华东师大版数学七年级下册课件：9.1.2.三角形的内角和与外角和(共30张PPT)

2. 三角形的内角和与外角和
新课导入
在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们写第三个内角拼在起，发现三个内角恰好拼成了一个平角.
3
1
1
2
2
2
1
3
还有折叠的方法
得出结论：三角形的内角和等于 180°.
新课探索
如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3 表示△ABC 的三个内角，证明∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
A
B
C
1
2
3
你还有其他方法吗？
A
B
C
1
2
3
解 延长 BC 至点 E，以点 C为顶点，在 BE 的上侧作∠DCE =∠2，
E
D
∵CD // BA，
∴∠1 =∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3 +∠ACD +∠DCE = 180°，
∴∠1 +∠2 +∠3 = 180°.
则 CD// BA（同位角相等两直线平行）.
A
B
C
1
2
3
∵　∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义），
∴　∠A + ∠B + ∠C = 180°（等量代换）.
证明：过点 A 作直线 l ，使 l ∥BC.
∵　 l ∥BC ，
∴　∠2 = ∠4，
∠3 = ∠5
（两直线平行，内错角相等）.
4
5
思考
　 通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
C
A
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
n
A
C
B
由三角形的内角和等于180°，容易得出下面的结论：
直角三角形的两个锐角互余.
你能说明其理由吗？
A
C
B
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
练习
　如图，说出各图中∠1 的度数.　　
30°
105°
1
（2）
80°
50°
1
（1）
22°
1
（3）
50°
45°
68°
现在我们讨论三角形的外角及外角和.
如图，一个三角形的每一个外角对应一 个相邻的内角和两个不相邻的内角.
外角
相邻内角
不相邻内角
A
B
C
D
三角形的外角与内角有什么关系呢？
∠CBD（外） +∠ABC（相邻的内角） = 180°.
A
B
C
D
那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
依据三角形的内角和等于 180°，我们有
∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180°.
由上面两个式子，可以推出
∠CBD = 180°– ∠ABC，
∠ACB +∠BAC =180°– ∠ABC.
A
B
C
D
那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
A
B
C
D
那么外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？
因而可以得到结论:
∠CBD =∠ACB +∠BAC.
由此可知，三角形的外角有两条性质:
1. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
练习
∠C
∠3
∠DAC
∠4
　　如图，口答：
（1）∠1 = + ；
（2）∠2 = + .
B
A
C
D
1
2
3
4
A
B
C
1
2
3
∠1 +∠2 +∠3 是△ABC 的外角和.
∠1 +_______ = 180°，
∠2 +_______ = 180°，
∠3 +_______ = 180°.
∠ACB
∠BAC
∠ABC
三式相加可以得到
∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=______，
∠ACB
∠BAC
∠ABC
540°
而 ∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180°，
可以得到
∠1 +∠2 +∠3 = 360°.
三角形的外角和等于360°.
你能证明吗？
A
B
C
1
2
3
D
证明：过点 A 作 AD∥BC，
∴∠1 = ∠EAD，
∠3 = ∠BAD.
又∵∠2 +∠BAD +∠EAD = 360°，
∴ ∠1 +∠2 +∠3 = 360°.
E
例 1 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°.
求：（1）∠B 的度数；
（2）∠C 的度数.
A
B
D
C
A
B
D
C
解??（1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知），
∴∠B +∠BAD =?∠ADC?=?80°（三角形的一?个外角等于与它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠B =∠BAD（已知），
∠B?=?80°× = 40°（等量代换）.
1
2
A
B
D
C
（2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180°（三角形的内角和等于180°）,
∴∠C = 180°– ∠B – ∠BAC（等式的性质）
= 180° – 40° – 70°
= 70°.
练习
（1） （2） （3）
1
1
1
2
2
2
60°
80°
30°
40°
40°
∠1 = 40°
∠2 = 140°
∠1 = 110°
∠2 = 70°
∠1 = 50°
∠2 = 140°
　　如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数：
课堂小结
三角形的内角和等于 180°.
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的外角和等于360°.
随堂演练
1.△ABC 中，∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3，则∠A =______，∠B = ______，∠C = ______.
90°
30°
60°
2. 如图，∠1 = _______.
3. 如图，AB∥CD，∠A = 40°，∠D = 45°，则∠1 = _______.
110°
85°
第2题图 第3题图
　4. 如图，说出图形中∠1 的度数.
图中∠1的度数依次为：90°，85°， 95°，45°.
（1） （2）
（3） （4）
30°　
60°　
1　
35°　
60°　
1
45°　
50°　
1
30°　
15°　
1
　　5. 如图，从 A 处观测 C 处的仰角∠CAD = 30°，从 B 处观测 C 处的仰角∠CBD = 45°. 从 C 处观测 A，B 两处的视角∠ACB 是多少？ 　　
A
B
D
C
∠ACB =∠CBD – ∠CAD
= 45°– 30°= 15°.
6. 如图，是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
解：∵∠AFG =∠B +∠D，
∠AGF =∠C +∠E，
∠A +∠AFG +∠AGF =180°，
∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°.
F
G