2.2.2 反证法

(共16张PPT)
2.2直接证明与间接证明
2.2.2 反证法
经过证明的结论
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．
特点：执果索因.
用框图表示分析法
得到一个明显成立的结论
…
复习
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾.
那么假设C没有撒谎不成立;
则C必定是在撒谎.
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的基本步骤：
1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立
2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
反设
归谬
存真
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论．
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；
（4）结论为 “唯一”类命题；
练习1：用反证法证明：
如果a>b>0，那么
例1.求证: 正弦函数没有比2π小的周期.
假设T正弦函数y=sinx的周期,0例2 求证： 是无理数。
例3.已知函数f(x)是(－∞, +∞)上的增函数, a , b∈R .
(1)证明命题: 若a+b≥0 , 则f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b);
(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立, 并证明你的结论.
例4.①用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时应假设_________.
②证明在△ABC中, 若∠C是直角, 则∠B一定是锐角;
③求证: 在一个三角形的三个内角中, 至少有两个锐角.
作业
练习2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。
P
例5：证明：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD不全是直径 求证：AB、CD不能互相平分。
A
B
C
D
O