新人教版数学七年级下 5.1 相交线3课时教案
文档属性
| 名称 | 新人教版数学七年级下 5.1 相交线3课时教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 230.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2011-11-29 21:35:02 | ||
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文档简介
5.1 相交线
5.1.1 相交线
【教学目标】
1. 知识与能力：
（1）理解对顶角的概念，会在图形中找出对顶角．
（2）掌握对顶角的性质，了解它的推证过程，会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
（3）了解邻补角的概念，会在图形中找出角的邻补角，并会应用它进行有关的推理或计算．
2.过程与方法：
经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程建立空间概念，发展学生的抽象概括能力
3.情感、态度与价值观：
使学生认识数学与现实生活的联系，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识
【教学重点】 对顶角、邻补角的概念以及性质
【教学难点】性质的探究过程
【教学方法】创设情境――主体探究――应用提高
【教学过程】
一、创设问题情境，引发学生兴趣，引出本节课要研究的问题
活动1：投影出一些实物和教室中的一些实物．
活动2：让学生举出一些实例．
活动3：教师引导学生将上述实际问题抽象为几何图形的位置关系——平面上两条直线的位置关系有两种，如图
在上述基础上引出课题(写出章的课题和本节课的课题－－相交线)
二、问题研究、探索对顶角和邻补角的概念和性质
[活动1]找出图中的相交线和平行线
教师活动设计：教师出示一组图片，引导学生进行观察，让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状抽象出具体的数学知识，使新的知识建立在对周围环境的直接感知的基础上，让学生增强对相交线、平行线的生活原型的认识，建立直观、形象的数学模型。
学生活动设计：学生观察图片，找相交线和平行线
在本次活动中，教师注重：
学生从简单的具体实物中抽象出几何图形（相交线、平行线）的能力
学生认识到相交线、平行线在日常生活中有着广泛的应用
学生学习数学的兴趣
[活动2]
问题
一把张开的剪刀，能联想出什么样的几何图形？
学生活动设计：学生独立思考，画出相应的几何图形，并用几何语言描述
教师活动设计：教师出示剪刀图片，提出问题，在学生思考的过程中深入到学生中，指导得出几何图形，并在黑板上画出准确的几何图形。通过生活中的情境抽象出几何图形，发现对顶角、邻补角，培养空间概念，发展几何直观
观察这些角有什么位置关系？
学生活动设计：学生分组讨论在具体图形中得出两条相交线构成4个角，根据图形描述对顶角、邻补角特征。学生可结合概念特征寻找到图中的四对邻补角和两对对顶角
教师活动设计：教师提出问题，通过对图形中角与角位置关系的分析，学生描述邻补角、对顶角的概念，从角的位置关系研究这些角的相互关系。让学生经历从图形到文字到符号的转换过程，使学生加深对对顶角、邻补角概念的理解，积累一些对图形研究的经验和方法
对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角
邻补角：若两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，则这两个叫邻补角
[活动3]
问题
对顶角有什么大小关系？你能说明理由吗？
（2）你能举出生活中对顶角的例子吗？
学生活动设计：学生以组为单位，研究解决问题的方法，鼓励学生从已有经验（量角器、邻补角和为180°）出发，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，得出对顶角相等的结论，口述过程。学生在探索过程中可能遇到困难，出现问题，通过合作学习加以解决
教师活动设计：
教师在活动中关注：
（1）学生能否借助邻补角互补推导出对顶角相等的性质
（2）学生能否进行简单的说理
（3）学生是否能运用对顶角相等准确的找到生活中的例子
通过举出生活中的例子，使学生进一步理解对顶角的性质，体会对顶角在生活中的应用
[活动4 ]
问题
（1）直线a、b相交于点O，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数
（2）∠1等于90度时，∠2、∠3、∠4的度数各是多少？
学生活动设计：学生独立思考，自主解决问题，在独立思考的基础上进行交流，从而锻炼说理能力
教师活动设计：
通过具体问题在次强化对顶角的概念及性质，并培养学生的说理习惯，发展符号感，逐步培养学生用几何语言交流的能力；根据学生情况出示问题2，为学习垂线作铺垫
本次活动教师应关注：
（1）学生对对顶角相等掌握的情况
（2）学生进行简单说理的准确性，规范性
（3）学生能否在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论
（4）能否用几何符号语言来表达自己的解题过程
[活动5]
问题
找出图中∠AOE的对顶角以及邻补角，若没有请画出
学生活动设计：
学生首先独立思考，在思考的基础上进行讨论，然后动手操作，完成对问题的解决
教师活动设计：
教师具体指导并根据学生情况板书规范的简单说理的过程，通过一道开放性问题，由直观的几何图形巩固学生对对顶角的认识和理解，通过画图提高空间想像能力。帮助学生突破本节难点
在本次活动中关注：
（1）学生能否根据定义画出∠AOE的对顶角
（2）学生能否找出图中对顶角、邻补角
[解答]
三、拓展创新，应用提高，培养学生应用知识解决问题的能力
问题：
如图，两条直线相交于一点O，可以构成4对对顶角
问题（1）若三条直线相交于一点O，可以构成几对对顶角？
问题（2）n条直线相交于点O,可以构成多少对顶角？
学生活动设计：
学生独立思考，自主探索，动手操作，寻求解决问题的方法，
不难发现三条直线相交于一点时，构成对顶角的个数是6对对顶角
但是当n条直线相交时呢？可以再进一步研究四条直线的情况
图中共有12对
观察上述数字之间的关系发现
2条直线是2对＝2×
3条是 6对＝2×（1＋2）
4条是 12对＝2×（1＋2＋3）
从上可以看出
n条直线应是2×（1+2+3+…n－1）＝n（n－1）对
教师活动设计：
在本问题的解决过程中主要注重学生对推理的理解，能否从简单问题推导出一般情况，若出现困难，教师可以适当进行启发，引导学生掌握研究此类问题的方法
〔解答〕略
四、小结与作业
小结：
对顶角的概念及性质
邻补角的概念及性质
[作业]略
5.1.2 垂线
【教学目标】
1. 知识与能力：
（1）使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线．
2.过程与方法：
经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力
3.情感、态度与价值观：
通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐
【教学重点】使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质
【教学难点】用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法
【教学方法】创设情境－－主体探究－－应用提高
【教学过程】
一、创设情境，探究垂线的概念
活动1：两条直线相交形成4个角，在相交线模型中若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，
学生观察：当所成的角是90°时，我们说这两条直线互相垂直
教师和学生归纳：
若两条直线相交成90°角，则称这两条直线互相垂直，当两条直线互相垂直时，其中一条直线就是另一条直线的垂线
如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOD=90°，则称为AB与CD垂直，
记作AB⊥CD，交点O叫作垂足
注意：垂直是两个图形的位置关系，而垂线是一个图形
二、创设情境，引导学生探索垂线的画法
活动2：如图
现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法？
通过上述方法作出的垂线有几条？从中你能发现什么结论？
学生活动设计：学生独立思考，动手操作，自主探索。经过思考、操作发现，
对于问题（1）可以有下列几种方法来画垂线
①用度量法，用量角器
②用三角板，如图
③用折纸法，对折直线AB，使折痕两旁的部分重合，且折痕过点C(点D)折痕所在的直线就是符合条件的直线
对于问题（2）学生经过上述作图，不难发现，只能作一条，于是得到垂线的性质
教师活动设计：
引导学生进行探究，及时纠正学生的不准确的几何语言为规范的符号语言，同时在学生归纳的基础上进行归纳垂线的性质
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，且只能画一条垂线
即：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
[活动3]
巩固练习
画一条线段或一条射线的垂线，如何画？
（1） （2） （3）
学生活动设计：
学生思考、讨论，交流，特别是第（2）、（3）个问题，让学生经过观察发现，作已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线，只要理解这一点，作垂线的问题就迎刃而解
教师活动设计：
在学生讨论过程中，适当的引导学生如何作线段的垂线，特别是（2）（3）需要将其延长或反向延长，才能作出垂线，进而归纳出垂线的性质
三、问题引申，探究点到直线的距离问题，培养学生的应用意识，以及探究精神
[活动4]
问题：在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
学生探究：
学生可以自主探究，先在直线AB上任取一些点，连接此点和C，可以发现CD最短，此时CD⊥AB,于是找到挖渠方案（或通过教师的电脑演示，发现当CD与AB垂直时，距离最短）
教师活动：
适时的给出概念：
垂线段：垂线上一点到垂足的距离
点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度
〔解答〕过C作AB的垂线，垂足为D，则线段CD就是挖渠路线
[活动5] 从上述探究过程中你能发现什么结论？
学生归纳：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
即：垂线段最短
教师活动：纠正学生在总结归纳时语言的简洁性与准确性
[活动6]
问题：
学校要测出一块三角形空地的面积，以便计算绿化成本，现在已经测量出AC＝5 cm，还要测量出哪些量，才能计算三角形的面积？
学生活动设计：学生独立思考，自主探索，根据三角形的面积公式不难发现只要测量出点B到线段AC的距离即可计算三角形的面积，于是可以作出点B到AC的垂线段BD，再测量BD的长度即可
教师活动设计：
在学生活动的过程中，若出现思维上的困难可以适时的进行引导、启发，通过这个问题的解决，使学生进一步理解点到直线的距离的概念，让学生体验在生活中数学的作用，增强学生的应用意识
〔解答〕略
四、拓展创新、应用提高，培养学生的逻辑思维能力
问题1：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数
学生活动设计：
由OE⊥AB可以知∠BOE=90°，于是∠AOC+∠COE=90°，又∠DOE=3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°，于是3∠COE＋∠COE＝180°，从而∠COE＝45°，所以∠AOC＝90°－45°＝45°，进而得到∠AOD＝135°
教师活动设计：
在学生思考或表述过程中及时提醒学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时考察学生的几何直观
〔解答〕因为∠DOE=3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°
所以3∠COE＋∠COE＝180°
所以∠COE＝45°
因为OE⊥AB
所以∠BOE=90°
所以∠BOC＝135°
又∠BOC=∠AOD
所以∠AOD＝135°
问题2：如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N是分别位于公路两侧的村庄
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？
学生活动设计：
学生独立思考，在必要时可以进行适当的讨论，经过思考或讨论可以发现对于问题（1）当汽车距离M最近时，相当于过M作直线AB的垂线，垂足就是P点，同理，过N点直线AB的垂线，垂足就是Q的位置；对于问题（2）可以通过图形观察发现，当处于AP路段时距离两村距离越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远、距离N越来越近
教师活动设计：本问题的解决，再一次让学生体会
数学与生活的密切练习
学生的作图能力的训练
垂线段最短的知识
两点之间距离的定义
解决实际问题的能力
因此在学生探究期间，要给予充分的空间和时间，借此让学生的主体性充分发挥，教师仅起到引导者的作用
五、小结与作业
小结：
垂线的定义
垂线的性质（2个）
垂线性质的应用
[作业]略
5.1.3同位角、内错角和同旁内角
[教学目标]
1．能说出同位角、内错角和同旁内角的意义。
2．会识别图形（包括变式图形和比较复杂的图形）中的同位角、内错角和同旁内角。
此外，这种训练过程中，不断提高学生排除变式图形中的非本质现象。复杂图形中“背景”干扰的能力。
［引导性材料］
1．复习两条直线相交得到的四个角的位置关系及性质；
（在两条直线相交得到的四个角的位置及大小关系知识的基础上，进一步研究一条直线与两条直线相交得到的八个角的位置关系。）
2．展示图形，如图2．3—1，引导学生分析图中八个角的位置关系。
（帮助学生从直观上感知“同位”、“内错”、“同旁”等位置关系，为下面的新课学习作充分准备。）
[知识产生和发展过程的教学设计]
问题1－1：如图2．3－1，怎样描述直线AB、CD和EF的位置关系？
（引导学生说出“直线AB、CD和EF相交”，或者“两条直线AB、CD被第三第直线EF所截”。）
问题1－2：如图2．3－1中，直线AB、CD被EF所截得到八个角，这其中有哪些我们已经学过的有特殊位置关系的角？
问题2－1：观察图2．3－1中的∠1和∠5，它们的位置关系有什么特点？
（引导学生观察得出这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同一侧（右侧），这是“同位角”的本质属性。然后，可以用“位置相同”来描述这种位置关系，给出“同位角”的描述性定义。）
像这样位置相同的一对角叫做同位角。
问题2－2：你还能在图2．3－1中找出其他的同位角吗？一共有几对？
问题2－3：你能看出两个同位角的边与边之间有什么关系吗？
（互为同位角的两个角没有公共顶点和公共边，但有一条边在同一条直线上，然后将上述互为同位角的两个角，从图2．3－1中分解出来，画出如图2．3－2的草图，从这些简单图形中容易识别出∠1和∠2都是同位角。可顺便指出，形如“F”的图形中有同位角。）
图2．3－2
这就是把复杂图形“分解”为简单图形的训练，这种训练能有效地帮助学生掌握识图技能，从而扫除学生识别内错角、同旁内角时可能存在的障碍。
此外，还要训练学生用规范的几何语言描述；如图2．3－1中，∠1和∠5是“直线AB和直线CD被直线EF所截得的“同位角”。
问题2－4：图2．3－3中的∠1和∠2是同位角吗？为什么？
图2．3－3
（本题考察学生是否理解“同位角”的意义（本质属性）以及对变式图形的识别能力。
以上关于“同位角”的内容，应作为本课的重点，以便“举一反三”。）
问题3－1：图2．3－1中的∠3和∠5的位置关系是怎样的？
（在分析同位角的基础上，学生较容易能得出∠3和∠5在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF的两侧。“像这样的一对角叫做内错角”。其中“错”为“交错”的意思。）
问题3－2：图2．3—l中还有哪些角是内错角？
问题3－3：你会从图2．3－1中“分解”出这些内错角吗？这些（分解后的内错角）图形像哪一个英文字母？
（训练学生分解图形的技能，并可引导学生得出“Z”形图形的两个角是内错角。
要求学生说出图2．3－l中的内错角是哪两条直线被哪一条直线截得的。）
问题3－4：图2．3－4中的∠1和∠2是内错角吗？为什么？
图2．3－4
问题4－1：观察图2．3－1中的∠4和∠5有什么位置关系？
∠4和∠5都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一侧，像这样的一对角叫同旁内角。
问题4－2：图2．3－1中还有哪些同旁内角？并说出它们是哪两条直线被哪一条直线截得的？
（进而仿照教学同位角和内错角的过程，进行相应的识图和语言叙述的训练。）
问题4－3：图2．3－5中的∠1和∠2是同旁内角吗？为什么？
图2．3－5
[例题讲解]
课本第68页例题。
（本例题既考查了对基本图形的识别，又考查了对学过的“对顶角”和“邻补角”等知识的掌握及运用。）
[练习]
课本第68页练习第1、2题．
（第2题主要考查学生对变式图形的识别能力，如果学生仍有困难，教学中应引导学生回到定义，抓住本质去识别同位角、内错角和同旁内角。）
[小结]
本节课学习了两条直线与第三条直线相交所得八个角的有关知识，重点训练和培养学生对复杂图形和变式图形的识别能力。
[作业]略
5.1.1 相交线
【教学目标】
1. 知识与能力：
（1）理解对顶角的概念，会在图形中找出对顶角．
（2）掌握对顶角的性质，了解它的推证过程，会用对顶角的性质进行有关的推理和计算．
（3）了解邻补角的概念，会在图形中找出角的邻补角，并会应用它进行有关的推理或计算．
2.过程与方法：
经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程建立空间概念，发展学生的抽象概括能力
3.情感、态度与价值观：
使学生认识数学与现实生活的联系，促使学生在学习活动中培养良好的情感、合作交流、主动参与的意识
【教学重点】 对顶角、邻补角的概念以及性质
【教学难点】性质的探究过程
【教学方法】创设情境――主体探究――应用提高
【教学过程】
一、创设问题情境，引发学生兴趣，引出本节课要研究的问题
活动1：投影出一些实物和教室中的一些实物．
活动2：让学生举出一些实例．
活动3：教师引导学生将上述实际问题抽象为几何图形的位置关系——平面上两条直线的位置关系有两种，如图
在上述基础上引出课题(写出章的课题和本节课的课题－－相交线)
二、问题研究、探索对顶角和邻补角的概念和性质
[活动1]找出图中的相交线和平行线
教师活动设计：教师出示一组图片，引导学生进行观察，让学生借助已有的几何知识从现实生活中发现数学问题，能由实物的形状抽象出具体的数学知识，使新的知识建立在对周围环境的直接感知的基础上，让学生增强对相交线、平行线的生活原型的认识，建立直观、形象的数学模型。
学生活动设计：学生观察图片，找相交线和平行线
在本次活动中，教师注重：
学生从简单的具体实物中抽象出几何图形（相交线、平行线）的能力
学生认识到相交线、平行线在日常生活中有着广泛的应用
学生学习数学的兴趣
[活动2]
问题
一把张开的剪刀，能联想出什么样的几何图形？
学生活动设计：学生独立思考，画出相应的几何图形，并用几何语言描述
教师活动设计：教师出示剪刀图片，提出问题，在学生思考的过程中深入到学生中，指导得出几何图形，并在黑板上画出准确的几何图形。通过生活中的情境抽象出几何图形，发现对顶角、邻补角，培养空间概念，发展几何直观
观察这些角有什么位置关系？
学生活动设计：学生分组讨论在具体图形中得出两条相交线构成4个角，根据图形描述对顶角、邻补角特征。学生可结合概念特征寻找到图中的四对邻补角和两对对顶角
教师活动设计：教师提出问题，通过对图形中角与角位置关系的分析，学生描述邻补角、对顶角的概念，从角的位置关系研究这些角的相互关系。让学生经历从图形到文字到符号的转换过程，使学生加深对对顶角、邻补角概念的理解，积累一些对图形研究的经验和方法
对顶角：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，则这两个角互为对顶角
邻补角：若两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，则这两个叫邻补角
[活动3]
问题
对顶角有什么大小关系？你能说明理由吗？
（2）你能举出生活中对顶角的例子吗？
学生活动设计：学生以组为单位，研究解决问题的方法，鼓励学生从已有经验（量角器、邻补角和为180°）出发，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，得出对顶角相等的结论，口述过程。学生在探索过程中可能遇到困难，出现问题，通过合作学习加以解决
教师活动设计：
教师在活动中关注：
（1）学生能否借助邻补角互补推导出对顶角相等的性质
（2）学生能否进行简单的说理
（3）学生是否能运用对顶角相等准确的找到生活中的例子
通过举出生活中的例子，使学生进一步理解对顶角的性质，体会对顶角在生活中的应用
[活动4 ]
问题
（1）直线a、b相交于点O，∠1＝40°，求∠2、∠3、∠4的度数
（2）∠1等于90度时，∠2、∠3、∠4的度数各是多少？
学生活动设计：学生独立思考，自主解决问题，在独立思考的基础上进行交流，从而锻炼说理能力
教师活动设计：
通过具体问题在次强化对顶角的概念及性质，并培养学生的说理习惯，发展符号感，逐步培养学生用几何语言交流的能力；根据学生情况出示问题2，为学习垂线作铺垫
本次活动教师应关注：
（1）学生对对顶角相等掌握的情况
（2）学生进行简单说理的准确性，规范性
（3）学生能否在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论
（4）能否用几何符号语言来表达自己的解题过程
[活动5]
问题
找出图中∠AOE的对顶角以及邻补角，若没有请画出
学生活动设计：
学生首先独立思考，在思考的基础上进行讨论，然后动手操作，完成对问题的解决
教师活动设计：
教师具体指导并根据学生情况板书规范的简单说理的过程，通过一道开放性问题，由直观的几何图形巩固学生对对顶角的认识和理解，通过画图提高空间想像能力。帮助学生突破本节难点
在本次活动中关注：
（1）学生能否根据定义画出∠AOE的对顶角
（2）学生能否找出图中对顶角、邻补角
[解答]
三、拓展创新，应用提高，培养学生应用知识解决问题的能力
问题：
如图，两条直线相交于一点O，可以构成4对对顶角
问题（1）若三条直线相交于一点O，可以构成几对对顶角？
问题（2）n条直线相交于点O,可以构成多少对顶角？
学生活动设计：
学生独立思考，自主探索，动手操作，寻求解决问题的方法，
不难发现三条直线相交于一点时，构成对顶角的个数是6对对顶角
但是当n条直线相交时呢？可以再进一步研究四条直线的情况
图中共有12对
观察上述数字之间的关系发现
2条直线是2对＝2×
3条是 6对＝2×（1＋2）
4条是 12对＝2×（1＋2＋3）
从上可以看出
n条直线应是2×（1+2+3+…n－1）＝n（n－1）对
教师活动设计：
在本问题的解决过程中主要注重学生对推理的理解，能否从简单问题推导出一般情况，若出现困难，教师可以适当进行启发，引导学生掌握研究此类问题的方法
〔解答〕略
四、小结与作业
小结：
对顶角的概念及性质
邻补角的概念及性质
[作业]略
5.1.2 垂线
【教学目标】
1. 知识与能力：
（1）使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
（2）会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线．
2.过程与方法：
经历观察、分析、概括、论述的学习过程，培养学生逻辑思维能力以及推理能力，进一步训练学生的作图能力
3.情感、态度与价值观：
通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐
【教学重点】使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质
【教学难点】用垂线定义判断两条直线是否垂直及垂线的画法
【教学方法】创设情境－－主体探究－－应用提高
【教学过程】
一、创设情境，探究垂线的概念
活动1：两条直线相交形成4个角，在相交线模型中若固定木条a，旋转木条b，当b的位置发生变化时，a、b所成的角也会随之变化，
学生观察：当所成的角是90°时，我们说这两条直线互相垂直
教师和学生归纳：
若两条直线相交成90°角，则称这两条直线互相垂直，当两条直线互相垂直时，其中一条直线就是另一条直线的垂线
如图，直线AB与直线CD相交于点O，若∠AOD=90°，则称为AB与CD垂直，
记作AB⊥CD，交点O叫作垂足
注意：垂直是两个图形的位置关系，而垂线是一个图形
二、创设情境，引导学生探索垂线的画法
活动2：如图
现有一条已知直线AB，分别过直线外一点C和直线上一点D，作AB的垂线，你能有几种方法？
通过上述方法作出的垂线有几条？从中你能发现什么结论？
学生活动设计：学生独立思考，动手操作，自主探索。经过思考、操作发现，
对于问题（1）可以有下列几种方法来画垂线
①用度量法，用量角器
②用三角板，如图
③用折纸法，对折直线AB，使折痕两旁的部分重合，且折痕过点C(点D)折痕所在的直线就是符合条件的直线
对于问题（2）学生经过上述作图，不难发现，只能作一条，于是得到垂线的性质
教师活动设计：
引导学生进行探究，及时纠正学生的不准确的几何语言为规范的符号语言，同时在学生归纳的基础上进行归纳垂线的性质
经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，且只能画一条垂线
即：
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
[活动3]
巩固练习
画一条线段或一条射线的垂线，如何画？
（1） （2） （3）
学生活动设计：
学生思考、讨论，交流，特别是第（2）、（3）个问题，让学生经过观察发现，作已知线段、射线的垂线其实就是经过已知点作已知线段、射线所在的直线的垂线，只要理解这一点，作垂线的问题就迎刃而解
教师活动设计：
在学生讨论过程中，适当的引导学生如何作线段的垂线，特别是（2）（3）需要将其延长或反向延长，才能作出垂线，进而归纳出垂线的性质
三、问题引申，探究点到直线的距离问题，培养学生的应用意识，以及探究精神
[活动4]
问题：在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
学生探究：
学生可以自主探究，先在直线AB上任取一些点，连接此点和C，可以发现CD最短，此时CD⊥AB,于是找到挖渠方案（或通过教师的电脑演示，发现当CD与AB垂直时，距离最短）
教师活动：
适时的给出概念：
垂线段：垂线上一点到垂足的距离
点到直线的距离：点到直线的垂线段的长度
〔解答〕过C作AB的垂线，垂足为D，则线段CD就是挖渠路线
[活动5] 从上述探究过程中你能发现什么结论？
学生归纳：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
即：垂线段最短
教师活动：纠正学生在总结归纳时语言的简洁性与准确性
[活动6]
问题：
学校要测出一块三角形空地的面积，以便计算绿化成本，现在已经测量出AC＝5 cm，还要测量出哪些量，才能计算三角形的面积？
学生活动设计：学生独立思考，自主探索，根据三角形的面积公式不难发现只要测量出点B到线段AC的距离即可计算三角形的面积，于是可以作出点B到AC的垂线段BD，再测量BD的长度即可
教师活动设计：
在学生活动的过程中，若出现思维上的困难可以适时的进行引导、启发，通过这个问题的解决，使学生进一步理解点到直线的距离的概念，让学生体验在生活中数学的作用，增强学生的应用意识
〔解答〕略
四、拓展创新、应用提高，培养学生的逻辑思维能力
问题1：如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数
学生活动设计：
由OE⊥AB可以知∠BOE=90°，于是∠AOC+∠COE=90°，又∠DOE=3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°，于是3∠COE＋∠COE＝180°，从而∠COE＝45°，所以∠AOC＝90°－45°＝45°，进而得到∠AOD＝135°
教师活动设计：
在学生思考或表述过程中及时提醒学生用规范的语言进行表述，以此训练学生的逻辑推理能力，同时考察学生的几何直观
〔解答〕因为∠DOE=3∠COE，且∠DOE＋∠COE＝180°
所以3∠COE＋∠COE＝180°
所以∠COE＝45°
因为OE⊥AB
所以∠BOE=90°
所以∠BOC＝135°
又∠BOC=∠AOD
所以∠AOD＝135°
问题2：如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A地开往B地，M、N是分别位于公路两侧的村庄
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到Q点时，距离村庄N最近，请在图中的公路AB上分别画出点P和点Q的位置
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段距离M、N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离M越来越远？
学生活动设计：
学生独立思考，在必要时可以进行适当的讨论，经过思考或讨论可以发现对于问题（1）当汽车距离M最近时，相当于过M作直线AB的垂线，垂足就是P点，同理，过N点直线AB的垂线，垂足就是Q的位置；对于问题（2）可以通过图形观察发现，当处于AP路段时距离两村距离越来越近，在处于PQ路段时距离M越来越远、距离N越来越近
教师活动设计：本问题的解决，再一次让学生体会
数学与生活的密切练习
学生的作图能力的训练
垂线段最短的知识
两点之间距离的定义
解决实际问题的能力
因此在学生探究期间，要给予充分的空间和时间，借此让学生的主体性充分发挥，教师仅起到引导者的作用
五、小结与作业
小结：
垂线的定义
垂线的性质（2个）
垂线性质的应用
[作业]略
5.1.3同位角、内错角和同旁内角
[教学目标]
1．能说出同位角、内错角和同旁内角的意义。
2．会识别图形（包括变式图形和比较复杂的图形）中的同位角、内错角和同旁内角。
此外，这种训练过程中，不断提高学生排除变式图形中的非本质现象。复杂图形中“背景”干扰的能力。
［引导性材料］
1．复习两条直线相交得到的四个角的位置关系及性质；
（在两条直线相交得到的四个角的位置及大小关系知识的基础上，进一步研究一条直线与两条直线相交得到的八个角的位置关系。）
2．展示图形，如图2．3—1，引导学生分析图中八个角的位置关系。
（帮助学生从直观上感知“同位”、“内错”、“同旁”等位置关系，为下面的新课学习作充分准备。）
[知识产生和发展过程的教学设计]
问题1－1：如图2．3－1，怎样描述直线AB、CD和EF的位置关系？
（引导学生说出“直线AB、CD和EF相交”，或者“两条直线AB、CD被第三第直线EF所截”。）
问题1－2：如图2．3－1中，直线AB、CD被EF所截得到八个角，这其中有哪些我们已经学过的有特殊位置关系的角？
问题2－1：观察图2．3－1中的∠1和∠5，它们的位置关系有什么特点？
（引导学生观察得出这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同一侧（右侧），这是“同位角”的本质属性。然后，可以用“位置相同”来描述这种位置关系，给出“同位角”的描述性定义。）
像这样位置相同的一对角叫做同位角。
问题2－2：你还能在图2．3－1中找出其他的同位角吗？一共有几对？
问题2－3：你能看出两个同位角的边与边之间有什么关系吗？
（互为同位角的两个角没有公共顶点和公共边，但有一条边在同一条直线上，然后将上述互为同位角的两个角，从图2．3－1中分解出来，画出如图2．3－2的草图，从这些简单图形中容易识别出∠1和∠2都是同位角。可顺便指出，形如“F”的图形中有同位角。）
图2．3－2
这就是把复杂图形“分解”为简单图形的训练，这种训练能有效地帮助学生掌握识图技能，从而扫除学生识别内错角、同旁内角时可能存在的障碍。
此外，还要训练学生用规范的几何语言描述；如图2．3－1中，∠1和∠5是“直线AB和直线CD被直线EF所截得的“同位角”。
问题2－4：图2．3－3中的∠1和∠2是同位角吗？为什么？
图2．3－3
（本题考察学生是否理解“同位角”的意义（本质属性）以及对变式图形的识别能力。
以上关于“同位角”的内容，应作为本课的重点，以便“举一反三”。）
问题3－1：图2．3－1中的∠3和∠5的位置关系是怎样的？
（在分析同位角的基础上，学生较容易能得出∠3和∠5在直线AB、CD之间，并且分别在直线EF的两侧。“像这样的一对角叫做内错角”。其中“错”为“交错”的意思。）
问题3－2：图2．3—l中还有哪些角是内错角？
问题3－3：你会从图2．3－1中“分解”出这些内错角吗？这些（分解后的内错角）图形像哪一个英文字母？
（训练学生分解图形的技能，并可引导学生得出“Z”形图形的两个角是内错角。
要求学生说出图2．3－l中的内错角是哪两条直线被哪一条直线截得的。）
问题3－4：图2．3－4中的∠1和∠2是内错角吗？为什么？
图2．3－4
问题4－1：观察图2．3－1中的∠4和∠5有什么位置关系？
∠4和∠5都在直线AB、CD之间，但它们在直线EF的同一侧，像这样的一对角叫同旁内角。
问题4－2：图2．3－1中还有哪些同旁内角？并说出它们是哪两条直线被哪一条直线截得的？
（进而仿照教学同位角和内错角的过程，进行相应的识图和语言叙述的训练。）
问题4－3：图2．3－5中的∠1和∠2是同旁内角吗？为什么？
图2．3－5
[例题讲解]
课本第68页例题。
（本例题既考查了对基本图形的识别，又考查了对学过的“对顶角”和“邻补角”等知识的掌握及运用。）
[练习]
课本第68页练习第1、2题．
（第2题主要考查学生对变式图形的识别能力，如果学生仍有困难，教学中应引导学生回到定义，抓住本质去识别同位角、内错角和同旁内角。）
[小结]
本节课学习了两条直线与第三条直线相交所得八个角的有关知识，重点训练和培养学生对复杂图形和变式图形的识别能力。
[作业]略