利用函数性质判定方程解的存在
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文档简介
教学设计《利用函数性质判定方程解的存在》
郭斌
一、教学内容分析
此节内容为北师大版本必修1的第四章《函数应用》第一课时4.1.1利用函数性质判定方程解的存在。
函数是高中的起始课程，函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。本节内容就是函数应用价值的体现，利用函数和其他数学知识的有机联系，从函数特征判定方程解的存在性。
二、学生情况分析
学生已学习了函数的图像和性质，因此本节内容从学生熟悉的二次函数入手，研究学习判定方程解存在的方法。这样，从特殊到一般的学习方法，学生容易掌握理解。
三、设计思想
让学生感识常见的数学思想中体现出的数学乐趣，学会从特殊到一般的归纳、总结的过程。
四、教学方法
启发诱导
五、教具
多媒体课件
六、教学目标
让学生明确“方程的解”与“函数的零点”之间的密切关系，掌握利用函数图像性质判断方程解的存在性。
通过本节学习让学生感识“数形结合”，“特殊到一般”的数学思想。
本节内容的学习，进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系。
七、教学重点难点
重点：零点的理解；利用函数性质判定方程解的存在性。
难点：数形结合思想的合理应用。
八、教学过程设计
导入：观察函数 的图像（利用多媒体展示下图）
师：引导学生观察分析
此时，f(-2)>0,f(1)<0,f(4)>0.
则f(-2)f(1)<0, 那么方程 在（-2,1)内有解。
同理,f(1)f(4)<0, 方程 在（1,4）内有解。
分析：
③以上条件若不成立，不能判定方程无解。
例如：x2=0有解，可f(-1)f(1)=(-1)2×12=1+1=2>0
④只能判定有解而不能判定解的个数。
⑤若函数图象在此区间内单调且有零点，则方程在此区间内有且只有一个解。
（以上结论用多媒体展示推导过程）
3.例题讲解：
例1 判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。
学：独立完成此题。
师：板书解题过程。
分析：利用上述结论。
解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0
f(3)=33+2×3+1=34>0
则 f(-2)f(3)<0
又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在[-2,3]上连续，
所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。
小结：
①满足两个条件则可判定有解。
②一般地，若给定区间为函数定义域的子区间，则函
数图像在此区间上连续。
例2 判断方程 是否有解。
学：完成方法一。
师：引导学生完成方法二及方法三。
方法一：经试算f(0.1)=1- <0,f(100)=2- >0,
且函数f(x)= 的图像在[0.1,100]上连续，
所以方程 在（0.1,100）上有解。
方法二：画出函数f(x)= 的图像如下：（画图过程利用多媒体展示）
从图可得：方程 有两个解，即为图中交点的横坐标。
方法三：题中方程可变形为
则可得到两个函数y= 及y=
可画出两个函数图象如下：
从图可得：方程 在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。
小结：①函数图象与x轴交点的横坐标叫做函数的零点，即函数的零点为对应方程的
解。
②利用函数图像判断方程的解更加直观。
③数形结合思想的应用。
④发散思维一题多解。
4.课堂练习：（多媒体展示）
①断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。
学：课堂内独立完成。
师：讲解评价，鼓励学生一题多解，代数法，几何法。
②断方程x3+x=0 在（-∞，0）上是否有解。
师：引导启发，类比例二。
学：思考交流后完成。
③用函数增长的快慢判断方程x3=2x是否有解。
师：思考题，引导学生一起完成。
学：回顾幂函数，指数函数增长快慢的性质。
设计以上练习题的意图：
继续巩固例题中讲解的判定方程解存在性的方法；一题多解，开阔思路；从函数值，函数图象两大方面方法进行练习，使学生体会数形结合的优势；代数法、何法的合理应用；感受数学知识的内在联系。
5.课堂小结：（师生共同完成，并用多媒体展示）
①理解零点与方程解的关系。
②利用函数性质判定方程解的存在，例如，利用函数值、像等。
③要求熟练掌握利用函数值判定解存在的方法。
④理解数形结合思想在判定方程解存在中的应用。
6.布置作业：
判定下列方程在给定区间上是否有解：
⑴ x5+3x+1=0,x∈[-1,1];
⑵ ,x∈[-1,1];
⑶
,x∈[ - , ].
九、课堂反思
本节课的内容容量偏大，虽说用课件节约了不少时间，可是还是显得时间紧迫，每个知识点都不能深追细节，这是这节课最大的败笔。此节课的优点在于合理利用了多媒体，节约了不少时间，并且课件中简单的动画和缤纷的色彩大大提高了学生学习的兴趣；一题多解，开拓了学生的思维；让学生感识到数形结合，特殊到一般的数学思想；体会数学知识之间的内在联系。
2.讲授新知识：
师：引导学生归纳零点定义
一般的，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫作方程的零点。
注：零点是一个实数。
师（提问）：怎样判断函数有零点？
归纳总结：
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）f(x1)f(x2)<0;
（2）函数y=f(x)的图像在[x1,x2]上连续;
则方程f(x)=0在(x1,x2)上有解.
注：①满足以上两个条件则函数就有零点，两条件必须同时满足。
例如：，f(-1)f(2)<0，可方程无解，因为函数图象不连续。
②函数有零点则方程一定有解。
学：判断函数是否有零点，方程是否有解。（讨论结果，代表发言）
③此方法只能判定有解，而不能判定解的个数。
④以上条件若不成立，不能说明方程无解。
⑤函数图像若在此区间内单调且有零点，则方程在此区间内只有一解。
（以上五个结论利用多媒体展示完成）
小结：
函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且
有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解。
可利用函数值判定方程根的存在。
y
x
Y=
Y=
x
y
0
1
郭斌
一、教学内容分析
此节内容为北师大版本必修1的第四章《函数应用》第一课时4.1.1利用函数性质判定方程解的存在。
函数是高中的起始课程，函数的重要性有两方面，一是函数的思想价值，二是函数应用的价值。本节内容就是函数应用价值的体现，利用函数和其他数学知识的有机联系，从函数特征判定方程解的存在性。
二、学生情况分析
学生已学习了函数的图像和性质，因此本节内容从学生熟悉的二次函数入手，研究学习判定方程解存在的方法。这样，从特殊到一般的学习方法，学生容易掌握理解。
三、设计思想
让学生感识常见的数学思想中体现出的数学乐趣，学会从特殊到一般的归纳、总结的过程。
四、教学方法
启发诱导
五、教具
多媒体课件
六、教学目标
让学生明确“方程的解”与“函数的零点”之间的密切关系，掌握利用函数图像性质判断方程解的存在性。
通过本节学习让学生感识“数形结合”，“特殊到一般”的数学思想。
本节内容的学习，进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系。
七、教学重点难点
重点：零点的理解；利用函数性质判定方程解的存在性。
难点：数形结合思想的合理应用。
八、教学过程设计
导入：观察函数 的图像（利用多媒体展示下图）
师：引导学生观察分析
此时，f(-2)>0,f(1)<0,f(4)>0.
则f(-2)f(1)<0, 那么方程 在（-2,1)内有解。
同理,f(1)f(4)<0, 方程 在（1,4）内有解。
分析：
③以上条件若不成立，不能判定方程无解。
例如：x2=0有解，可f(-1)f(1)=(-1)2×12=1+1=2>0
④只能判定有解而不能判定解的个数。
⑤若函数图象在此区间内单调且有零点，则方程在此区间内有且只有一个解。
（以上结论用多媒体展示推导过程）
3.例题讲解：
例1 判定方程x3+2x+1=0在[-2,3]上是否有解。
学：独立完成此题。
师：板书解题过程。
分析：利用上述结论。
解：因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0
f(3)=33+2×3+1=34>0
则 f(-2)f(3)<0
又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在[-2,3]上连续，
所以，方程x3+2x+1=0在[-2,3]上有解。
小结：
①满足两个条件则可判定有解。
②一般地，若给定区间为函数定义域的子区间，则函
数图像在此区间上连续。
例2 判断方程 是否有解。
学：完成方法一。
师：引导学生完成方法二及方法三。
方法一：经试算f(0.1)=1- <0,f(100)=2- >0,
且函数f(x)= 的图像在[0.1,100]上连续，
所以方程 在（0.1,100）上有解。
方法二：画出函数f(x)= 的图像如下：（画图过程利用多媒体展示）
从图可得：方程 有两个解，即为图中交点的横坐标。
方法三：题中方程可变形为
则可得到两个函数y= 及y=
可画出两个函数图象如下：
从图可得：方程 在(0,1)和(1,+∞)上各有一解。
小结：①函数图象与x轴交点的横坐标叫做函数的零点，即函数的零点为对应方程的
解。
②利用函数图像判断方程的解更加直观。
③数形结合思想的应用。
④发散思维一题多解。
4.课堂练习：（多媒体展示）
①断方程x3-x=0在[-2，2]上是否有解。
学：课堂内独立完成。
师：讲解评价，鼓励学生一题多解，代数法，几何法。
②断方程x3+x=0 在（-∞，0）上是否有解。
师：引导启发，类比例二。
学：思考交流后完成。
③用函数增长的快慢判断方程x3=2x是否有解。
师：思考题，引导学生一起完成。
学：回顾幂函数，指数函数增长快慢的性质。
设计以上练习题的意图：
继续巩固例题中讲解的判定方程解存在性的方法；一题多解，开阔思路；从函数值，函数图象两大方面方法进行练习，使学生体会数形结合的优势；代数法、何法的合理应用；感受数学知识的内在联系。
5.课堂小结：（师生共同完成，并用多媒体展示）
①理解零点与方程解的关系。
②利用函数性质判定方程解的存在，例如，利用函数值、像等。
③要求熟练掌握利用函数值判定解存在的方法。
④理解数形结合思想在判定方程解存在中的应用。
6.布置作业：
判定下列方程在给定区间上是否有解：
⑴ x5+3x+1=0,x∈[-1,1];
⑵ ,x∈[-1,1];
⑶
,x∈[ - , ].
九、课堂反思
本节课的内容容量偏大，虽说用课件节约了不少时间，可是还是显得时间紧迫，每个知识点都不能深追细节，这是这节课最大的败笔。此节课的优点在于合理利用了多媒体，节约了不少时间，并且课件中简单的动画和缤纷的色彩大大提高了学生学习的兴趣；一题多解，开拓了学生的思维；让学生感识到数形结合，特殊到一般的数学思想；体会数学知识之间的内在联系。
2.讲授新知识：
师：引导学生归纳零点定义
一般的，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫作方程的零点。
注：零点是一个实数。
师（提问）：怎样判断函数有零点？
归纳总结：
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）f(x1)f(x2)<0;
（2）函数y=f(x)的图像在[x1,x2]上连续;
则方程f(x)=0在(x1,x2)上有解.
注：①满足以上两个条件则函数就有零点，两条件必须同时满足。
例如：，f(-1)f(2)<0，可方程无解，因为函数图象不连续。
②函数有零点则方程一定有解。
学：判断函数是否有零点，方程是否有解。（讨论结果，代表发言）
③此方法只能判定有解，而不能判定解的个数。
④以上条件若不成立，不能说明方程无解。
⑤函数图像若在此区间内单调且有零点，则方程在此区间内只有一解。
（以上五个结论利用多媒体展示完成）
小结：
函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且
有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解。
可利用函数值判定方程根的存在。
y
x
Y=
Y=
x
y
0
1