第二十七章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C′等于(
)
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论正确的是(
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
3．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是(
)
A．△BFE
B．△BDC
C．△BDA
D．△AFD
4．如图，点O是等边三角形PQR的中心，点P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的相似比、位似中心分别为(
)
A．2，点P
B．，点P
C．2，点O
D．，点O
5．在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(
)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
6．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝(
)
A．1.5
里
B．1.2
里
C．1.05
里
D．1.02
里
7．如图，图中共有相似三角形(
)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
8．一个三角形木架三边长分别是75
cm，100
cm，120
cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60
cm和120
cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(
)
A．一种
B．两种
C．三种
D．四种
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(
)
A．4
B．2
C．3
D．2.5
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(
)
A．25
B．30
C．35
D．40
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知＝，则＝(
)．
12．如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是点B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是(
)．
13．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是(
)(写出一种情况即可)
14．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠CAO＝∠ABO，则点C的坐标是(
)．
15．如图，△ABC和△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，点A为线段OA1的中点，若S△ABC＝2，则S△A1B1C1＝(
)
16．如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE
10米远的A处恰好可以看到广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为(
)米．
17．如图，有一块直角边AB＝4
cm，BC＝3
cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为(
)cm.
18．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为(
)．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝55°，∠E＝120°，DC＝20，HE＝15，HG＝21.
(1)写出它们相等的角及对应边的比例式；
(2)求∠D，∠F的大小和AD的长．
20．(8分)如图，小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的周长比与面积比．
21．(9分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
求证：(1)AC2＝AB·AD；
(2)△AFD∽△CFE.
22．(9分)如图，身高1.5
m的琪琪站在离河边3
m的B处时，恰好能看到对岸边电线杆GM的全部倒影KM，若河岸高出水面高度ED为
0.75
m，电线杆高MG为4.5
m，求河宽．
23．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10
cm，BC＝8
cm.点P从点C出发，以2
cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1
cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
(2)求经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？
24．(10分)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
25．(12分)如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝.
(1)当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
(2)当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
1第二十七章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若△ABC∽△A′B′C′，∠A＝40°，∠B＝60°，则∠C′等于(
D
)
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论正确的是(
C
)
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
3．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A，C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是(
C
)
A．△BFE
B．△BDC
C．△BDA
D．△AFD
4．如图，点O是等边三角形PQR的中心，点P′，Q′，R′分别是OP，OQ，OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的相似比、位似中心分别为(
D
)
A．2，点P
B．，点P
C．2，点O
D．，点O
5．在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(
B
)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
6．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝(
C
)
A．1.5
里
B．1.2
里
C．1.05
里
D．1.02
里
7．如图，图中共有相似三角形(
C
)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
8．一个三角形木架三边长分别是75
cm，100
cm，120
cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60
cm和120
cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(
B
)
A．一种
B．两种
C．三种
D．四种
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为(
A
)
A．4
B．2
C．3
D．2.5
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为(
C
)
A．25
B．30
C．35
D．40
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知＝，则＝．
12．如图，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是点B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是．
13．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是∠A＝∠D(或BC∶EF＝2∶1)．(写出一种情况即可)
14．如图，已知两点A(2，0)，B(0，4)，且∠CAO＝∠ABO，则点C的坐标是(0，1)．
15．如图，△ABC和△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，点A为线段OA1的中点，若S△ABC＝2，则S△A1B1C1＝8．
16．如图，有一个广告牌OE，小明站在距广告牌OE
10米远的A处恰好可以看到广告牌顶端，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则广告牌OE的高度为2.5米．
17．如图，有一块直角边AB＝4
cm，BC＝3
cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为cm.
18．如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2⊥P2P3，P2P3⊥P3P4，若点P1，P2的坐标分别为(0，－1)，(－2，0)，则点P4的坐标为(8，0)．
三、解答题(共66分)
19．(8分)如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝55°，∠E＝120°，DC＝20，HE＝15，HG＝21.
(1)写出它们相等的角及对应边的比例式；
(2)求∠D，∠F的大小和AD的长．
解：(1)∠A＝∠G，∠B＝∠F，∠C＝∠E，∠D＝∠H，＝＝＝.(2)∠D＝115°，∠F＝55°，AD＝28.
20．(8分)如图，小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的周长比与面积比．
解：(1)连接B′B，C′C并延长相交于一点，此点即为位似中心点O，图略．(2)由图形，得AB＝＝，A′B′＝＝2，∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1∶2，面积比为1∶4.
21．(9分)如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
求证：(1)AC2＝AB·AD；
(2)△AFD∽△CFE.
证明：(1)∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴AC2＝AB·AD.(2)∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，∴CE＝BE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE.
22．(9分)如图，身高1.5
m的琪琪站在离河边3
m的B处时，恰好能看到对岸边电线杆GM的全部倒影KM，若河岸高出水面高度ED为
0.75
m，电线杆高MG为4.5
m，求河宽．
解：∵AB∥DE∥MK，∴△ACF∽△DEF∽△KMF，∴＝＝＝，＝＝＝，设EF＝x
m，则MF＝6x
m，由2CF＝MF，得2(x＋3)＝6x，解得x＝，∴MF＝9
m，∴EM＝＋9＝10.5(m)，即河宽为10.5
m．
23．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10
cm，BC＝8
cm.点P从点C出发，以2
cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1
cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
(1)求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？
(2)求经过几秒后，△PCQ与△ABC相似？
解：(1)设经过x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，由题意，得·2x·(8－x)＝×10×8×，解得x1＝x2＝4，∴经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的.(2)设经过t秒后，△PCQ与△ABC相似，∵∠C＝∠C，∴分为两种情况：①＝，即＝，解得t＝；②＝，即＝，解得t＝.综上，经过秒或秒后，△PCQ与△ABC相似．
24．(10分)如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝6，＝，求BE的长．
解：(1)证明：如图，
连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO.∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．(2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，∴＝.∵＝，BC＝6，∴CD＝4.∵CE，BE都是⊙O的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE2＋BC2＝EC2，即BE2＋62＝(4＋BE)2.解得BE＝.
25．(12分)如图，在△ABC和△A′B′C′中，D，D′分别是AB，A′B′上一点，＝.
(1)当＝＝时，求证△ABC∽△A′B′C.
证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．
(2)当＝＝时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
解：(1)证明：∵＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠A＝∠A′，∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′.故答案为：＝＝ ∠A＝∠A′.
(2)相似．理由：如图，过点D，D′分别作DE∥BC，D′E′∥B′C′，DE交AC于点E，D′E′交A′C′于点E′.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，同理，＝＝.∵＝，∴＝，∴＝，同理，＝，∴＝，即＝，∴＝，∵＝＝，∴＝＝，∴△DCE∽△D′C′E′，∴∠CED＝∠C′E′D′，∵DE∥BC，∴∠CED＋∠ACB＝180°，同理，∠C′E′D′＋∠A′C′B′＝180°，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵＝，∴△ABC∽△A′B′C′.
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