必修五基本不等式章节复习

基本不等式的证明
重要不等式 ：一般地，对于任意实数 、，我们有，当且仅当时，等号成立。
注意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件；
（2） 公式中的字母既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的变量式，因此应用范围比较广泛。
基本不等式：对任意正数、，有当且仅当时等号成立。
说明： 把和分别叫做正数的算术平均数和几何平均数，上述不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。
（1）基本不等式成立的条件是：
（2）不等式证明的三种方法：比较法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3）
（4）当且仅当时，取“”的含义：一方面是当时取等号，即
；另一方面是仅当时取等号，即
。
（5）如果，那么（当且仅当时取“”）．
（6）如果把看作是正数、的等差中项，看作是正数、的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
2.在数学中，我们称为、的算术平均数，称为、的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
例1 设为正数，证明下列不等式成立：（1）；（2）
例2 已知为两两不相等的实数，求证：
例3 已知都是正数，求证．
例4 已知函数，求的范围
例5求证：．
已知都是正数， ①如果积是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：
①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
③函数式中各项必须都是正数;
④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；
例6 （1）求 的最值，并求取最值时的的值。
（2）若上题改成，结果将如何？
例7 （1）求的最大值，并求取时的的值。
（2）求的最大值，并求取最大值时的值
例8 若，求的最小值。
1.已知都是正数，求证：
2.已知都是正数，求证：；
3. 思考题：若，求的最大值
4 求下列函数的值域:（1）；（2）
归纳：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：
(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案.
5．已知，求的最大值，并求相应的值。
6．已知，求的最大值，并求相应的值。
7．已知，求函数的最大值，并求相应的值。
8．已知求的最小值，并求相应的值。
9、过点的直线与轴的正半轴，轴的正半轴分别交与两点，当的面积最小时，求直线的方程．
10、四边形的两条对角线相交于，如果的面积为，的面积为，求四边形的面积的最小值，并指出最小时四边形的形状。
11、如图，某水泥渠道，两侧面的倾角均为，横断面是面积为定值（平方米）的等腰梯形，为使建造该渠道所用的水泥最省，腰长（米）与底宽（米）之比应是多少？
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