数学归纳法(1)
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(共20张PPT)
2.3 数学归纳法
第一棵树的砍伐，最后导致了森林的消失；一日的荒废，可能是一生荒废的开始；第一场强权战争的出现，可能是使整个世界文明化为灰烬的力量。这些预言或许有些危言耸听，但是在未来我们可能不得不承认它们的准确性，或许我们惟一难以预见的是从第一块骨牌到最后一块骨牌的传递过程会有多久。
有些可预见的事件最终出现要经历一个世纪或者两个世纪的漫长时间，但它的变化已经从我们没有注意到的地方开始了。
在一个相互联系的系统中，一个很小的初始能量就可能产生一连串的连锁反应，人们就把它们称为“多米诺骨牌效应”或“多米诺效应”。
2.3 数学归纳法及其应用举例
课题引入
①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋ 11，16＝5＋11，···78＝67＋11，···我们能得出什么结论？
任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和．
②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” ．
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．
不完全归纳法
完全归纳法
这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法
叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确 (1)是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．(2)是完全
归纳法，结论可靠，但一一核对困难．
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
1．在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ，
归纳
2．数列通项公式为：
验证可知：
如
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.
数学归纳法的两个步骤：
(Ⅰ)证明当n＝n0(n＝1)(如n＝1或2等)时，结论正确；
(Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用此假设证明n＝k＋1时结论也正确．
注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可
定义:
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
如果 是等差数列，已知首项为 ，公差为 ，那么
对一切 都成立．
证明：（1）当n=1时，
等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是
那么
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立．
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；
（2）假设时 结论正确，证明
时结论也正确．
递推基础
递推依据
小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20
以内的数再数到30以内的数……，终于有一天我们可以骄傲地说：
我什么数都会数了，为什么呢 因为会数1，2，3……有了数数的
基础,会在前一个数的基础上加班1得到后一个数，进行传递，所
以，可以说什么数都会数了．
“找准起点，奠基要稳”
“用上假设，递推才真”
例题1 用数学归纳法证明
证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
那么
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
例2 用数学归纳法证明
【分析】①1+3+5…+(2n—1)=n
当n分别取值1、2、3….k、k+1时的命题是什么？
n=1 命题：1=1
n=2 命题：1+3=2
……
n=k 命题：1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
n=k十1 命题：1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2
n=3 命题：1+3+5=3
2
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
例2 用数学归纳法证明
【分析】(2) 第一步应做什么 本题的n0应取多少
n0=1,
（3）在证传递性时，假设什么？求证什么
假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2
（4）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
例2 用数学归纳法证明
证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 时，等式成立，就是
那么
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立．
1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N)；
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。
(2)假设当n=k时等式成立，就是
1+2+3+…+k =k(k+1)/2
那么， 1+2+3+…+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1)
=(k+1)[(k+1)+1]/2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。
练习：
2、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*)
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。
(2)假设当n=k时等式成立，就是
1+2+22+…+2k-1 =2k-1
那么， 1+2+22+…+2k-1 +2k=2k-1 + 2k
=2×2k-1
=2k+1-1
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都成立。
练习：
①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；
②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；
③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；
④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．
数学归纳法的基本思想：
在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题
数学归纳法的核心:
在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。
2.3 数学归纳法及其应用举例
课堂小结
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① 明确首取值n0并验证真假。（必不可少）
② “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的
方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，
并 用上假设。
可明确为：
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
作业布置
P108 习题2.3A 2 B 2、3
2.3 数学归纳法及其应用举例
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么
(1).当n=1时,左边= , 右边=
(2).假设n=k时命题成立 即
那么n=k+1时,
左边
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.
2.3 数学归纳法
第一棵树的砍伐，最后导致了森林的消失；一日的荒废，可能是一生荒废的开始；第一场强权战争的出现，可能是使整个世界文明化为灰烬的力量。这些预言或许有些危言耸听，但是在未来我们可能不得不承认它们的准确性，或许我们惟一难以预见的是从第一块骨牌到最后一块骨牌的传递过程会有多久。
有些可预见的事件最终出现要经历一个世纪或者两个世纪的漫长时间，但它的变化已经从我们没有注意到的地方开始了。
在一个相互联系的系统中，一个很小的初始能量就可能产生一连串的连锁反应，人们就把它们称为“多米诺骨牌效应”或“多米诺效应”。
2.3 数学归纳法及其应用举例
课题引入
①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋ 11，16＝5＋11，···78＝67＋11，···我们能得出什么结论？
任何一个大于等于6的偶数，都可以表示成两个奇质数之和．
②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格” ．
由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法．
不完全归纳法
完全归纳法
这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法
叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确 (1)是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．(2)是完全
归纳法，结论可靠，但一一核对困难．
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
1．在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ，
归纳
2．数列通项公式为：
验证可知：
如
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.
数学归纳法的两个步骤：
(Ⅰ)证明当n＝n0(n＝1)(如n＝1或2等)时，结论正确；
(Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，并应用此假设证明n＝k＋1时结论也正确．
注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可
定义:
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
如果 是等差数列，已知首项为 ，公差为 ，那么
对一切 都成立．
证明：（1）当n=1时，
等式是成立的．
（2）假设当n=k时等式成立，就是
那么
这就是说，当n=k+1时，等式也成立
由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立．
2.3 数学归纳法及其应用举例
新授课
数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：
（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确；
（2）假设时 结论正确，证明
时结论也正确．
递推基础
递推依据
小时候学数数的经历：先会数1，2，3；再数到10；再数到20
以内的数再数到30以内的数……，终于有一天我们可以骄傲地说：
我什么数都会数了，为什么呢 因为会数1，2，3……有了数数的
基础,会在前一个数的基础上加班1得到后一个数，进行传递，所
以，可以说什么数都会数了．
“找准起点，奠基要稳”
“用上假设，递推才真”
例题1 用数学归纳法证明
证明：
（1）当n=1时，左边＝12＝1，右边＝
等式成立。
（2）假设当n=k时，等式成立，就是
那么
这就是说，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立。
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
例2 用数学归纳法证明
【分析】①1+3+5…+(2n—1)=n
当n分别取值1、2、3….k、k+1时的命题是什么？
n=1 命题：1=1
n=2 命题：1+3=2
……
n=k 命题：1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
n=k十1 命题：1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2
n=3 命题：1+3+5=3
2
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
例2 用数学归纳法证明
【分析】(2) 第一步应做什么 本题的n0应取多少
n0=1,
（3）在证传递性时，假设什么？求证什么
假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2
（4）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
2
推理变形为1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1)
2
2.3 数学归纳法及其应用举例
例题讲解
例2 用数学归纳法证明
证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
（2）假设当 时，等式成立，就是
那么
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立．
1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=n(n+1)/2 (n∈N)；
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。
(2)假设当n=k时等式成立，就是
1+2+3+…+k =k(k+1)/2
那么， 1+2+3+…+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1)
=(k+1)[(k+1)+1]/2
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。
练习：
2、用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1 (n∈N*)
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。
(2)假设当n=k时等式成立，就是
1+2+22+…+2k-1 =2k-1
那么， 1+2+22+…+2k-1 +2k=2k-1 + 2k
=2×2k-1
=2k+1-1
这就是说，当n=k+1时，等式也成立。
因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都成立。
练习：
①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；
②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；
③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；
④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．
数学归纳法的基本思想：
在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题
数学归纳法的核心:
在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。
2.3 数学归纳法及其应用举例
课堂小结
用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
① 明确首取值n0并验证真假。（必不可少）
② “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。
③ 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时
命题形式的差别。弄清左端应增加的项。
④ 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的
方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，
并 用上假设。
可明确为：
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。
作业布置
P108 习题2.3A 2 B 2、3
2.3 数学归纳法及其应用举例
练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题
的过程.你认为他的证法正确吗 为什么
(1).当n=1时,左边= , 右边=
(2).假设n=k时命题成立 即
那么n=k+1时,
左边
=右边,
即n=k+1时,命题也成立.
由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.