(共22张PPT)
第二十七章 相似
27.3 位似
第2课时 平面直角坐标系中的位似
1．在直角坐标系中，可以利用变化前后两个多边形对应顶点的坐标之间的关系表示某些平移、轴对称和旋转(中心对称).类似地，________也可以用两个图形坐标之间的关系来表示．
2．一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为____________________________________．
位似
(kx，ky)或(－kx，－ky)
C
知识点一：位似图形的坐标变化规律
1．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，以原点O为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B的坐标为(6，0)，则点A的坐标为(
)
A．(3，6)
B．(2，6)
C．(3，5)
D．(2.5，5)
A
1
5．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(2，0)，B(4，2)，C(4，4)，将△ABC以原点O为位似中心缩小，使缩小后的三角形与△ABC对应边的比为1∶2.请写出缩小后的三角形各顶点的坐标．
知识点二：坐标系内图形的位似作图
6．如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A，B，C的坐标分别是(1，－1)，(2，1)，(1，1).
(1)作图：以点O为位似中心在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍(不要求写出作图过程)；
(2)直接写出点A，B，C的对应点A′，B′，C′的坐标．
7．(2020·重庆A卷)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为(
)
D
D
11．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，－2)，B(2，－1)，C(4，－3).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在第一象限中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2∶1；
(3)设点P(a，b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是________．
解：(1)如图，△A1B1C1为所作．(2)如图，△A2B2C2为所作．
(3)点P的对应点P2的坐标是(2a，－2b).故答案为：(2a，－2b).
12．如图，在正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，求这两个正方形的位似中心的坐标．(共22张PPT)
第二十七章 相似
27.3 位似
第1课时 位似的基本概念
1．如果两个多边形不仅相似，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．这两个图形关于这点位似．
练习1：下列图形中不是位似图形的为(
)
B
2．(1)位似图形具有相似图形的一切性质；
(2)位似图形中任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于相似比．
知识点一：位似图形的概念
1．图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(
)
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
D
2．观察如图所示的图案，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是(
)
A．位似
B．旋转
C．轴对称
D．平移
D
A
D
知识点三：位似图形的画法
5．画出下列图形的位似中心．
解：略．
6．已知四边形ABCD及点O，以点O为位似中心，将如图所示的四边形放大为原来的2倍．
解：如图所示(答案不唯一)：
7．(2020·河北)在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是(
)
A.四边形NPMQ
B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ
D．四边形NHMR
A
8．下列说法中，正确的有(
)
①位似图形都相似；
②两个等边三角形一定是位似图形；
③两个相似多边形的面积比为5∶9，则周长的比为5∶9；
④两个圆一定是位似图形．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
9．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C′.则以下说法中错误的是(
)
A．△ABC∽△A′B′C′
B．点C，O，C′在同一条直线上
C．AO∶AA′＝1∶2
D．AB∥A′B′
C
10．如图，若△ADE∽△ABC，则△ADE与△ABC_________位似图形．(填“是”或“不是”)
不是
11．如图，矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形，点A为位似中心，已知矩形ABCD的周长为24，BB′＝4，DD′＝2，求AB，AD的长．
12．如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形，求证：OD·OC＝OF·OA.(共23张PPT)
第二十七章 相似
27．2.3 相似三角形应用举例
测量物体的高度的方法：
知识点一：利用相似三角形测量物高
1．(2020·天水)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5
m，测得AB＝1.2
m，BC＝12.8
m，则建筑物CD的高是(
)
A．17.5
m
B．17
m
C．16.5
m
D．18
m
2．如图，小明为了测量楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向前进1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛(点B)到地面的高度BC是1.6米，则楼MN的高度(精确到0.1米)约是(
)
A．18.75米
B．18.8米
C．19米
D．21.3米
A
D
3．我军侦察员在距敌方120
m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员将自己的食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示．若此时眼睛到食指的距离约为40
cm，食指的长约为
8
cm，则敌方建筑物的高度约是___________m.
24
C
5．如图是用杠杆撬石头的示意图，点C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕点C转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起
10
cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下压(
)
A．100
cm
B．60
cm
C．50
cm
D．10
cm
C
6．(2020·上海)《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为_________米．
7
7．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1
m，DE＝1.5
m，BD＝8.5
m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB的长度．
8．如图，某同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40
cm，EF＝20
cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5
m，CD＝8
m，则树高AB是(
)
A．4米
B．4.5米
C．5米
D．5.5米
D
9．如图，小华和同伴春游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小桃树，他们想利用皮尺、测倾器和平面镜测量小桃树到山脚下的距离(即DE的长度)，小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且测得BC＝6米，CD＝24米，∠CDE＝135°.已知小华的身高AB＝1.5米，则DE的长度为_________米．(结果保留根号)
10．小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2
m，CE＝0.8
m，CA＝30
m(点A，E，C在同一直线上).已知小明的身高EF是1.7
m，请你帮小明求出楼AB的高度．(结果精确到0.1
m)
11．如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗户距地面的高度OD＝1
m，窗高CD＝1.5
m，并测得OE＝1
m，OF＝5
m，求围墙AB的高度．
12．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在同一条直线上).若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．(共18张PPT)
第二十七章 相似
27．2.2 相似三角形的性质
1．相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比，即相似三角形对应线段的比等于___________．
练习1：已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的中线之比为_________．
2．相似三角形的周长的比等于_________，面积的比等于____________．
练习2：若△ABC∽△DEF，AB∶DE＝9∶4，则△ABC与△DEF面积的比为(
)
A．3∶2
B．9∶4
C．4∶9
D．81∶16
相似比
4∶1
相似比
相似比的平方
B
知识点一：相似三角形对应线段的比等于相似比
1．若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(
)
A．3∶2
B．3∶5
C．9∶4
D．4∶9
2．两个相似三角形的相似比为2∶5，已知其中一个三角形的一条角平分线长为10，那么另一个三角形对应的角平分线长为
_________．
3．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点A，B，C，D，O都在横格线上，且线段AD，BC交于点O，则AB∶CD等于__________.
A
25或4
2∶3
知识点二：相似三角形周长的比等于相似比
4．如果两个相似三角形对应高的比是9∶16，那么它们周长的比是(
)
A．3∶4
B．4∶3
C．9∶16
D．16∶9
5．(2020·铜仁)已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(
)
A．3
B．2
C．4
D．5
6．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若△ADE的周长是6，则△ABC的周长是(
)
A．6
B．12
C．18
D．24
C
A
B
知识点三：相似三角形面积的比等于相似比的平方
7．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，△ABC的面积为40，则△DEF的面积为(
)
A．60
B．70
C．80
D．90
8．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2
cm变成了6
cm，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的(
)
A．3倍
B．6倍
C．9倍
D．12倍
D
C
9．如图，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2.
(1)求△AEF与△CDF的周长比；
(2)如果S△AEF＝6
cm2，求S△CDF的值．
解：(1)1∶3.
(2)S△CDF＝54
cm2.
A
B
A
14．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝BE，AE，DC的延长线相交于点F.
(1)若∠F＝62°，求∠D的度数；
(2)若BE＝3EC，且△EFC的面积为1，求平行四边形ABCD的面积．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴∠DAE＝∠AEB，∠BAE＝∠F，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠AEB，∴∠F＝∠DAE，∵∠F＝62°，∴∠DAE＝62°，∴∠D＝180°－∠DAF－∠F＝56°.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AFD∽△EFC，△EAB∽△EFC，∴△EFC∽△EAB∽△AFD，∵BE＝3EC，∴BC＝4EC，∴AD＝4EC，∴S△EFC∶S△EAB∶S△AFD＝1∶9∶16.∵△EFC的面积为1，∴△EAB的面积是9，△AFD的面积是16，∴S?ABCD＝S△EAB＋S△AFD－S△ECF＝9＋16－1＝24.
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，DF过EC的中点G，并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O，若△ADE的面积是S，则四边形BOGC的面积是__________．(共18张PPT)
第二十七章 相似
27．2 相似三角形
第3课时 两角分别相等的两个三角形相似
1．两角___________的两个三角形相似．
练习1：在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝68°，∠B＝40°，∠A′＝68°，∠C′＝72°，则这两个三角形(
)
A．全等或相似
B．相似
C．全等
D．无法确定
2．如果两个直角三角形的斜边和一条直角边___________，那么这两个直角三角形相似．
B
成比例
分别相等
D
知识点一：两角分别相等的两个三角形相似
1．下列各组图形中有可能不相似的是(
)
A．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D．两个等腰直角三角形
2．如图①、②中的两个三角形，下列说法正确的是(
)
A．都相似
B．都不相似
C．只有①相似
D．只有②相似
A
A
3．在△ABC与△A1B1C1中，∠A＝40°，∠B＝30°，∠A1＝40°，当∠C1＝______时，△ABC∽△A1B1C1.
4．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于_________．
110°
5．如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3，求证：△ABC∽△DEF.
证明：∵∠EDF是△ADC的外角，∴∠EDF＝∠DAC＋∠3，又∵∠BAC＝∠1＋∠DAC，∠1＝∠3，∴∠BAC＝∠EDF，同理∠ABC＝∠DEF，∴△ABC∽△DEF.
知识点二：直角三角形相似的判定
6．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，则一定有(
)
A.△ADE∽△AEF
B．△ECF∽△AEF
C．△ADE∽△ECF
D．△AEF∽△ABF
C
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝4，以AC为斜边向外作Rt△ACD，当AD为何值时，这两个直角三角形相似？
8．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠B＝∠ACD，则图中相似三角形有(
)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
9．如图，在△ABC中，∠B＝70°，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿图示中的虚线DE剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(
)
C
C
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，点M是AC上的一点，连接BM，作MN⊥BM，且交AB于点N.
(1)求证：△BCP∽△MAN；
(2)除(1)中的相似三角形外，图中还有其他的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来．
解：(1)证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠BCD＋∠ACD＝90°，∴∠A＝∠BCD.又∵MN⊥BM，∠ACB＝90°，∴∠AMN＋∠BMC＝90°，∠CBM＋∠BMC＝90°，∴∠AMN＝∠CBM，∴△BCP∽△MAN.(2)有，它们分别是：△ACD∽△ABC，△ACD∽△CBD，△CBD∽△ABC，△BDP∽△BMN.
12．如图，等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P，且AE＝CF.
(1)求证：AF＝BE，并求∠FPB的度数；
(2)若AE＝2，求AP·AF的值．(共16张PPT)
第二十七章 相似
27．2 相似三角形
第2课时 三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
夹角相等
成比例
平行线
三边成比例
成比例
成比例
C
A
C
B
10
C
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是边AB，AC上的点，且AD·AB＝AE·AC，求证：DE⊥AB.
A
8．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有(
)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
9．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在边AC上．当AN＝___________时，△AMN与原三角形相似．
D
1或4
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练考
预习导学
30
A
B
课内精练
E
B
(第4题图)
(第5题图)
EC
课时达标
B
第
图)
(第9题图)
D
B
D
B
C
雅战
B
D
C(共17张PPT)
第二十七章 相似
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
∠B′
∠C′
相等
成比例
相似
k
△ABC∽△A′B′C′
全等
成比例
C
成比例
相似
A
A
B
D
5．如图，已知D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，AE＝3CE，AB＝8，则AD的长为(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
6．如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有(
)
A．4对
B．3对
C．2对
D．1对
D
B
B
C
2
11．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作GF∥BE，交AE于点G，求证：GF＝FB.
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练考
预习导学
C
BD
E
F
E
B
课内精练
E
B
C
A
b
D
E
ABC
DEF
2
B
D
F
A
B
课时达标
E
G
E
B
D
第9题图)
(第10题图
D
E
FM
C
雅战
D
B(共19张PPT)
第二十七章 相似
27．1 图形的相似
1．相似图形：形状相同的图形叫做相似图形．
练习1：仔细观察下列各组图形，两个图形相似的是(
)
2．成比例线段：对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比_______，如
＝
(即ad＝____)，我们就说这四条线段成比例．
A
相等
bc
练习2：下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的是(
)
A．1，2，3，4
B．1，2，2，4
C．3，5，9，13
D．1，2，2，3
3．相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别_______，边_____________，那么这两个多边形叫做相似多边形.
4．相似比：相似多边形______________的比叫做相似比．
5．性质：相似多边形的对应角_____，对应边___________．
B
相等
成比例
对应边
相等
成比例
练习3：如图，有三个矩形，其中是相似形的是(
)
A．甲和乙
B．甲和丙
C．乙和丙
D．甲、乙和丙
B
1．下列给出的图形是相似图形的是(
)
A．两张孪生兄弟的照片
B．三角板的内、外三角形
C．行书中的“中”与楷书中的“中”
D．同一棵树上摘下的两片树叶
2．有下列四种说法，其中说法正确的有(
)
①两个菱形相似；②两个矩形相似；③两个平行四边形相似；④两个正方形相似．
A.4个
B．3个
C．2个
D．1个
B
D
A
5．在一幅比例尺是1∶100
000的地图上，测得A，B两地间的距离为3.5厘米，那么A，B两地间的实际距离大约为___________米．
知识点三：相似多边形的性质与判定
6．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是(
)
A．60°
B．75°
C．87°
D．120°
7．如图，两个梯形相似，则这两个梯形的相似比为____________．
3500
C
1∶2
8．如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．
D
B
B
13．已知四边形ABCD与四边形EFGH相似，且AB∶BC∶CD∶AD＝7∶8∶11∶14，若四边形EFGH的周长为80，则四边形EFGH最长边的长为___________．
28
15．如图，已知AB＝4，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
16．在AD＝30
m，AB＝20
m的矩形花坛ABCD四周修筑小路.
(1)如果四周的小路宽均相等，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由；
(2)如果相对的两条小路宽均相等，如图②，试问小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似？请说明理由．
