华东师大版数学七年级下册课件：9.2 多边形的内角和与外角和(共30张PPT)
文档属性
| 名称 | 华东师大版数学七年级下册课件：9.2 多边形的内角和与外角和(共30张PPT) |  | |
| 格式 | ppt | ||
| 文件大小 | 1.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-15 12:27:42 | ||
图片预览
文档简介
9.2 多边形的内角和与外角和
新课导入
顶点
边
内角
三角形的内角和等于180°.
你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
新课探索
图中是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD.
D
B
A
C
图中是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形 ABCDE.
A
B
C
D
E
一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们已经认识的多边形.
注意
这也是四边形，但不在现在的研究范围内.
我们现在研究的多边形都是凸多边形.
∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形 ABCD的四个内角.
∠CBE 和∠ABF 都是与∠ABC 相邻的外角，两者互为对顶角.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
五边形有 5 个内角，有 10 个外角.
A
B
C
D
E
F
六边形有 6 个内角，有 12 个外角.
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
探索
为了求得 n 边形的内角和，请根据图中所示，完成下表.
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成的三角形个数
1
2
…
多边形的内角和
180°
360°
…
540°
3
4
720°
5
900°
n – 2
（n – 2）·180°
n 边形的内角和为（n – 2）·180°.
“归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程. 在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到. 当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向. 因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的.
读
一
读
例 1 求八边形的内角和.
解 八边形的内角和为
（n – 2）×180° = （8 – 2）×180°= 1080°.
例 2 已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.
解 设这个多边形的边数为 n，
根据题意，得
（n – 2）×180°= 2160°.
解得 n = 14.
即这个多边形的边数为 14.
练习
若正 n 边形的一个内角是 144°，那么 n = .
10
试
一
试
你有其他方法证明多边形的内角和吗？
P
在 n 边形内任取一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得 n 个三角形. 则 n 变形的内角和等于 n 个三角形的内角和减去圆角 P.
即 180°n – 360°=（n – 2）·180°
若是将点 P 取在多边形的边上以及多边形的外面，你能证明吗？
P
P
A
B
C
1
2
3
D
4
5
6
7
8
四边形的外角和
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 就是四边形的外角和.
从图中可以知道：
（∠1 +∠5）+（∠2 +∠6）+（∠3 +∠7）+（∠4 +∠8）= 4×180°，
所以 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180°–（∠5 +∠6 +∠7 +∠8） .
而 ∠5 +∠6 +∠7 +∠8 = 360°.
因此 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
探索
根据 n 边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得 n 边形的外角和据此，请将数据填人表中.
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
多边形的内角和与外角和的总和
…
多边形的内角和
180°
…
多边形的外角和
540°
720°
900°
3×180°
= 540°
4×180°
= 720°
5×180°
= 900°
6×180°
= 1080°
7×180°
= 1260°
n·180°
360°
（n – 2）·180°
360°
360°
360°
360°
360°
360°
任意多边形的外角和都为360°.
例 3 一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解 设多边形的边数为 n，根据题意，得
n · 72°= 360°.
解得 n = 5.
因此，这个多边形是五边形.
例 4 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，这个多边形是几边形？
解 设多边形的边数为 n，根据题意，得
（n – 2）· 180 °= 5×360°.
解得 n = 12.
因此，这个多边形是十二边形.
课堂小结
n 边形的内角和为（n – 2）·180°.
任意多边形的外角和都为360°.
一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们已经认识的多边形.
随堂演练
1. 下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（ ）
A. 600° B. 720° C. 900° D. 1080°
2. 若多边形的边数由 3 增加到 5，则其外角和的度数（ ）
A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 不能确定
A
C
3. 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是（n – 2）·180°，外角和等于360°，
所以（n – 2）·180°= 3×360°.
解得 n = 8
答：这个多边形是八边形.
4. 如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进10 米，后左转 30 度，再沿直线前进 10 米. 又向左转 30 度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了多少米？
解：由题意可知，小亮第一次回到出发地 A 点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于 30°，边长为10 米. 所以这个多边形的边数为
所以一共走了12×10 = 120（米）.
新课导入
顶点
边
内角
三角形的内角和等于180°.
你能从图中想象出几个由一些线段围成的图形吗？
新课探索
图中是四边形，它是由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形 ABCD.
D
B
A
C
图中是五边形，它是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为五边形 ABCDE.
A
B
C
D
E
一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们已经认识的多边形.
注意
这也是四边形，但不在现在的研究范围内.
我们现在研究的多边形都是凸多边形.
∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四边形 ABCD的四个内角.
∠CBE 和∠ABF 都是与∠ABC 相邻的外角，两者互为对顶角.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
五边形有 5 个内角，有 10 个外角.
A
B
C
D
E
F
六边形有 6 个内角，有 12 个外角.
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
正三角形
正方形
正五边形
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
A
B
C
D
探索
为了求得 n 边形的内角和，请根据图中所示，完成下表.
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
分成的三角形个数
1
2
…
多边形的内角和
180°
360°
…
540°
3
4
720°
5
900°
n – 2
（n – 2）·180°
n 边形的内角和为（n – 2）·180°.
“归纳推理”是数学中的一种推理方式，体现了从特殊到一般的推理过程. 在这里，我们通过对三边形、四边形、五边形等的探索，发现它们的内角和与边数之间存在某种逻辑关系，从而归纳出多边形的内角和公式.这种归纳推理的方式，我们今后还会经常用到. 当然，“看”出来的数学结果未必一定正确，但它们还是给我们指引了研究的方向. 因此，归纳推理和演绎推理相结合是必要的.
读
一
读
例 1 求八边形的内角和.
解 八边形的内角和为
（n – 2）×180° = （8 – 2）×180°= 1080°.
例 2 已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数.
解 设这个多边形的边数为 n，
根据题意，得
（n – 2）×180°= 2160°.
解得 n = 14.
即这个多边形的边数为 14.
练习
若正 n 边形的一个内角是 144°，那么 n = .
10
试
一
试
你有其他方法证明多边形的内角和吗？
P
在 n 边形内任取一点 P，连结点 P 与多边形的每个顶点，可得 n 个三角形. 则 n 变形的内角和等于 n 个三角形的内角和减去圆角 P.
即 180°n – 360°=（n – 2）·180°
若是将点 P 取在多边形的边上以及多边形的外面，你能证明吗？
P
P
A
B
C
1
2
3
D
4
5
6
7
8
四边形的外角和
∠1 +∠2 +∠3 +∠4 就是四边形的外角和.
从图中可以知道：
（∠1 +∠5）+（∠2 +∠6）+（∠3 +∠7）+（∠4 +∠8）= 4×180°，
所以 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 4×180°–（∠5 +∠6 +∠7 +∠8） .
而 ∠5 +∠6 +∠7 +∠8 = 360°.
因此 ∠1 +∠2 +∠3 +∠4 = 360°.
探索
根据 n 边形的每一个内角与它的相邻的外角都互为补角，可以求得 n 边形的外角和据此，请将数据填人表中.
多边形的边数
3
4
5
6
7
…
n
多边形的内角和与外角和的总和
…
多边形的内角和
180°
…
多边形的外角和
540°
720°
900°
3×180°
= 540°
4×180°
= 720°
5×180°
= 900°
6×180°
= 1080°
7×180°
= 1260°
n·180°
360°
（n – 2）·180°
360°
360°
360°
360°
360°
360°
任意多边形的外角和都为360°.
例 3 一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解 设多边形的边数为 n，根据题意，得
n · 72°= 360°.
解得 n = 5.
因此，这个多边形是五边形.
例 4 一个多边形的内角和等于它外角和的 5 倍，这个多边形是几边形？
解 设多边形的边数为 n，根据题意，得
（n – 2）· 180 °= 5×360°.
解得 n = 12.
因此，这个多边形是十二边形.
课堂小结
n 边形的内角和为（n – 2）·180°.
任意多边形的外角和都为360°.
一般地，由 n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为 n 边形，也即我们已经认识的多边形.
随堂演练
1. 下列各个度数中，不可能是多边形的内角和的是（ ）
A. 600° B. 720° C. 900° D. 1080°
2. 若多边形的边数由 3 增加到 5，则其外角和的度数（ ）
A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 不能确定
A
C
3. 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？
解：设这个多边形是 n 边形，则它的内角和是（n – 2）·180°，外角和等于360°，
所以（n – 2）·180°= 3×360°.
解得 n = 8
答：这个多边形是八边形.
4. 如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进10 米，后左转 30 度，再沿直线前进 10 米. 又向左转 30 度，…，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了多少米？
解：由题意可知，小亮第一次回到出发地 A 点时，他的行走路线是一个正多边形，且这个正多边形的外角等于 30°，边长为10 米. 所以这个多边形的边数为
所以一共走了12×10 = 120（米）.