2）．
∴顶点坐标（1，1）开口向下．
故选：D．
2．解：h＝﹣t2+t+1＝﹣（t2﹣16t+64﹣64）+1＝﹣（t﹣8）2++1＝﹣（t﹣8）2+1.8．
故选：D．
3．解：长是：60+2x，宽是：40+2x，
由矩形的面积公式得
则y＝（60+2x）（40+2x）．
故选：A．
4．解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，且CD＝8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故选：D．
5．解：如图，把C点纵坐标y＝3.05代入y＝x2+3.5中得：
x＝±1.5（舍去负值），
即OB＝1.5，
所以L＝AB＝2.5+1.5＝4m．
故选：B．
6．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24
＝﹣（n﹣2）（n﹣12），
当y＝0时，n＝2或者n＝12．
又∵图象开口向下，
∴1月，y＜0；2月、12月，y＝0．
∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．
故选：C．
7．解：方法一：
根据题意，得
y＝x2+6x（0≤x≤4），
＝﹣（x﹣2）2+6
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
方法二：
因为对称轴x＝＝2，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
故选：B．
8．解：依题意设抛物线解析式y＝ax2，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4＝a×52，
解得a＝﹣，
所以y＝﹣x2．
故选：C．
9．解：令y＝3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5＝3.05，
解得：x＝4或x＝1（舍去）．
所以运行的水平距离为4米．
故选：C．
10．解：由图象可知，物线开口向上，
从18和72两个点可以看出对称抽x＜
所以最终对称抽的范围是36＜x＜45
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间．
所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的周长为C，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴DC＝BD＝，
∴AD＝＝C，
∴S＝×C×＝C2．
故答案为：S＝×C×＝C2．
12．解：将v0＝300m/s代入解析式得：
h＝300×t﹣5t2，根据抛物线顶点公式可求得最大高度为1125m
令h＝0，则0＝300×t﹣5t2
所以t＝30．
13．解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）
设函数解析式为y＝ax2+bx+c
把A、B、C三点分别代入得出c＝2.5
同时可得4a+2b+c＝2.5，0.25a+0.5b+c＝1
解之得a＝2，b＝﹣4，c＝2.5．
∴y＝2x2﹣4x+2.5＝2（x﹣1）2+0.5．
∵2＞0
∴当x＝1时，y＝0.5米．
∴故答案为：0.5米．
14．解：设应降价x元，销售量为（20+x）个，
根据题意得利润y＝（100﹣x）（20+x）﹣70（20+x）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
故为了获得最大利润，则应降价5元，最大利润为625元．
15．解：当y＝0时，即﹣x2+4x+＝0，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
故答案为：．
三．解答题
16．解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得
x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
17．解：（1）当x＝2时，代数式3（x﹣2）2﹣1有最小值为﹣1；
故答案为2、小、﹣1．
（2）代数式﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5
∴当x＝﹣1时，代数式﹣2x2﹣4x+3有最大值为5．
故答案为﹣1、大、5．
（3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为xm，花园的面积为ym2．根据题意，得
y＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32
∵﹣2＜0，∴当x＝4时，y有最大值为32，
答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为4m时，花园的面积最大，最大面积是32m2．
18．解：（1）
（2）不对，，
故当降价1.5万元时，每周利润最大为50万元，不能突破50万元．
（3）当y＝48时，﹣8x2+24x+32＝48，
解得x1＝1，x2＝2．
观察图形知，当1≤x≤2时，即销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．
二次函数的应用
同步练习
一．选择题
1．周长是4m的矩形，它的面积S（m2）与一边长x（m）的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．一个网球发射器向空中发射网球，网球飞行的路线呈一条抛物线，如果网球距离地面的高度h（米）关于运行时间t（秒）的函数解析式为h＝﹣t2+t+1（0≤t≤20），那么网球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1米
B．1.5米
C．1.6米
D．1.8米
3．在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（ ）
A．y＝（60+2x）（40+2x）
B．y＝（60+x）（40+x）
C．y＝（60+2x）（40+x）
D．y＝（60+x）（40+2x）
4．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y＝a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（ ）
A．﹣3
B．1
C．5
D．8
5．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是（ ）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
6．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y＝﹣n2+14n﹣24，则该企业一年中应停产的月份是（ ）
A．1月、2月、3月
B．2月、3月、4月
C．1月、2月、12月
D．1月、11月、12月
7．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x（米）的函数解析式是y＝x2+6x（0≤x≤4），那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）
A．1米
B．2米
C．5米
D．6米
8．如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
A．y＝
B．y＝﹣
C．y＝﹣
D．y＝
9．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y＝﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ）
A．1米
B．2米
C．4米
D．5米
10．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为
（ ）
A．33°
B．36°
C．42°
D．49°
二．填空题
11．等边三角形的周长为C，面积为S，则面积S关于周长C的函数解析式为
．
12．某炮弹从炮口射出后飞行的高度h（m）与飞行的时间t（s）之间的函数关系式为h＝v0×t﹣5t2，其中v0是发射的初速度，当v0＝300m/s时，炮弹飞行的最大高度为
m，该炮弹在空中运行了
s落到地面上．
13．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为
米．
14．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价
元，最大利润为
元．
15．闵行体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+4x+，那么圆形水池的半径至少为
米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
三．解答题
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
17．阅读材料：
配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有个最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．
请解决下列问题：
（1）当x＝
时，代数式3（x﹣2）2﹣1有最
（填“大”或“小”）值为
；
（2）当x＝
时，代数式﹣2x2﹣4x+3有最
（填“大”或“小”）值为
；
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
18．竹叶山汽车城销售某种型号的汽车，每辆进价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x万元，平均每周的销售利润为y万元．
（1）求y与x之间的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围．
（2）销售部经理说通过降价促销，可以使每周最大利润突破50万元，他的说法对吗？
（3）要使每周的销售利润不低于48万元，那么销售单价应该定在哪个范围内？
参考答案
一．选择题
1．解：
∵S＝x（2﹣x）
＝﹣（x﹣1）2+1（0＜x＜2）．
∴顶点坐标（1，1）开口向下．
故选：D．
2．解：h＝﹣t2+t+1＝﹣（t2﹣16t+64﹣64）+1＝﹣（t﹣8）2++1＝﹣（t﹣8）2+1.8．
故选：D．
3．解：长是：60+2x，宽是：40+2x，
由矩形的面积公式得
则y＝（60+2x）（40+2x）．
故选：A．
4．解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x＝1，此时D点横坐标为5，则CD＝8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x＝4，且CD＝8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
故点D的横坐标最大值为8；
故选：D．
5．解：如图，把C点纵坐标y＝3.05代入y＝x2+3.5中得：
x＝±1.5（舍去负值），
即OB＝1.5，
所以L＝AB＝2.5+1.5＝4m．
故选：B．
6．解：∵y＝﹣n2+14n﹣24
＝﹣（n﹣2）（n﹣12），
当y＝0时，n＝2或者n＝12．
又∵图象开口向下，
∴1月，y＜0；2月、12月，y＝0．
∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月．
故选：C．
7．解：方法一：
根据题意，得
y＝x2+6x（0≤x≤4），
＝﹣（x﹣2）2+6
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
方法二：
因为对称轴x＝＝2，
所以水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米．
故选：B．
8．解：依题意设抛物线解析式y＝ax2，
把B（5，﹣4）代入解析式，
得﹣4＝a×52，
解得a＝﹣，
所以y＝﹣x2．
故选：C．
9．解：令y＝3.05得：﹣（x﹣2.5）2+3.5＝3.05，
解得：x＝4或x＝1（舍去）．
所以运行的水平距离为4米．
故选：C．
10．解：由图象可知，物线开口向上，
从18和72两个点可以看出对称抽x＜
所以最终对称抽的范围是36＜x＜45
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间．
所以此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°．
故选：C．
二．填空题
11．解：如图所示：过点A作AD⊥BC于点D，
∵等边三角形的周长为C，
∴AB＝BC＝AC＝，
∴DC＝BD＝，
∴AD＝＝C，
∴S＝×C×＝C2．
故答案为：S＝×C×＝C2．
12．解：将v0＝300m/s代入解析式得：
h＝300×t﹣5t2，根据抛物线顶点公式可求得最大高度为1125m
令h＝0，则0＝300×t﹣5t2
所以t＝30．
13．解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，
由题意可得A（0，2.5），B（2，2.5），C（0.5，1）
设函数解析式为y＝ax2+bx+c
把A、B、C三点分别代入得出c＝2.5
同时可得4a+2b+c＝2.5，0.25a+0.5b+c＝1
解之得a＝2，b＝﹣4，c＝2.5．
∴y＝2x2﹣4x+2.5＝2（x﹣1）2+0.5．
∵2＞0
∴当x＝1时，y＝0.5米．
∴故答案为：0.5米．
14．解：设应降价x元，销售量为（20+x）个，
根据题意得利润y＝（100﹣x）（20+x）﹣70（20+x）＝﹣x2+10x+600＝﹣（x﹣5）2+625，
故为了获得最大利润，则应降价5元，最大利润为625元．
15．解：当y＝0时，即﹣x2+4x+＝0，
解得x1＝，x2＝﹣（舍去）．
答：水池的半径至少米时，才能使喷出的水流不落在水池外．
故答案为：．
三．解答题
16．解：（1）设每件衬衫降价x元，商场平均每天盈利y元，
则y＝（40﹣x）（20+2x）＝800+80x﹣20x﹣2x2＝﹣2x2+60x+800，
当y＝1200时，1200＝（40﹣x）（20+2x），
解得
x1＝10，x2＝20，
经检验，x1＝10，x2＝20都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以x＝20，
答：每件衬衫应降价20元；
（2）∵y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，
∴当x＝15时，y的最大值为1250，
答：当每件衬衫降价15元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是1250元．
17．解：（1）当x＝2时，代数式3（x﹣2）2﹣1有最小值为﹣1；
故答案为2、小、﹣1．
（2）代数式﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5
∴当x＝﹣1时，代数式﹣2x2﹣4x+3有最大值为5．
故答案为﹣1、大、5．
（3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为xm，花园的面积为ym2．根据题意，得
y＝x（16﹣2x）
＝﹣2x2+16x
＝﹣2（x﹣4）2+32
∵﹣2＜0，∴当x＝4时，y有最大值为32，
答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为4m时，花园的面积最大，最大面积是32m2．
18．解：（1）
（2）不对，，
故当降价1.5万元时，每周利润最大为50万元，不能突破50万元．
（3）当y＝48时，﹣8x2+24x+32＝48，
解得x1＝1，x2＝2．
观察图形知，当1≤x≤2时，即销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．