2 函数的图象
新课导入
如图,点 P(a, b) 关于 x 轴,y 轴以及原点的对称点的坐标分别是多少?
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
P(a, b)
0
2
4
6
8
-2
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
气温T
(℃)
时间 t
(时)
某地一天内的气温变化图.
说一说,你是如何在图中找到各个时刻的气温的?
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0
2
4
6
8
-2
-4
2
4
6
8
10
12
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16
18
20
22
24
气温T
(℃)
时间 t
(时)
图中,有一个直角坐标系,它的横轴是 t 轴,表示时间;它的纵轴是 T 轴,表示气温.
这一气温曲线实际上给出了某日的气温 T(℃)与时间 t(时)的函数关系.
0
2
4
6
8
-2
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
气温T
(℃)
时间 t
(时)
“早上6点的气温是零下1℃”,在图中体现在哪里?
0
2
4
6
8
-2
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
气温T
(℃)
时间 t
(时)
例如,上午 10 时的气温是 2 ℃,表现在气温曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标是(10, 2).
(10, 2)
实质上也就是说,当 t =10 时,对应的函数值 T=2. 气温曲线上每一个点的坐标 (t,T),表示时间为 t 时的气温是 T(℃)
0
2
4
6
8
-2
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
气温T
(℃)
时间 t
(时)
(10, 2)
从图中我们可以看出,随着时间 t(时)的变化,相应的气温 T(℃)也随之变化.
0
2
4
6
8
-2
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
气温T
(℃)
时间 t
(时)
温度升高
温度降低
气温曲线是用图象表示函数的一个实际例子.那么,什么是函数的图象呢?
思考
一般来说, 函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成.
概括
图象上每一点的坐标 (x, y) 代表了函数的一对对应值,它的横坐标 x 表示自变量的某一取值,纵坐标 y 表示与它对应的函数值.
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
y = x
画出函数 y = x2 的图象.
1
2
例 1
分析:函数图象上的点一般来说有无数多个,要把每个点都作出来得到函数图象很困难,甚至是不可能的.所以我们常作出函数图象上的一部分点,然后用光滑的曲线把这些点连接起来得到函数的图象.
画出函数 y = x2 的图象.
1
2
例 1
请同学们想一想,怎么才能得到图象上的一部分点呢?
画出函数 y = x2 的图象.
1
2
例 1
解
取自变量x的一些值, 例如 x = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … , 计算出相对应的函数值.如下表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
由这一系列的对应值,可以得到一系列的有序实数对:
… , (-3, 4.5) , (-2, 2) , (-1, 0.5) , (0, 0) , (1, 0.5) , (2, 2), (3, 4.5) , …
(1)在平面直角坐标系中,描出这些有序实数对(坐标)的对应点.
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
4
(2)用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象.
函数图象的画法
第一步:列表(表中给出一些自变量的值以及对应的函数值);
第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中的数值对应的各点);
第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来);
练 习
1.在所给的平面直角坐标系中画出函数 y = x 的图象. (先填写下表,再描点、连线)
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
…
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
4
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
1
2
2. 画出函数 的图象.
解: (1)列表 取自变量的一些值, 并求出对应的函数值, 填入表中.
x
…
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
…
y
…
…
1.2
1.5
2
3
6
-6
-3
-2
-1.5
-1.2
(2)描点 分别以表中对应的x、y为横纵坐标,在坐标系中描出对应的点.
-3
-2
-1
O
1
2
3
x
1
2
3
-1
-2
y
-3
4
4
5
6
-4
-5
-4
-5
-6
5
(3)连线 用光滑的曲线把这些点依次连接起来.
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上山,然后追赶爷爷,两人都爬上了山顶.图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 y(米)与爬山所用时间 x(分)之间的函数关系(从小强开始爬山时计时),看图回答下列问题:
例 2
O
1
x(分)
60
120
180
y(米)
240
300
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
爷爷
小强
O
1
x(分)
60
120
180
y(米)
240
300
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
爷爷
小强
(1)小强让爷爷先上多少米?
当 x = 0 时,小强还在山脚,爷爷距离山脚 60 米.
(2)山顶离山脚的距离有多少米?谁先爬上山顶?
O
1
x(分)
60
120
180
y(米)
240
300
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
爷爷
小强
山顶距山脚 300 米,小强先爬上山顶.
(3)小强何时赶上爷爷?这时距山脚的距离是多少?
O
1
x(分)
60
120
180
y(米)
240
300
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
爷爷
小强
8分钟时小强追上爷爷,此时距山脚 240 米.
练 习
1.如图是小明从学校到家里行进的路程 s(米)与时间 t (分)的函数图象.观察图象,从中得到如下信息:①学校离小明家1000米;②小明用了20分钟到家;③小明前10分钟走了路程的一半;④小明后10分钟比前10分钟走得快,其中正确的有_______(填序号).
①②④
2.小明从家里出发,外出散步,到一个公共阅报栏前看了一会报后,继续散步了一段时间,然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离 s(米)与散步所用时间 t(分)之间的函数关系.请你由图具体说明小明散步的情况.
O
2
t(分)
50
100
150
s(米)
200
250
4
6
8
10
12
14
16
300
350
400
450
O
2
t(分)
50
100
150
s(米)
200
250
4
6
8
10
12
14
16
300
350
400
450
解 小明先走了约 3分钟,到达离家 250 米处的一个阅报栏前看了 5 分钟报,又向前走了 2分钟,到达离家 450 米处返回,走了 6 分钟到家.
课堂小结
函数图象的画法
1.列表
2.描点
3.连线
1.从教材习题中选取;
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业