(共19张PPT)
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
3
情境创设
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素 ,并成一组
问题2
从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素 ,按照一定的顺序排成一列.
问题1
排列
组合
有
顺
序
无
顺
序
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的概念有什么共同点与不同点？
概念讲解
组合定义:
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点: 排列与元素的顺序有关，
而组合则与元素的顺序无关.
概念讲解
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么
思考二:两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
概念理解
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
思考三:组合与排列有联系吗
判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
组合问题
排列问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法
组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
组合问题
(5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法
组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
组合是选择的结果，排列
是选择后再排序的结果.
1.从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
2.已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b c d
b
c d
c
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
(3个)
(6个)
概念理解
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示.
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：
概念讲解
组合数:
注意：
是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
abc ， abd ， acd ， bcd .
b
c
d
d
c
b
a
c
d
练一练
组合
排列
abc
abd
acd
bcd
abc bac cab
acb bca cba
abd bad dab
adb bda dba
acd cad dac
adc cda dca
bcd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
你发现了什么
如何计算:
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
根据分步计数原理，得到：
因此：
一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的排列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个元素的组合数 ．
第2步，求每一个组合中 个元素的全排列数 ．
这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式．
概念讲解
组合数公式:
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
概念讲解
例1计算：⑴
⑵
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方；
（2)列出所有冠亚军的可能情况.
（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁
解：
例题分析
(4) 求
例3
例5.(1)凸五边形有多少条对角线？
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
例4.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端 点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
例题分析
排列
组合
组合的概念
组合数的概念
组合是选择的
结果，排列是
选择后再排序
的结果
联系
课堂小结(共21张PPT)
创设情境,引出排列问题
探究
在1.1节的例9中我们看到,用分步乘法计数原理解决这个问题时,因做了一些重复性工作而显得繁琐,能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？
探究：
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
分析：把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
上午
下午
相应的排法
甲
乙
丙
乙
甲
丙
丙
甲
乙
甲丙
甲乙
乙甲
乙丙
丙甲
丙乙
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法
根据分步计数原理：3×2=6 即共6种方法。
把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题１就可以叙述为：
从3个不同的元素a,b,c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
ab, ac, ba, bc, ca, cb
问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;
cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.
有此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，
312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。
排列数：从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素的所有不同排列的个数叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的排列数。
用符号 表示。
排列：一般地，从ｎ个不同的元素中取出ｍ（ｍ≤ｎ）个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从ｎ个不同元素中取出ｍ个元素的一个排列。
推广到一般
你能归纳一下排列的特征吗？
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复。
2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。
3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。
例1、下列问题中哪些是排列问题？
（1）10名学生中抽2名学生开会
（2）10名学生中选2名做正、副组长
（3）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘
（4）从2,3,5,7,11中任取两个数相除
（5）20位同学互通一次电话
（6）20位同学互通一封信
（7）以圆上的10个点为端点作弦
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线
（9）有10个车站，共需要多少种车票？
（10）有10个车站，共需要多少种不同的票价？
问题１中是求从３个不同元素中取出２个元素的排列数，记为 ,已经算得
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为 ，已经算出
如：
注意区别排列和排列数的不同：
排列数，而不表示具体的排列。
所有排列的个数，是一个数；
“排列数”是指:从
个不同元素中，任取
个元素的
所以符号
只表示
“一个排列”是指：从
个不同元素中，任取
按照一定的顺序排成一列，不是数；
个元素
从ｎ个不同元素中取出２个元素的排列数 是多少？ ， 又各是多少？
第1位
第2位
n
n-1
第1位
第2位
第3位
n-2
n
n-1
探究
· · · · · ·
第1位
第2位
第3位
第m位
n
n-1
n-2
n-(m-1)
你能归纳一下排列数公式的特点吗
就是说，ｎ个不同元素全部取出的排列数，等于正整数１到ｎ的连乘积，正整数１到ｎ的连乘积，叫做ｎ的阶乘，用ｎ!表示，所以ｎ个不同元素的全排列数公式可以写成
ｎ个不同元素全部取出的一个排列，叫做ｎ个元素的一个全排列，这时公式中的ｍ＝ｎ，即有
为了使当m＝n时上面的公式也成立，规定： 0!＝1
例1、计算：
（1）
（2）
（3）
例2、解方程：
例3、求证：
例5、求 的值.
例4．若
，则
，
．
1．计算：（1）
（2）
课堂练习
2．从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地
上进行试验，有 种不同的种植方法？
4．信号兵用3种不同颜色的旗子各一面，每次打出3面，最多能
打出不同的信号有（ ）
3．从参加乒乓球团体比赛的5名运动员中选出3名进行某场比赛，
并排定他们的出场顺序，有 种不同的方法？
排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）．
小结
由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．
思考题
三张卡片的正反面分别写着数字2和3，4和5，7和8，若将这三张卡片的正面或反面并列组成一个三位数，可以得到多少个不同的三位数？
1．注重先行组织者的作用——解释研究方法。
在实际教学时，引导学生回忆本章前面学习了哪些知识，其中蕴涵着什么数学思想。通过复习揭示了具体知识中蕴涵的化归思想，这是本课时的核心思想，它贯穿本课时教学的全过程，很好的发挥了先行组织者的作用。
2．注重学生的已有知识经验的作用，并力求通过本课时的教学使得学生认识再上一个层次；注重设计与生成的有机结合.
3．注重直观感知，合情推理，但是争取不失时机的进行说理和推理。
教学反思
课堂教学评议
整体方案设计比较合理，从引入到新知得到过程，思路清晰，讲解仔细清楚。讲解排列概念让学生分组讨论，师生互动较好，体现了四三三模式，也让学生都参与进来。概念之后增加几个简单的概念练习题，让学生进一步理解和巩固排列概
念。最后通过例题讲解总结出解题步骤，安排比较合理。
不足之处有时间安排太紧，学生没有时间充分思考和整理，还应设计更多的提问让学生更多的参与进来。
整体方案设计比较合理，从引入到新知得到过程，思路清晰，
讲解仔细清楚。讲解排列概念让学生分组讨论，师生互动较好，体现了四三三模式，也让学生都参与进来。概念之后增
加几个简单的概念练习题，让学生进一步理解和巩固排列概
念。最后通过例题讲解总结出解题步骤，安排比较合理。
不足之处有时间安排太紧，学生没有时间充分思考和整理，
还应设计更多的提问让学生更多的参与进来。(共17张PPT)
京山县第一高级中学
*
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
3.分类计数原理与分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
练习:
把6名实习生分配到7个车间实习,共有
多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配
到车间有 种分法.
7
把第二名实习生分配
到车间也有7种分法，
依此类推,由分步计
数原理共有 种不同的排法
分步计数原理的应用
排列与组合：
名 称 排 列 组 合
定义
种数
符号
从n个不同元素中取出m个元
素，按一定的顺序排成一列
从n个不同元素中取出
m个元素，把它并成一组
所有排列的的个数
所有组合的个数
例1：用0-5这六个数字可以组成没有重复的
（1）四位偶数有多少个？奇数？
（5）十位数比个位数大的三位数？
（2）能被5整除的四位数有多少？
（3）能被3整除的四位数有多少？
（4）能被25整除的四位数有多少？
（6）能组成多少个比240135大的数？若把
所组成的全部六位数从小到大排列起来，
那么240135是第几个数？
一.特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
二.相邻元素捆绑策略
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相
邻, 共有多少种不同的排法.
甲
乙
丙
丁
由分步计数原理可得共有
种不同的排法
=480
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成
一个复合元素，同时丙丁也看成一个
复合元素，再与其它元素进行排列，
同时对相邻元素内部进行自排。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用
捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并
为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时
要注意合并元素内部也必须排列.
三.不相邻问题插空策略
例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个
独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出
场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共
有 种，
第二步将4舞蹈插入第一步排
好的6个元素中间包含首尾两个空位共有
种 不同的方法
由分步计数原理,节目的
不同顺序共有 种
相
相
独
独
独
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端
练习
20
2. 把数字1、2、3、4、5、6排成一排，要求
1和2相邻，任两奇数不相邻且任两偶数也不
相邻，有多少种不同排法？
1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
40
3、一排长椅上共有10个座位，现有4人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数字作答）
480
四.元素相同问题隔板策略
例4.有10个运动员名额，分给7个班，每
班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。
在９个空档中选６个位置插6个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
共有___________种分法。
一班
二班
三班
四班
五班
六班
七班
将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
练习题
10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个，有多少装法？
2 .x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解
的组数
五.正难则反总体淘汰策略
例5.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三
个数，使其和为不小于10的偶数,不同的
取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很
困难,可用总体淘汰法。
这十个数字中有5
个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有____,只含有1个偶数的取法有_____,和为偶数的取法共有_________
再淘汰和小于10的偶数共___________
符合条件的取法共有___________
9
013
015
017
035
213
215
024
413
026
+
- 9
+
我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、
副班长、团支部书记至少有一人在内的
抽法有多少种
五.正难则反总体淘汰策略
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
六.定序问题空位插入或组合、倍缩处理策略
例6.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多
少不同的排法
解:
（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外
的四人就坐共有 种方法，其余的三个
位置甲乙丙共有 种坐法，则共有 种
方法
1
(组合法)对于某几个元素顺序一定的排列问
题,可先排这几个元素,然后排列除这几个数
外的其他数，则共有不同排种数是：
（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再
把其余4四人依次插入共有 种方法
4×5×6×7
定序问题组合处理，可以用倍缩法，插空法
练习题
10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要
求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还
是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多
少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是
组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多
少个元素.
※解决排列组合综合性问题，往往类与步交
叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
小结
高考回眸
1、（05年福建）从6人中选人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲乙不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）种
A.300 B.240 C.144 D.96
2、（05年江苏）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为（1）、（2）、（3）、（4）的四个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）
A.96 B.48 C.24 D.0
B
B(共16张PPT)
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*
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示.
2、组合数:
3、组合数公式:
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
⑵
⑶
解：（1）
问题？
我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球．因此根据分类计数原理，上述等式成立．
我们发现：
为什么呢
性质2
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
例1 求证:
(2)
例2：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
例3：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种
(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙三人不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙三人只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例4、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名外科医生参加，有多少种选法？
例5：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？
（2）空间12个点，其中5个点共面，此外无任何4个点共面，这12个点可确定多少个不同的平面？
14656
31
80
211
例6、有翻译人员11名，其中5名仅通英语、4名仅通法语，还有2名英、法语皆通。现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少张不同的名单？
例7、8双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求满足如下条件各有多少种情况：
（1）4只鞋子恰有两双；
（2） 4只鞋子没有成双的；
（3） 4只鞋子只有一双。
课堂练习：
2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有 种 。
9
9
C
D
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？
（2）其中有多少个正方形？
课堂练习：
56
再见！
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？
(2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？
例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？
(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？(共12张PPT)
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*
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
表示.
2、组合数:
3、组合数公式:
例1、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）
（A） 种（B） 种 （C） 种 （D） 种
一、不相邻问题插空法
定序问题组合处理
A
变式：7人站成一排，其中甲、乙、丙三人自左
至右顺序不变的站法有多少种？
二、混合问题，先“组”后“排”
例2 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法共有多少种？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有： 种。
练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选 2名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.
解：采用先组后排方法:
2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
变 式
3
三、相同元素,隔板处理
例3、 从6个学校中选出9名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法
问题就是把9个名额分给6个学校，每校至少1人
分二步，第一步每校选1名学生，有1种选法
第二步选余下3人，有3类：从一个学校选3人有
从两个学校选3人 ，从3个学校选3人有
故共有 + + =56
方法一：
解：因为9个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间 形成8个空隙。
一
二
三
四
五
六
在8个空档中选5个位置插5个隔板，可把名额分成6份，对应地分给6个班级，每一种插板方法对应一种分法
共有 种分法。
方法二
练习：
1、将15个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？
2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？
四、均匀分组与非均匀分组问题
例4、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；
（1）分给甲、乙、丙三人，每人两本；
（2）分成三份，每份两本；
（3）分成三份，一份1本，一份2本，一份3本；
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本；
（5）分给5个人，每人至少一本；
（6）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本；
（7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。
故共有 种
（1）分三步：第一步从6本书中选2本给甲有
第二步从余下4本书中选2本给乙有
第三步剩下2本书分给丙有
（2）分析：问题（1）可分二步①分成三份（组）有m 种分法 ， ②分给甲乙丙三人有 种分法，
共有 m =
故 m = 种
故共有 种
（3）分三步：第一步从6本书中选1本为第一份有
第二步从余下5本书中选2本为第二份有
第三步剩下3本书为一份有
（4）分二步：第一步分为1、2、3的三份有
第二步分给甲、乙、丙三人有
故 共有 （种）
（5） 先分组后分配有 种
(6) 分三类：第一类每人2本有
第二类3人分别为1本、2本、3本有
第三类1人4本另两人各1本有
所以共有 90+360+90 = 540 （ 种 ）
540
隔板法：因为6本书相同没有差别，把它们排成一排。相邻书之间形成5个空隙。
甲
乙
丙
在5个空档中选2个位置插2个隔板，可把书分成3份，
对应地分给甲乙丙3人，每一种插板方法对应一种分法
共有 种
练习：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法
解: (1)
(2)
3、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形）
（1）其中有多少个矩形？
（2）其中有多少个正方形？
(2)
课堂练习：
1、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数为（ ）
2、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）
C
D(共11张PPT)
复习巩固
从n个不同元素中，任取m( )个元素（m个元素不可重复取）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
1、排列的定义：
2.排列数的定义：
从n个不同元素中，任取m( )个元素的
所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个元
素的排列数
3.全排列的定义：
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做 n个不同元素的一个全排列.
(3)全排列数公式：
4.有关公式：
（2）排列数公式:
例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？
解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，
比赛的总场次是
例2：(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书，买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
例3：某信号兵用红，黄，蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？
例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
百位
十位
个位
解法一：对排列方法分步思考。
从位置出发
解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
0
百位
十位
个位
根据加法原理
从元素出发分析
解法三：间接法.
从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，
∴ 所求的三位数的个数是
其中以0为排头的排列数为 .
逆向思维法
百位
十位
个位
千位
万位
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
有约束条件的排列问题
百位
十位
个位
千位
万位
例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？
有约束条件的排列问题
有约束条件的排列问题
例6：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（ ）
A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种
C
例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：
（1）男甲排在正中间；
（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
（3）三个女生排在一起；
（4）三个女生两两都不相邻；
（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；
（6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？
对于相邻问题，常用“捆绑法”
对于不相邻问题，常用 “插空法”
720
3720
720
1440
840
2520
例8：一天要排语文、数学、英语、体育、物理、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？
有约束条件的排列问题
解法一：从体育课入手分两类
第:1类：体育在上午，①排体育有 ，②排数学有 ，
③排班会有 ，④剩下3节课有
第2类：体育在下午，有 =48种
故共有108+48=156种不同排法
解法2：按数学-班会-体育-其他依次排课
1．常见的排列分为有限制条件和无限制条件两大类，无限制条件的排列问题一般直接利用排列数公式求解。
2．有限制条件的排列问题的基本的解题方法与技巧：
（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
方法总结
（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略
（4）多排问题单排法
（5）定序问题倍缩法
（6）间接法（逆向思维法）
