变化率与导数

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1.1 变化率与导数
一．创设情景
为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
姚明身高变化曲线图(部分)
2.26
2.12
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年龄
身高
4
7
10
13
16
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19
22
0.8
1.61
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在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ，
所以，
虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．
t
h
O
直线AB的斜率
A
B
例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ；
(2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。
(1)解：
△y=f (-1)- f (-3)=4
△x=-1- (-3)=2
(2)解：
△y=f (x+△x)- f (x)
=2△x ·x+(△x )2
练习
A
小结：
1.函数的平均变化率
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率：
任意取一个时刻2＋ ， 是时间改变量，可以是正值，也可以为负值，但是不为0
无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度趋近于一个确定的值－13.1
从物理学的角度看，时间间隔 无限变小时，平均速度 就无限趋近于t=2时的瞬时速度，因此，运动员在t=2时的瞬时速度是－13.1m/s
含义：当t=2时， 趋近于0时，平均速
度 趋近于确定值－13.1
运动员在某一时刻 的瞬时速度怎样表示？
函数 在 处的瞬时变化率怎样表示？
函数y=f(x)在 处的瞬时变化率是
我们称它为函数y=f(x)在 处的导数，记做
即
例1
练习
6
3
6
27
对于上面的导数有什么实际意义？
在第2h附近，原有大约以3 的速率下降，在第6h附近，原有温度大约以5 的速率上升