丰富的图形世界（提高）巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．（2015?新乐市一模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．用一个平面去截一个圆柱体，截面的形状不可能是（ ）．
A．长方形
B．圆
C．椭圆
D．等腰梯形
3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的(
)．
4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（
）．
A．5
B．6
C．7
D．8
5．（2016?福建龙岩市）如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7．（2016?宁夏）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方形个数是__________个.
8．一个正方体的每个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体A，B，C三种状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________．
9．（2015?青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那么王亮至少还需要 个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为 ．
10．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由________块长方体的积木搭成．
11．用一个平面去截三棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截四棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截五棱柱，截面的边数最多是_______，
12．
(1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______
_(尽量多举出几种来)；
(2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______
_(尽量多举出几种来)；
(3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原理相同的例子还有_______
_(尽量多举出几种来)．
三、解答题
13．如图所示，一长方体的长、宽、高分别是10
cm、8
cm、6
cm，有一只蚂蚁从A点出发沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到A点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的路线用字母按顺序表示出来．
14．(1)一个梯形ABCD，如图所示，画出绕AB所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看，从上面看，从左面看所得到的图形．
(2)梯形绕BC所在直线旋转一周形成什么图形?
(3)梯形绕DC所在直线旋转一周形成什么图形?
15．（2014秋?扶沟县期末）将图中的几何体进行分类，并说明理由．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D
【解析】A、6个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误；
B、6个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误；C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图；故本选项错误．D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥的展开图；故本选项正确.
2．【答案】D
3．【答案】D
【解析】选项A中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项B中圆锥是以直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项C中几何体是以直角梯形绕其下底所在的直线旋转得到的，选项D中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选D．
4．【答案】B
【解析】如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数．
5．【答案】B
【解析】解：正三棱柱的主视图中前面正对的一条棱是可以看到的，要用实线标出，所以其主视图平行排列的两个矩形.
故选B．
6．【答案】C
【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．
二、填空题
7．【答案】5
【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有3+1=4个小正方体，第二有1个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是4+1=5个．
8．【答案】6
【解析】与l相邻的四个面分别为4、5、2、3，则1的对面为6，再由B可知3的对面为4，由A可知5的对面为2，可推出“?”处的数字为6．
9．【答案】19，48．
【解析】∵亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，
∴该长方体需要小立方体4×32=36个，
∵张明用17个边长为1的小正方形搭成了一个几何体，
∴王亮至少还需36﹣17=19个小立方体，
表面积为：2×（9+7+8）=48.
10．【答案】4
【解析】如右图，其中长方形中的数字表示该位置上的小长方体的个数．
11．【答案】5、6、7
【解析】截面能经过几个面，得到的形状就是几边形．
12．【答案】(1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等．
(2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出的漆面．
(3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面．
三、解答题
13．【解析】
解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行68cm．
路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A．
14．【解析】
解：(1)如图所示．
(2)梯形ABCD绕BC所在直线旋转一周形成是的圆台．
(3)梯形ABCD绕DC所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的复合体．
15．【解析】
解：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．
（1）长方体是由平面组成的，属于柱体．
（2）三棱柱是由平面组成的，属于柱体．
（3）球体是由曲面组成的，属于球体．
（4）圆柱是由平面和曲面组成的，属于柱体．
（5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体．
（6）四棱锥是由平面组成的，属于锥体．
（7）六棱柱是由平面组成的，属于柱体．
若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面；（3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面，
若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体；（3）是球体．
PAGE丰富的图形世界（提高）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组合图形中分离出基本几何体；
2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系；
3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图；
4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型．
【要点梳理】
要点一、立体图形
1．
定义：
图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形．
【高清课堂：多姿多彩的图形397362
空间图形的分类】
要点诠释：
常见的立体图形有两种分类方法：
2．
棱柱的相关概念：
在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．
通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图）
要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形．
（2）长方体、正方体都是四棱柱．
（3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行四边形．
3．点、线、面、体：
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系．
此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体．
要点二、展开与折叠
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到不同的平面图．
要点三、截一个几何体
用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形或圆等等．
要点四、从三个方向看物体的形状
一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图）
【典型例题】
类型一、立体图形
1．将图中的几何体进行分类，并说明理由．
【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来划分．
【答案与解析】
解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组成它的面至少有一个是曲面．
若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体．
【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)．
类型二、点、线、面、体
2.
18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______
_；
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是________；
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．
【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题．
【答案与解析】
解：(1)6，
6，
V+F-E＝2；
(2)20；
(3)这个多面体的面数为x+y，棱数为条，
根据V+F-E＝2可得24+(x+y)-36＝2，
∴
x+y＝14．
【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2
【变式】（2014?宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有12条棱．下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（ ）
五棱柱
B.
六棱柱
C.
七棱柱
D.
八棱柱
【答案】B
解：九棱锥侧面有9条棱，底面是九边形，也有9条棱，共9+9=18条棱，
A、五棱柱共15条棱，故A误；
B、六棱柱共18条棱，故B正确；
C、七棱柱共21条棱，故C错误；
D、八棱柱共24条棱，故D错误；
3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确的是（ ）
A．从正面看相同
B．从左面看相同
C．从上面看相同
D．三个方向都不相同
【答案】D
【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同方向看所得到的图形做出判断．
【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状．
举一反三：
【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
类型三、展开与折叠
4．（2015?广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字所在的面上标的字应是（ ）
A.
全
B.
明
C.
城
D.
国
【答案】
C
【解析】由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”．
【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进行确定．
举一反三：
【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的?
【答案】?(1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥．
类型四、截一个几何体
5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题：
（1）截面一定是什么图形？
（2）剩下的几何体可能有几个顶点？
【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个点，当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个点，当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点．
【答案与解析】
（1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形；
（2）剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，如图所示．
【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．
类型五、从三个方向看物体的形状
6．（2016春?潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图．
（1）说出这个立体图形的名称；
（2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．
【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可．
【答案与解析】
解：（1）这个立体图形是直三棱柱；
（2）表面积为：×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192．
【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生的空间想象能力．
举一反三：
【高清课堂：多姿多彩的图形397362
大显身手】
【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？
【答案】几何体的形状不唯一，
最少需要小方块的个数：
，
最多需要小方块的个数：
．
俯视图
主视图
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.
（2014?甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0℃表示没有温度．
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是
(
)
A．0是整数
B．0是偶数
C．0是正整数
D．0既不是正数也不是负数
3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是
(
)
A．前进-18米的意义是后退18米
B．收入-4万元的意义是减少4万元
C．盈利的相反意义是亏损
D．公元-300年的意义是公元后300年
4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是
(
)
A．甲站的东边70千米处
B．甲站的西边20千米处
C．甲站的东边30千米处
D．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（
）
A．身高增长和体重减轻是一对具有相反意义的量
B．有最大的数
C．没有最小的数，也没有最大的数
D．以上答案都不对
6.下列各数是正整数的是
（
）
A．－1
B．2
C．0．5
D．
二、填空题
1．（2014秋?朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．
2．在数中，非负数是______________；非正数是
__________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示
.
4．既不是正数，也不是负数的有理数是
.
5．（2016春?温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．
6．是整数而不是正数的有理数是
.
7．既不是整数，也不是正数的有理数是
.
8．一种零件的长度在图纸上是（）毫米，表示这种零件的标准尺寸是
毫米，加工要求最大不超过
毫米，最小不小于
毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t
（2）运进-5t
（3）浪费-14元
（4）上升-2m
(5)向南走-7m
2．（2014秋?晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．
﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．（2015秋?赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”，记录数据如下表：
时间
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣8
﹣11
﹣14
0
﹣16
+41
+8
（1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？
（2）若每行驶100km需用汽油8L，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，
，
，...
，...
(2)-1,,-,,,,,
,
,...
,...
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；
（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；
（4）0℃表示没有温度，错误．
综上，正确的有（2），共一个．
2.【答案】C
【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.
3.
【答案】D
【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.
4.
【答案】
C
【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.
5.【答案】C
【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.
6.
【答案】B
二、填空题
1.【答案】﹣5米
2.【答案】0.5，100，0，
；，0，-45
【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.
3.【答案】公元前2008年
【解析】正负数表示具有相反意义的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.
5.【答案】-20.
【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，
∴向西行驶20米，记作﹣20米，
故答案为：﹣20．
6.【答案】负整数和0
【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.
7.【答案】负分数
【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.
8.【答案】10，，
【解析】表示的数的范围为：大于，而小于，即大于而小于.
三、解答题
1.
【解析】（1）输出-12t表示输入12t
；
（2）运进-5t表示运出5t；
（3）浪费-14元表示节约14元；
（4）上升-2m表示下降2m；
(5)向南走-7m表示向北走7m.
提示：“-”表示相反意义的量.
2．【解析】
3.【解析】
解：（1）=50，
50×30=1500（km）．
答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；
（2）×8×7.14×12=10281.6（元），
答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．
4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…
（2）
PAGE有理数的意义
责编：张强
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3.
掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、、+584等大于0的数，叫做正数；
像－3、－1.5、、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，
“+”常省略，但
“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：
（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．（2016?广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ）
A．支出20元
B．收入20元
C．支出80元
D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【高清课堂：有理数的意义
356786
概念的应用例3（1）】
【变式1】（2015?太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（ ）
A．50.0千克
B．50.3千克
C．49.7千克
D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________
表示，0元表示__________
.
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出.
(2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（
）．
A．－20m
B．－40m
C．20m
D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）
这8名男生有百分之几达到标准？
（2）
他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
【高清课堂：有理数的意义
356786
概念的应用例2】
3．下面说法中正确的是(
)．
A．
非负数一定是正数．
B．
有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．一定是负数．
D
．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B)
最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当为负数或0时，则为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（
）
（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（
）
（3）整数又叫自然数.（
）
（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（
）
【答案】√，
，，
【变式2】下列四种说法，正确的是(
).
(A)所有的正数都是整数
(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数
(D)0不是最小的有理数
【答案】D
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1,
0.0708,
-700,
-3.88,
0,
3.14159265,
，
.
正整数集合:{
…}，
负整数集合:{
…}，
整数集合:{
…}，
正分数集合:{
…}，
负分数集合:{
…}，分数集合:{
…}，
非负数集合：{
…}，非正数集合：{
…}.
【答案】正整数：
1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数：
-3.88，；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，；
非负数：
1,0.0708，
3.14159265，0，；
非正数：-700,
-3.88,
0,
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数.
举一反三：
【变式】（2014秋?惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．
【答案】2.
类型三、探索规律
5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n组应该有种子是
粒.
【答案】()
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：，，，，，按此规律，第n组应该有种子数（）粒.
【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.
举一反三：
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：
【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：根据其规律可知第9个数是：
【答案】
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.（2015?漳州）﹣的相反数是（ ）
A
.
B
.-
C
.-3
D
.3
2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中，互为相反数的是（
）．
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
②④
3．满足|x|＝-x的数有(
)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
4．已知，则a的值是(
)．
A．3
B．-3
C．
D．或
5．a、b为有理数，且a＞0、b＜0，|b|＞a，则a、b、-a、-b的大小顺序是(
)．
A．b＜-a＜a＜-b
B．-a＜b＜a＜-b
C．-b＜a＜-a＜b
D．-a＜a＜-b＜b
6．下列推理：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b．其中正确的个数为(
)．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
二、填空题
7．数轴上离原点的距离小于3.5的整数点的个数为,
距离原点等于3.5的点的个数为,
则．
8．已知与互为相反数，与互为相反数，又，则=
．
9．（2015春?广饶县校级月考）1的相反数是 ； 的相反数是它本身．
10．绝对值不大于11的整数有
个．
11．（2016?江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=
．
12．若，则
0；若，则
．
三、解答题
13．（2014秋?娄底期末）若有理数x、y满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求x﹣y的值．
14．（2016春?桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b等于多少？
15．阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时:
①如图1-1-2，点A、B都在原点的右边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图1-1-3，点A、B都在原点的左边:
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；
③如图1-1-4，点A、B在原点的两边:
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题:
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，
那么x为__________．
③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______________．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】A
2．【答案】C
【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1，+（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1）=-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C
3．【答案】D
【解析】x为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个．
4．【答案】D
【解析】∵
，∴
，∴
5．【答案】A
【解析】画数轴，数形结合．
6．【答案】C
【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝|2|；④正确．故选C．
二、填空题
7．【答案】1
【解析】由题意可知：，所以
8．【答案】-2
【解析】因为均为的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以，，而为的相反数，所以为-2，综上可得：原式等于-2．
9.【答案】，0.
10.【答案】23
【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于11的数有：-11
、-10……0
、1
……11共23个．
11.【答案】2016.
【解析】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；
故答案为2016．
12．【答案】＜；任意数.
三、解答题
13.【解析】
∵|x|=5，
∴x=±5，
又|y|=2，
∴y=±2，
又∵|x+y|=x+y，
∴x+y≥0，
∴x=5，y=±2，
当x=5，y=2时，x﹣y=5﹣2=3，
当x=5，y=﹣2时，x﹣y=5﹣（﹣2）=7．
14.【解析】
解：∵|a+1.2|+|b﹣1|=0，
∴a+1.2=0，b﹣1=0，
∴a=﹣1.2，b=1，
∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3．
15．【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4．
②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣．
∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2，
∴x+1=2或-2，∴x=1或-3．
③令x+1=0，x-2=0，则x=-1，x=2．
将-1、2在数轴上表示出来，如图1-1-5，
则-1、2将数轴分为三部分x＜-1、-1≤x≤2、x＞2．
当x＜-1时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3；
当-1≤x≤2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3;
当x＞2时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3．
∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是3，相应的x的取值范围是-1≤x≤2．
PAGE绝对值与相反数（提高）
责编：张强
【学习目标】
1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念；
2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系；
3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；
4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用．
【要点梳理】
要点一、相反数
1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0的相反数是0．
要点诠释：
（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同．
（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉．
（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数．
（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可．
2．性质：
（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）．
（2）互为相反数的两数和为0．
要点二、多重符号的化简
多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4
；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4
．
要点诠释：
（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5．
（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3．
要点三、绝对值
1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2的绝对值等于2，记作|+2|=2；-3的绝对值等于3，记作|-3|=3．
要点诠释：
（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：
（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．
（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．
2．性质：
（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数．
（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.
（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．
要点四、有理数的大小比较
1．数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小．
如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b．
2．法则比较法：
两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：
两数同号
同为正号：绝对值大的数大
同为负号：绝对值大的反而小
两数异号
正数大于负数
－数为0
正数与0：正数大于0
负数与0：负数小于0
要点诠释：
利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小：
（3）判定两数的大小．
3．
作差法：设a、b为任意数，若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，a＜b；反之成立．
4．
求商法：设a、b为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反．
5．
倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．
【典型例题】
类型一、相反数的概念
1．（2014?常德一模）若m与n互为相反数，则|m+n﹣2|=
．
【答案】2
【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知，代入上式可得：|m+n﹣2|=|0﹣2|=2．
【总结升华】若互为相反数，则或．
举一反三：
【变式】（2014秋?监利县期末）若|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，则x+y=
．
【答案】-1.
∵|x﹣2|与（y+3）2互为相反数，
∴|x﹣2|+（y+3）2=0，
∴x﹣2=0，y+3=0，
解得x=2，y=﹣3，
∴x+y=2+（﹣3）=﹣1．
故答案为：﹣1．
类型二、多重符号的化简
2．化简下列各数．
①；
②；
③
；④；⑤
【答案】①6；
②；③6；④-6；⑤6
【解析】①表示-6的相反数，所以；
②表示+6的相反数，所以；
③
前面共有2个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以；
④中共有3个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以=-6；
⑤中共有4个“-”号，即偶数个，而
“+”可以省略，所以
【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．
类型三、绝对值的概念
3．如果|x|＝6，|y|＝4，且x＜y．试求x、y的值．
【思路点拨】6和-6的绝对值都等于6，4和-4的绝对值都等于4，所以要注意分类讨论．
【答案与解析】因为|x|＝6，所以x＝6或x＝-6；
因为|y|＝4，所以y＝4或y＝-4；
由于x＜y，故x只能是-6，因此x＝-6，y＝±4．
【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外，此题x＝-6，y＝±4，就是x＝-6，y＝4或x＝-6，y＝-4．
举一反三：
【变式】如果数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为
．
如果｜x－2｜＝1，那么x＝
；
如果｜x｜＞3，那么x的范围是
．
【答案】6或-6；1或3；或
类型四、比较大小
4．
比较下列每组数的大小：
(1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与0；(3)与；(4)与．
【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较．
【答案与解析】
(1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5．
因为正数大于一切负数，所以-(-5)＞-|-5|．
(2)化简得：-(+3)＝-3．因为负数小于零，所以-(+3)＜0．
(3)化简得：．这是两个负数比较大小，因为，，且．所以．
(4)化简得：-|-3.14|＝-3.14，这是两个负数比较大小，因为
|-π|＝π，|-3.14|＝3.14，而π＞3.14，所以-π＜-|-3.14|．
【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断．
类型五、含有字母的绝对值的化简
5．（2016春?都匀市校级月考）若﹣1＜x＜4，则|x+1|﹣|x﹣4|=
．
【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a,可得|x+1|=x+1，|x﹣4|=﹣x+4，然后再合并同类项即可．
【答案】2x﹣3．
【解析】
解：原式=x+1﹣（﹣x+4），
=x+1+x﹣4，
=2x﹣3.
【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1，x﹣4的正负性．
举一反三：
【变式】已知有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示：
化简：
【答案】由图所示，可得．
∴
，，，
∵
．
∴
原式．
类型六、绝对值非负性的应用
6．
已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________．
【答案与解析】由，，，
可得
∴
【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于0，要使这两个数的和为0，需要这两个数都为0．几个非负数的和为0，则每一个数均为0．
举一反三：
【变式】已知b为正整数，且a、b满足，求的值．
【答案】
由题意得
∴
所以，
类型七、绝对值的实际应用
7．一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关.
【答案与解析】小虫爬行的总路程为：
|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm)
小虫得到的芝麻数为54×2＝108(粒)
答：小虫一共可以得到108粒芝麻．
【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最后所在的位置时即为各数之和，最后看正负来决定方向.
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.（2015?怀化）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（ ）
A．
﹣10℃
B．
10℃
C．
14℃
D．
﹣14℃
2.（2016?仪征市一模）比﹣1小2015的数是（ ）
A．﹣2014
B．2016
C．﹣2016
D．2014
3.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是(
)．
A．两个正数，一个负数
B．两个负数，一个正数
C．三个都是零
D．其中两个数之和等于第三个数的相反数
4.
若,,
则与的和是
(
)
A.
B.
C.
D.
．
5.下列判断正确的是（
）
A．两数之差一定小于被减数．
B．若两数的差为正数，则两数都为正数．
C．零减去一个数仍得这个数．
D．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．
6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25±0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
(
)
A．0.8kg
B．0.6kg
C．0.5kg
D．0.4kg
二、填空题
7.有理数在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：
（1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0：
（3）a－b＋c______0；
（4）a＋c______b；
（5）c－b______a．
8.（2015春?广饶县校级月考）小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．
9.
若a
，b
为整数，且|a-2|+|
a
-b|＝1，则a+b＝________．
10．某地的冬天，半夜的温度是-5C，早晨的温度是-1C，中午的温度是4C.则
(1)早晨的温度比半夜的温度高________度；
(2)早晨的温度比中午的温度低________度.
11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________
12.
数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a和b，有a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是
.
三、解答题
13.计算题
（1）；
（2）
（3）
（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值．
（5）；
（6）
14.（2014秋?万州区校级月考）数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x，不大于3的正整数的个数为y，绝对值等于3的整数的个数为z，求：x+y+z的值．
15.（2016?南海区校级模拟）股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况
求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．
（2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？
星期
一
二
三
四
五
每股涨跌/元
+0.4
+0.45
﹣0.2
+0.25
﹣0.4
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】B．
2.
【答案】C
【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016，
故选C.
3.
【答案】D
【解析】若，则或或，所以D正确.
4．【答案】D
【解析】()的符号与绝对值较大的一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有.
5.
【答案】D
【解析】A错误，反例：2-（-3）=5，而5＞2；B不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数.
6．【答案】B
【解析】因为最低重量为24.7kg，最大重量为25.3kg，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg．
二、填空题
7.
【答案】＜，＜，＞，＞，＞
【解析】由图可知：，且，再根据有理数的加法法则可得答案.
8.【答案】340
【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）．
9．【答案】2,6,3或5
【解析】当|a-2|＝1，|
a
-b|＝0时，得：a+b＝6或2；当|a-2|＝0，|
a
-b|＝1时，得：a+b＝3或5；
10．【答案】(1)4
(2)
5
【解析】
(1)-1-（-5）=4
(2)
-1-（+4）=
-5
11．【答案】2：00
【解析】15：00+(-13)=2：00．
12.
【答案】
-1
【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1
三、解答题
13.
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
=
．
（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100
＝[1+(-2)
+
(-3)+4]+[5+(-6)
+
(-7)+8]+…+[97+(-98)
+
(-99)+100]
＝0+0++…+0＝0．
（5）
（6）原式
14.【解析】
解：根据数轴，到原点的距离小于3的整数为0，±1，±2，即x=5，
不大于3的正整数为1，2，3，即y=3，
绝对值等于3的整数为3，﹣3，即z=2，
所以x+y+z=10．
15.【解析】解：（1）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）=11.85（元），
则本周星期三收盘时，该只股票每股为11.85元；
（2）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）+0.25=12.1（元），
则本周该只股票最高价12.1元出现在周四，李星星本周四把股票抛出比较好．
PAGE有理数的加减法（提高）
责编：康红梅
【学习目标】
1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；
2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；
3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一、有理数的加法
1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．
2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数．
要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：
(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．
(2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．
(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．
3.运算律：
有理数加法运算律
加法交换律
文字语言
两个数相加，交换加数的位置，和不变
符号语言
a+b＝b+a
加法结合律
文字语言
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
符号语言
(a+b)+c＝a+(b+c)
要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．
要点二、有理数的减法
1.定义：
已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算．
要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．
（2）
几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．
2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．
要点诠释：
将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：
要点三、有理数加减混合运算
将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.
【典型例题】
类型一、有理数的加法运算
1．（2015秋?江都市月考）阅读下题的计算方法．
计算．
解：原式=
=
=0+（﹣）
=﹣
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：
．
【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案．
【答案与解析】
解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）]
=[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]
=0+（﹣）
=﹣．
【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．
举一反三：
【高清课堂：有理数的加减法
382681
有理数的加法例2】
【变式1】计算：(1)
-7+10；(2)
(-)+(-7.3)；(3)
1+(-2)；(4)
7+(-3.8)+(-7.2)
【答案】（1）原式=；
（2）原式=；（3）原式=；
（4）原式=
【变式2】计算：
【答案】
【变式3】计算：
．
【答案】解法一：
→同号的数一起先加
．
解法二：
→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加
．
类型二、有理数的减法运算
2．
(1)2-(-3)；
(2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)；
(3)．
【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．
【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．
(1)2-(-3)＝2+3＝5
(2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5
（3）原式=
【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.
类型三、有理数的加减混合运算
3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；
（2）11-12+13-15+16-18+17；
（3）
（4）
（5）；
（6）
【答案与解析】
（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；
4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便．
解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72
＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23
＝0+0-1.23＝-1.23
（2）把正数和负数分别分为一组．
解：11-12+13-15+16-18+17
＝(11+13+16+17)+(-12-15-18)
＝57+(-45)＝12
（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．
解：
（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；与
易于通分，把它们分为一组；与同分母，把它们分为一组．
解：
（5）先把整数分离后再分组．
解：
注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如
．
（6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．
解：
【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.
举一反三：
【变式】（2014?甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．
【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．
类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用
【高清课堂：有理数的加减法
382681
有理数加减的应用】
4．（2014秋?郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国
古代数学史上经常研究这一神话．
（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；
（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1
这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．
【答案与解析】
解：（1）15÷3=5，
∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；
（2）如图2所示．
【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．
举一反三：
【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：
197，202，197，203，200，196，201，198．
计算出售的粮食总共多少千克?
【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6
200×8+(-6)＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)
答：出售的粮食共1594千克．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2015?自贡）的倒数是（ ）
A．﹣2
B．
2
C．
D．
2.
若|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0，则(x+1)(y-2)(z+3)的值为(
)．
A．48
B．-48
C．0
D．xyz
3．已知a＜0，-1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大的排列顺序是(
)．
A．a＜ab＜ab2
B．ab2＜ab＜a
C．a＜ab2＜ab
D．ab＜a＜ab2
4.
若“!”是一种数学运算符号，并且1!＝1，2!＝2×1!，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2×1，……，则的值是为（
）
A．
B．99!
C．9900
D．2!
5.下列计算：①0-(-5)＝-5；②；③；④；⑤若，则x的倒数是6．其中正确的个数是（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（
）
（A）2010
（B）2011
（C）2012
（D）2013
7.（2016?台湾）算式2.5÷[（﹣1）×（2+）]之值为何？（ ）
A.﹣
B.﹣
C.﹣25
D.11
二、填空题
8．（2015秋?岱岳区期末）计算﹣（﹣）的结果是
．
9．已知，，且，则的值是________．
10.如果，则化简=
.
11.某商场销售一款服装，每件标价150元，若以八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的进价为_____元．
12.在与它的倒数之间有个整数，在与它的相反数之间有个整数，则=
.
13.如果有理数都不为0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则中最少有
个负数，最多有
个负数.
14.
已知，则____________．
三、解答题
15.计算：（1）计算：
（2）
（3）
（4）(-9)÷(-4)÷(-2)
(5)
（6）2004×20032003-2003×2004200404
16.已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的结果是多少？
17．（2014秋?泗阳县校级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…．
求的值．
18.用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：
；；；
（1）你发现了什么规律，请用字母（为正整数）表示.
（2）不用计算器，直接写出结果
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A.
2.【答案】B
【解析】由|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0可求得x＝1，y＝-2，z＝3，
所以(x+1)(y-2)(z+3)＝2×(-4)×6＝-48．
3.【答案】C
【解析】利用特殊值法，取a＝-2，b＝，则ab＝-2×，，易比较得到．
4.【答案】C
【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可．
100!=100×99×98×…×2×1，98
!＝98×97×…×2×1，故原式＝100×99＝9900
5.【答案】B
【解析】②③正确．
6.【答案】D
【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝
紫
红
黄
绿
|蓝
紫
红
黄
绿|，…，|蓝
紫
红
黄
绿|蓝
紫
红，
每5个一个循环，总个数应该是被5除余3的数，所以答案应为：2013
7．【答案】A
【解析】解：2.5÷[（﹣1）×（2+）]
=2.5÷[（﹣）×]
=2.5÷（﹣2）
=﹣．
故选：A．
二、填空题
8.【答案】3.
【解析】解：原式==3，
故答案为：3．
9.【答案】-8
【解析】因为|x|＝4，所以x＝4或-4．同理，或．又因为，所以x、y异号．所以．
10.【答案】0
【解析】；，所以和为0.
11.【答案】90
【解析】依题意列式为：150×0.8-30＝90．
12.【答案】-5
【解析】由题意可得：，代入计算得：-5
13.
【答案】1；
3
【解析】四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为负数，所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少有1个，最多有3个.
14.
【答案】-1
三、解答题
15.
【解析】
（1）
（2）因为．从而加数中都含有，所以逆用乘法分配律，可使运算简便．
原式
（3）原式=
(4)原式＝-9÷4÷2＝
(5)
原式==-=-
（6）原式=
2004×2003×10001-2003×2004×10001=0.
16.【解析】由题意得a+b＝0，cd＝1，m＝1或m＝-1．
当m＝1时，原式；
当m＝-1时，原式．
综合可知：的结果是0或-2．
17.【解析】
解：∵1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…，
∴==9900．
18.【解析】20979，21978，22977，23976
（1），其中表示；
（2）28971
红
黄
绿
蓝
紫
红
黄
绿
黄
绿
蓝
紫
…
…
PAGE有理数的乘除（提高）
责编：张强
【学习目标】
1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算；
2.
理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算；
3.
巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算；
4.
培养观察、分析、归纳及运算能力.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘法
1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释：
(1)
不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2.
有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．
3.
有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
要点二、有理数的除法
1.倒数的意义：
乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2.
有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
要点三、有理数的乘除混合运算
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
要点四、有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．
【典型例题】
类型一、有理数的乘法运算
1．计算：(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．
【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号.
2.（2015秋?碑林区期中）简便计算：
（1）（﹣48）×0.125+48×
（2）（）×（﹣36）
【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法分配律进行计算即．
【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48×
=48×（﹣+﹣）
=48×0
=0；
（2）（）×（﹣36）
=﹣20+27﹣2
=5．
【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用乘法分配律进行计算．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)；
(2)．
【答案】
（1）原式
．
(2)
＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2
＝-3.14×(35.2+46.6+18.2)
＝-3.14×100
＝-314．
类型二、有理数的除法运算
3．计算：
【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．
【答案与解析】
解：
【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除381226
有理数除法例1（3）】
【变式】计算：
【答案】原式
类型三、有理数的乘除混合运算
4.计算：
【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.
【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．
举一反三：
【变式】计算：
【答案】
类型四、有理数的加减乘除混合运算
5.
计算：
【答案与解析】
方法1：
方法2：
所以
【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c)
＝a÷b+a÷c进行分配就错了．
举一反三：
【变式】（2014?沐川县二模）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）
1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，
那么计算：= ．
【答案】
解：==．
类型五、含绝对值的化简
6.
已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?
【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．
【答案与解析】
解：分四种情况：
(1)当a、b、c三个数都为正数时，；
(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，
；
(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，
；
(4)当a、b、c三个数都为负数时，
综上，的值为：
【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.
举一反三：
【高清课堂：有理数乘除
381226
有理数除法例2】
【变式】计算的取值.
【答案】(1)当a＞0、b＞0时，；
(2)当a＜0、b＜0时，；
(3)当a＞0，b＜0时，；
(4)当a＜0，b＞0时，．
综上，的值为：
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．下列说法中，正确的个数为(
)．
①对于任何有理数m，都有m2＞0；
②对于任何有理数m，都有m2＝(－m)2；
③对于任何有理数m、n(m≠n)，都有(m－n)2＞0；
④对于任何有理数m，都有m3＝(－m)3．
A．1
B．2
C．3
D．0
2.（2015春?句容市校级期中）与算式22+22+22+22的运算结果相等的是（ ）
A．24
B．
82
C．
28
D．
216
3．设，，，则a、b、c的大小关系为（
）．
A．a＜c＜b
B．c＜a＜b
C．c＜b＜a
D．a＜b＜c
4．（2016?朝阳区校级模拟）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．现规定一种新的运算“
”，a
b＝ab，如3
2＝32＝9，则等于（
）．
A．
B．8
C．
D．
6．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1
300
000
000度，这个数用科学记数法表示，正确的是(
)．
A
．1.30×109
B．
1.3×109
C．
0.13×1010
D．
1.3×1010
7．计算的结果是（
）．
A．-33
B．-31
C．31
D．33
二、填空题
8．
对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数82的分裂数中最大的数是________________．
9．为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为
．
10．若，则
．
11．（2016春?张掖校级月考）如图是一个计算程序，若输入的值为﹣1，则输出的结果应为
．
12．如果有理数m、n满足，且，则
．
13.（2015春?濮阳校级期中）看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有
个孙悟空．
三、解答题
14．
计算：
(1)
(2)
(3)
(4)-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)
(5)
15．用简便方法计算：
(1)；
(2)．
16.（2015?宜兴市期末）阅读并回答下列问题．
在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相西萨?班?达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．
那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？即求：1+2+22+23+24+…+263的值．如何求它的值呢？
设s=1+2+22+23+24+…+263；
则2s=2（1+2+22+23+24+…+263）=2+22+23+24+…+263+264；
两式相减得s=264﹣1．
问题1：求1+5+52+53+54+…+52014的值．
问题2：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，试问尖曾头几盏灯？
（注：“红光”指每层都挂着大红灯笼的灯光；“倍加增”指每层灯盏数都是上一层盏数的2倍；“尖头：指塔顶层．）答：尖头有
盏灯？
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】①错：当m为0时，不满足；②③对；④错：次数为3，互为相反数的两个数的奇数次方的结果也互为相反数．
2.
【答案】A．
3．【答案】
B
【解析】a＝-3×42＝-48，b＝(-3×4)2＝144，c＝-(3×4)2＝-144．故c＜a＜b．
4．【答案】C
【解析】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256，……
∴220的末位数字是6．
故选C．
5．【答案】A
【解析】．
6．【答案】B
【解析】题目中涉及的数都是准确数，A,B选项中的数是完全一样的，没必要写成A，所以答案为：B
7．【答案】C
【解析】原式=．
二、填空题
8．【答案】15
【解析】每组数中，左边的幂的底数与最下方的数的关系是：．
9．【答案】
【解析】将160亿=16000000000用科学记数法表示为
10．【答案】0
【解析】绝对值与平方均具有非负性，，所以，代入计算即可．
11．【答案】7.
【解析】解：依题意，所求代数式为
（a2﹣2）×（﹣3）+4
=[（﹣1）2﹣2]×（﹣3）+4
=[1﹣2]×（﹣3）+4
=﹣1×（﹣3）+4
=3+4
=7．
故答案为：7．
12．【答案】
【解析】由m+2n=0
得：m=-2n，所以
13.【答案】230．
三、解答题
14．【解析】
解：（1）
（2）
（3）
（4）-9+5×(-6)-(-4)2÷(-8)=-9-30+2=-37
（5）
15．【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
16.【解析】
解：问题1：设s=1+5+52+53+54+…+52014，
则5s=5（1+5+52+53+54+…+52014）=5+52+53+54+…+52014+52015，
两式相减得4s=52015﹣1，
s=；
问题2：设尖头有x盏灯，由题意得，（27﹣1）x=381，
解得x=3，
答：尖头有3盏灯．
故答案为：3．
PAGE有理数的乘方、混合运算及科学记数法（提高）
责编：张强
【学习目标】
1．理解有理数乘方的定义；
2.
掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3.
进一步掌握有理数的混合运算.
4.
会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数，
n叫做指数．
要点诠释：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
要点二、乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如
≥0．
要点诠释：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||<10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
要点诠释：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
类型一、有理数的乘方
1．（2016?虞城县一模）下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④（﹣1）2，其中结果等于﹣1的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【思路点拨】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
【答案】A．
【解析】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣13=﹣1，符合题意；④（﹣1）2=1，不符合题意．
故选A．
【总结升华】注意与的意义的区别．（n为正整数），（n为正整数）．
举一反三：
【变式】已知，且，则的倒数的相反数是
．
【答案】
类型二、乘方运算的符号法则
2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．
(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，，-(-2)2010
【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．
【答案与解析】解：根据乘方的符号法则判断可得：
(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．
【总结升华】
“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0，指数不为０时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．
举一反三：
【变式】（2015春?富阳市校级期中）计算（﹣2）2015+（﹣2）2014所得的结果是（ ）
A．﹣2
B．
2
C．
﹣22014
D．
22015
【答案】C．
解：（﹣2）2015+（﹣2）2014=（﹣2）2014（﹣2+1）=22014×（﹣1）=﹣22014.
类型三、有理数的混合运算
3．计算：
（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
（3）；
（4）
【答案与解析】
解：（1）-(-3)2+(-2)3÷[(-3)-(-5)]
＝-9+(-8)÷(-3+5)
＝-9+(-8)÷2
＝-9+(-4)＝-13
（2）[73-6×(-7)2-(-1)10]÷(-214-24+214)
＝(7×72-6×72-1)÷(-214+214-24)
＝[72×(7-6)-1]÷(-24)
＝(49-1)÷(-24)
＝-2
（3）有绝对值的先去掉绝对值，然后再按混合运算.
原式
（4）将带分数化为假分数，小数化为分数后再进行运算.
【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．
类型四、科学记数法
4．（2015?酒泉）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500用科学记数法表示为（ ）
A．0.675×105
B．
6.75×104
C．
67.5×103
D．
675×102
【思路点拨】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【答案】B．
将67500用科学记数法表示为：6.75×104．
【总结升华】将一个绝对值较大的数写成科学记数法的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．在进行运算时，a部分和的部分分别运算，然后再把结果整理成的形式．
类型五、探索规律
5．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
…
第n个数：．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是（
）．
A．第10个数
B．第11个数
C．第12个数
D．第13个数
【答案】A
【解析】第1个数结果为；第2个数结果为；第3个数结果为；…；发现运算中在后边的各式为，分子、分母相约为1，所以第n个数结果为，把第10、11、12、13个数分别求出，比较大小即可．
【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．
举一反三：
【变式】观察下面三行数：
①-3，9，-27，81，-243，729，…
②0，12，-24，84，-240，732，…
③-1，3，-9，27，-81，243，…
(1)第①行数按什么规律排列?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和．
【答案】
解：(1)第①行数的规律是：-3，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…；
(2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：-3+3，(-3)2+3，(-3)3+3，(-3)4+3，…；第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…；
(3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．（2015?咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．
与比较大小，必定为（
）．
A．
B．
C．
D．这要取决于b
3．下列语句中，正确的个数是（
）．
①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；
③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若，则．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．已知，，，则的值是（
）．
A．-7
B．-3
C．-7或-3
D．±7或±3
5．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的，则（
）．
A．
B．
C．
D．
6．
如图：
数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、
D对应的数分别是整数a,b,c,d，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是
（
）．
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
7．有理数a,b,c的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（
）．
A．
B．
C．
D．
8．记，令，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2004，那么8，，，…，的“理想数”为(
)．
A．2004
B．2006
C．2008
D．2010
二、填空题
9．已知a是有理数，有下列判断：①a是正数；②-a是负数；③a与-a必有一个是负数；④a与-a互为相反数，其中正确的有________个．
10.（2015春?万州区期末）绝对值小于4，而不小于2的所有整数有
．
11．一种零件的尺寸在图纸上是（单位：mm），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________．
12．（2016?巴中）|﹣0.3|的相反数等于
．
13．如图，有理数对应数轴上两点A，B，判断下列各式的符号：
________0；________0；
0；
________0．
14．已知满足，则代数式的值是
15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是
千米．
16．观察下列算式：
，，，，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：．
三、
解答题
17．（2016春?新泰市校级月考）计算：
（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）
（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）
（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）
（4）（﹣24）×（﹣++）
18.（2015?燕山区一模）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多少元？
19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，且x的绝对值为2，求的值．
20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算
（1）一粒大米重约多少克？
（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）
（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）
（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？
（5）经过以上计算，你有何感想和建议？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C.
【解析】∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C．
2．【答案】
D
【解析】当为0时，；当为正数时，；当为负数时，
3．【答案】
B
【解析】只有④正确，其他均错．
4．【答案】C
【解析】，，所以或
5．【答案】C
【解析】
6．【答案】C
【解析】由图可知：，又，所以
7．【答案】C
【解析】由图可知：，且表示数轴上数对应点与数对应点之间的距离，此距离恰好等于数对应点到原点的距离与数对应点到远点的距离之和，所以选项C正确．
8．【答案】C
【解析】∵
，，…，的“理想数”为2004，
∴
，
∴
．
8，，，…，中，；；；…，
∴
8，，，…，的理想数为：
二、填空题
9．【答案】1
【解析】不论a是正数、0、负数，a与-a都互为相反数，∴④正确.
10.【答案】±3，±2．
【解析】结合数轴和绝对值的意义，得绝对值小于4而不小于2的所有整数±3，±2.
11．【答案】
7.05mm,
6.98mm
【解析】7+0.05=7.05mm,
7-0.02=6.98mm.
12．【答案】-0.3
【解析】解：∵|﹣0.3|=0.3，
0.3的相反数是﹣0.3，
∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3．
故答案为：﹣0.3．
13．【答案】>，
>，
>，
<
【解析】由图可得：,特殊值法或直接推理可得：
．
14．【答案】1
【解析】又可得：三数必一负两正，不防设：，代入原式计算即可．
15．【答案】
10
【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）.
16．【答案】
【解析】观察可得规律为：.
三、解答题
17．【解析】
解：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）
=24﹣22﹣10﹣13
=2﹣23
=﹣21；
（2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）
=﹣1.5﹣5.5+4.25+2.75
=﹣7+7
=0；
（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）
=﹣8﹣21﹣7.5+3.5
=﹣30﹣4
=﹣34；
（4）（﹣24）×（﹣++）
=﹣24×（﹣）﹣24×﹣24×
=16﹣18﹣2
=﹣4．
18.【解析】
解：由3＜10＜15，得到车费为2[10+2（10﹣3）]=48（元），
则共付车费48元．
19．【解析】解：由1，a+b，a与0，，b相同，
由得：分母有，所以
又由三数互不相等，所以，
化简得：，，，
∴
．
20．【解析】
解：（1）10÷500≈0.02（克）
答：一粒大米重约0.02克．
（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）
答：一年大约能节约大米2.847×107千克．
（3）2×2.847×107=5.694×107（元）
答：可卖得人民币5.694×107元．
（4）5.694×107÷500=1.1388×105
答：可供11388名失学儿童上一年学．
（5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．
PAGE《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）
责编：张强
【学习目标】
1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．
2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．
3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．
4．
会用科学记数法表示数．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、有理数的相关概念
1．有理数的分类：
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；
（2）有理数“0”的作用：
作用
举例
表示数的性质
0是自然数、是有理数
表示没有
3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示
表示某种状态
表示冰点
表示正数与负数的界点
0非正非负，是一个中性数
2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．
要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．
（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．
要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．
（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．
（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．
4．绝对值：
（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
数a的绝对值记作．
（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．
要点二、有理数的运算
1
．法则：
（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．
（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b)
．
（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．
（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a÷b=a·(b≠0)
．
（5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．
(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：
（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，
－[+（－3）]=3．
（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．
（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：
，
．
2．运算律：
（1）交换律:
①
加法交换律:a+b=b+a；
②乘法交换律:ab=ba；
（2）结合律:
①加法结合律：
(a+b)+c=a+(b+c)；
②乘法结合律：（ab）c=a(bc)
（3）分配律：a(b+c)=ab+ac
要点三、有理数的大小比较
比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3)
作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200
000=．
【典型例题】
类型一、有理数相关概念
1．已知x与y互为相反数，m与n互为倒数，|x+y
|+（a-1）2＝0，求a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010的值．
【思路点拨】
(1)若有理数x与y互为相反数，则x+y＝0，反过来也成立．
(2)若有理数m与n互为倒数，则mn＝1，反过来也成立．
【答案与解析】
解：因为x与y互为相反数，m与n互为倒数，（a-1）2≥0，
所以x+y＝0，mn＝1，a＝1，
所以a2-(x+y+mn)a+(x+y)2009+(-mn)2010
＝a2-(0+1)a+02009+(-1)2010
＝a2-a+1．
∵a＝1，∴原式＝12-1+1＝1
【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高
357129
复习例题2】
【变式1】选择题
（1）已知四种说法：
①|a|=a时，a>0；
|a|=-a时，
a<0．
②|a|就是a与-a中较大的数．
③|a|就是数轴上a到原点的距离．
④对于任意有理数，-|a|≤a≤|a|．
其中说法正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2）有四个说法：
①有最小的有理数
②有绝对值最小的有理数
③有最小的正有理数
④没有最大的负有理数
上述说法正确的是（
）
A．①②
B．③④
C．②④
D．①②
（3）已知(-ab)3>0，则（
）
A．ab<0
B．ab>0
C．a>0且b<0
D．a<0且b<0
（4）若|x-1|+|y+3|+|z-5|=0，则(x+1)(y-3)(z+5)的值是（
）
A．120
B．-15
C．0
D．-120
（5）下列各对算式中，结果相等的是（
）
A．-a6与(-a)6
B．-a3与|-a|3
C．[(-a)2]3与(-a3)2
D．(ab)3与ab3
【答案】（1）C；（2）C；（3）A；（4）D；(5)C
【变式2】（2015?甘南州）在“百度”搜索引擎中输入“姚明”，能搜索到与之相关的网页约27000000个，将这个数用科学记数法表示为（ ）
A．2.7×105
B．
2.7×106
C．
2.7×107
D．
2.7×108
【答案】C．
2．（2016?江西校级模拟）如果m，n互为相反数，那么|m+n﹣2016|=________．
【思路点拨】先用相反数的意义确定出m+n=0，从而求出|m+n﹣2016|.
【答案】
2016.
【解析】解：∵m，n互为相反数，
∴m+n=0，
∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016；
故答案为2016．
【总结升华】此题是绝对值题，主要考查了绝对值的意义，相反数的性质，熟知相反数的意义是解本题的关键．
类型二、有理数的运算
【高清课堂：有理数专题复习
357133
有理数的混合运算】
3．(1)
(2)
(4)
(5)
【答案与解析】
解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）
【总结升华】有理数的混合运算有很多技巧，如：正、负数分别相加；分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；除法转化为乘法、正向应用乘法分配律：a(b+c)＝ab+ac；逆向应用分配律：ab+ac＝a(b+c)等．
举一反三：
【变式】
（1）
（2）
【答案】
解：（1）
（2）
4．（2015?铜仁市）定义一种新运算：x
y=，如2
1==2，则（4
2）
（﹣1）=
．
【答案】0．
【解析】
解：4
2==2，
2
（﹣1）==0．
故（4
2）
（﹣1）=0．
【总结升华】本题考查了有理数混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
举一反三：
【高清课堂：有理数的复习与提高
例2】
【变式】用简单方法计算：
【答案】
解：原式=
类型三、数学思想在本章中的应用
5．（1）数形结合思想：已知有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，求|a|-|a+b|-|b-a|的值．
A．2b+a
B．2b-a
C．a
D．b
（2）分类讨论思想：已知a是任一有理数，试比较|a|与-2a的大小．
（3）转化思想：．
【答案与解析】
解：（1）从数轴上a、b两点的位置可以看出a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，所以|a|-|a+b|-|b-a|＝-a+a+b-b+a＝a．
（2）a可能是正数，0或负数，这就需要分类讨论：
当a＞0时，|a|＝a＞0，-2a＜0，所以|a|＞-2a；
当a＝0时，|a|＝0，-2a＝0，所以|a|＝-2a；
当a＜0时，|a|＝-a>0，-2a＞0，又-a＜-2a，所以|a|＜-2a．
综上所述：当a≥0时，
|a|≥-2a；当a＜0时，|a|＜-2a．
（3）．
【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．
类型四、规律探索
6．下面两个多位数1248624…，6248624…都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是(
)．
A．495
B．497
C．501
D．503
【思路点拨】多位数1248624…是怎么来的？当第1个数字是1时，将第1位数字乘以2得2，将2写在第2位上，再将第2位数字2乘以2得4，将其写在第3位上，将第3位数字4乘以2的8，将8写在第4位上，将第4位数字8乘以2得16，将16的个位数字6写在第5位上，将第5位数字6乘以2得12，将12的个位数字2写在第6位上，再将第6位数字2乘以2得4，将其写在第7位上，以此类推．根据此方法可得到第一位是3的多位数后再求和．
【答案】A
【解析】按照法则可以看出此数为362
486
248…，后面6248循环，所以前100位的所有数字之和是3+(6+2+4+8)×24+6+2+4＝495，所以选A．
【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并表示出来．
举一反三：
【变式】世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B提示：观察发现：分子总是1，第n行的第一个数的分母就是n，第二个数的分母是第一个数的（n-1）倍，第三个数的分母是第二个数的分母的倍．根据图表的规律，则第10行从左边数第3个位置上的数是．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．已知a，b互为相反数，c、d互为倒数，则代数式2（a＋b）－3cd的值为（
）．
A.2
B.－1
C.－3
D.0
2．当x＝3时，代数式px3＋qx＋1的值为2002，则当x＝－3时，代数式px3＋qx＋1的值为（
）．
A.2000
B.－2002
C.－2000
D.2001
3．关于代数式的值，下列说法错误的是
（
）．
A.当a＝时，其值为0
B.当a＝－3时，其值不存在
C.当a≠－3时，其值存在
D.当a＝5时，其值为5
4.某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下已知该楼梯长S米，同学上楼速度是a米/分，下楼速度是b米/分，则他的平均速度是（
）米/分．
A、
B、
C、
D、
5．（2015?通辽）下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣x2的系数是
B．
πa2的系数是
C．3ab2的系数是3a
D．
xy2的系数是
6．一组按规律排列的多项式：，，，，…，其中第10个式子是(
)．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
7.一项工程，甲单独做a小时完成，乙单独做b
小时完成，则甲、乙合做此项工程所需的时间为
小时．
8．代数式，，，，0，中是单项式的是________，是多项式的是________．
9.（2015?扬州）若a2﹣3b=5，则6b﹣2a2+2015=
．
10．是关于x、y的五次单项式，且系数为3，则a+b的值为________．
11．（2016春?龙泉驿区期中）多项式3x2+πxy2+9中，次数最高的项的系数是
．
12.
如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为2，4，6，…，2n，…，请你探究出前n行的点数和所满足的规律．若前n行点数和为930，则n＝________．
三、解答题
13.
某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元该商场为促销制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九折付款八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本
x（x≥10）本.
(1).用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额.
(2).若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本30
本,试问小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱？
14.（2014秋?吉林校级期末）要是关于x、y的多项式my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y不含三次项，求2m+3n的值．
15.（2016春?滨海县校级月考）做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）
长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
3a
2b
2c
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
【答案与解析】
一、选择题
1.
【答案】C；
2.
【答案】C；
3.
【答案】D；
4.
【答案】D；
【解析】平均速度等于总路程除以总时间，即上下楼梯的总路程2s，总时间是上楼时间：，下楼时间：，所以答案选Ｄ．
5.【答案】D．
【解析】A、﹣x2的系数是﹣，故本选项错误；
B、πa2的系数是π，故本选项错误；
C、3ab2的系数是3，故本选项错误；
D、xy2的系数，故本选项正确．
6．【答案】B
【解析】观察每个式子知，每个多项式都是二项式，且a、b的指数与式子的个数n之间的关系是a的指数为n，b的指数为2n-1，而且含a项的系数都是1，含b项的系数为，即第n个式子为，所以第10个式子是．
二、填空题
7.
【答案】；
【解析】甲的工作效率为，乙的工作效率为，合作的工作效率为，合作的工作时间为．
8.
【答案】，，，0
；
，；
【解析】单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和．
9.【答案】2005．
【解析】6b﹣2a2+2015=﹣2（a2﹣3b）+2015=﹣2×5+2015=﹣10+2015=2005．
10.【答案】1；
【解析】由-a＝3，2+b-1＝5，得a＝-3，b＝4，则a+b＝-3+4＝1．
11.【答案】π；
【解析】解：多项式3x2+πxy2+9中，最高次项是πxy2，其系数是π．
故答案为：π．
12.
【答案】30．
【解析】2+4+6+…+2n＝930，即2(1+2+3+…n)＝930，2×即n(n+1)＝930，故n＝30．
三、解答题
13.
【解析】
解:设买练习本x,则得两种购买方法的代数式为:
(1)
代数式分别为:
25×10+5(x-10),
(25×10+5x)×90%
．
(2)
把x＝30分别代入两个代数式:
25×10+5(x-10)＝25×10+5(30-10)＝350，
(25×10+5x)×90%＝(25×10+5×30)×90%＝360
．
所以选择第一种优惠方式.
14.【解析】
解：my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y=（m+2）y3+（3n﹣1）x2y+y，
∵关于x、y的多项式my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y不含三次项，
∴m+2=0，3n﹣1=0，
∴m=﹣2，n=，
∴2m+3n
=2×（﹣2）+3×
=﹣3．
15.【解析】
解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，
答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米．
（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc，
答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米．
PAGE用字母表示数及整式（提高）知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；
2.
能按要求列出代数式，会求代数式的值；
3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；
4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系.
【要点梳理】
要点一、字母表示数
用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba
要点二、代数式
1.代数式的定义：诸如：16n
，2a+3b
，34
，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.
要点诠释：
带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式.
2.列代数式：
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“·
”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.
3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
要点三、整式
1.单项式
（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．
（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
要点诠释：
①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．
②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．
③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．
④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．
（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．
2．多项式
(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．
要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．
(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．
要点诠释：
①多项式的每一项包括它前面的符号．
②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．
(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．
要点诠释：
①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．
②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．
（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为
-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．
要点诠释：
①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
3.整式：单项式与多项式统称为整式．
要点诠释：
（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．
（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．
【典型例题】
类型一、字母表示数
1．填空：
(1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．
（2）有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了 块砖（用含a．b的代数式表示）．
【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.
【答案】(1)；(2)（40a+30b）
【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．
【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：
(1)利润＝售价－进价;
(2)利润率＝．
举一反三：
【变式】（2015?自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（ ）
A．a﹣10%
B．
a?10%
C．
a（1﹣10%）
D．
a（1+10%）
【答案】C．
类型二、代数式
2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费．
（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？
（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？
【思路点拨】当a﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元，
另一部分为0.57×（a-140）元.
【答案与解析】
解：（1）当a≤140时，电费为0.43a元；
当a＞140时，电费为：元.
（2）因为用电量为150度，大于140度，
因此把a＝150代入代数式，得
（元）.
因此，该缴电费65.9元.
【总结升华】根据a的不同取值，分别对应不同的代数式．
举一反三：
【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b块，共铺了n层，共铺石块
块？当a＝20，b＝40，n＝17时，堤坝的这个截面铺石块
块？
【答案】（a＋b）n，510块.
【变式2】代数式（a＋b）n的意义.
【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为，则表示“这两个数平均数的n倍.
类型三、整式
3．（2015?杭州模拟）整式﹣0.3x2y，0，，，，﹣2a2b3c中是单项式的个数有（ ）
A．2个
B．
3个
C．
4个
D．
5个
【答案】C．
【解析】
解：整式﹣0.3x2y，0，，，，﹣2a2b3c中，
单项式有：﹣0.3x2y，0，，﹣2a2b3c，共4个．
【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念
例1】
【变式】下列代数式：，其中单项式是_______________，多项式是_______________.
【答案】①②③，④⑥
4．已知多项式．
(1)求多项式各项的系数和次数．
(2)如果多项式是七次五项式，求m的值．
【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．
(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．
【总结升华】对于单项式的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．
举一反三：
【高清课堂：整式的概念
------练习题---3】
【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．
【答案】
5．（2016?延庆县一模）已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．
【思路点拨】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可．
【答案与解析】
解：10x﹣2x2+5
=﹣2（x2﹣5x）+5，
∵x2﹣5x=6，
∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．
【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1.（2015?广西）下列各组中，不是同类项的是（ ）
A.
52与25
B.
﹣ab与ba
C.
0.2a2b与﹣a2b
D.
a2b3与﹣a3b2
2．代数式的值(
)．
A．与x，y都无关
B．只与x有关
C．只与y有关
D．与x、y都有关
3．
三角形的一边长等于m+n，另一边比第一边长m-3，第三边长等于2n-m，这个三角形的周长等于(
)．
A．m+3n-3
B．2m+4n-3
C．n-n-3
D．2，n+4n+3
4.
若为自然数，多项式的次数应为
（
）．
A．
B．
C．中较大数
D．
5.（2016?高港区一模）下列运算中，正确的是（ ）
A．3a+2b=5ab
B．2a3+3a2=5a5
C．5a2﹣4a2=1
D．5a2b﹣5ba2=0
6.
如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当折成正方体后，“?”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“?”所代表的单项式可能是(
)．
A．6
B．d
C．c
D．e
7．若A是一个七次多项式，B也是一个七次多项式，则A+B一定是(
)．
A．十四次多项式
B．七次多项式
C．不高于七次的多项式或单项式
D．六次多项式
二、填空题
1.
（1）；（2）；（3）
2.
找出多项式中的同类项
、
、
。
3.
（2016春?永春县校级月考）若与﹣3ab3﹣n的和为单项式，则m+n=
．
4．当k＝
时，代数式中不含xy项．
5．按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是 ．
6．把正整数依次排成以下数阵：
1，
2，
4
，
7，…
…
3，
5，
8，…
…
6，
9，
…
…
10，
…
…
如果规定横为行，纵为列，如8是排在2行3列，则第10行第5列排的数是____________
三、解答题
1.
（2014秋?嘉禾县校级期末）若单项式a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，求3m+n的值．
2．先化简，再求值．
(1)，其中x＝-2，；
(2)．其中a＝1，b＝-2．
3．试说明多项式的值与字母x的取值无关．
4．要使关于的多项式不含三次项，求的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D
2．【答案】B
【解析】合并同类项后的结果为，故它的值只与有关．
3．【答案】B
【解析】
另一边长为，周长为．
4．【答案】C
【解析】是常数项，次数为0，不是该多项式的最高次项．
5．【答案】D
【解析】解：A、3a+2b无法计算，故此选项错误；
B、2a3+3a2无法计算，故此选项错误；
C、5a2﹣4a2=a2，故此选项错误；
D、5a2b﹣5ba2=0，正确．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】题中“?”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“?”所代表的单项式可能是e，故选D．
7．【答案】C
二、填空题
1.
【答案】
2.
【答案】
3.
【答案】4.
【解析】解：∵与﹣3ab3﹣n的和为单项式，
∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n，
解得：m=3，n=1．
故m+n=4．
故答案为：4．
4.
【答案】
【解析】合并同类项得：．由题意得．故．
5.
【答案】12
【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入x的值输入计算即可．
由表列代数式：（x3﹣x）÷2
∵x=3，∴原式=（27﹣3）÷2=24÷2=12．
6.
【答案】101
【解析】第10行的第一个数是：1+2+3+…+10=55，第10行的第5个数是：55+10+11+12+13=101．
三、解答题
1.【解析】解：由a3bn+1和2a2m﹣1b3是同类项，得，
解得．
当m=2，n=2时，3m+n=3×2+2=6+2=8．
2.【解析】（1）原式．当，时，原式＝1；
（2）原式，当，时，原式＝5．
3.【答案】5
【解析】根据题意得：m﹣1=2，n=2，则m=3，n=2．故m+n=3+2=5．
4.【解析】原式=
要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为0，所以有：
，即有：
所以．
PAGE整式的加减（一）——合并同类项（提高）
责编：张强
【学习目标】
1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并；
2.
掌握同类项的有关应用；
3.
体会整体思想即换元的思想的应用．
【要点梳理】
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项
同类项】
要点一、同类项
定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
要点诠释：
(1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．
(2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关．
(3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项．
要点二、合并同类项
1.
概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变．
要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意：
(1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
(2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)．
【典型例题】
类型一、同类项的概念
1．
判别下列各题中的两个项是不是同类项：
(1)-4a2b3与5b3a2；(2)与；(3)-8和0；(4)-6a2b3c与8ca2．
【答案与解析】
(1)-4a2b3与5b3a2是同类项；(2)不是同类项；(3)-8和0都是常数，是同类项；(4)-6a2c与8ca2是同类项．
【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序无关．此外注意常数项都是同类项.
2．（2016?邯山区一模）如果单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项．求
（1）（7a﹣22）2013的值；
（2）若5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，求（5m﹣5n）2014的值．
【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a的方程，解方程，可得答案；
（2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得m、n的关系，根据0的任何整数次幂都得零，可得答案．
【答案与解析】解：（1）由单项式5mxay与﹣5nx2a﹣3y是关于x、y的单项式，且它们是同类项，得a=2a﹣3，解得a=3；
∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1；
（2）由5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且xy≠0，得
5m﹣5n=0，
解得m=n；
∴（5m﹣5n）2014=02014=0．
【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何正数次幂都得零．
举一反三：
【变式】（2015?石城县模拟）如果单项式﹣xa+1y3与x2yb是同类项，那么a、b的值分别为（ ）
A.
a=2，b=3
B.
a=1，b=2
C.
a=1，b=3
D.
a=2，b=2
【答案】C
解：根据题意得：a+1=2，b=3，
则a=1．
类型二、合并同类项
【高清课堂：整式加减（一）合并同类项
例2】
3．合并同类项：
；；
;
（注：将“”或“”看作整体）
【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）．
【答案与解析】
（1）
（2）
（3）原式=
（4）
【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄.
举一反三：
【变式1】
化简：（1）
（2）
(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
【答案】原式
（2）
(a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b)
=(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b)
=(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b)
=-(a-2b)2+3(a-2b).
4.（2015?大丰市一模）若﹣2amb4与5a2bn+7的和是单项式，则m+n=
．
【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4与5a2bn+7是同类项．
【答案】-1
【解析】解：由﹣2amb4与5a2bn+7是同类项，得
，
解得．
m+n=﹣1，
故答案为：﹣1．
【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件．
举一反三：
【变式】若与可以合并，则 ，
.
【答案】
类型三、化简求值
5.
化简求值：
（1）当时，求多项式的值．
（2）若，
求多项式的值．
【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值：
原式=
=
将代入，得：
（2）把当作一个整体，先化简再求值：
原式=
由可得：
两式相加可得：，所以有
代入可得：原式=
【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的值．
举一反三：
【高清课堂：整式的运算（一）—合并同类项
例4】
【变式】.
【答案】
类型四、综合应用
6.
若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3与多项式2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7恒等，求ab-cd.
【答案与解析】
法一：由已知
ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7)
∴
解得：
∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27.
法二：说明：此题的另一个解法为：由已知
(a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0.
因为无论x取何值时，此多项式的值恒为零.所以它的各项系数皆为零，即从而得
解得：
【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为0，则说明各项系数均为0；若某式不含某项，则说明该项的系数为0．
举一反三：
【变式1】若关于x的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1的值与x的值无关，求(x-m)2+n的最小值.
【答案】
-2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1
∵
此多项式的值与x的值无关，
∴
解得:
当n=2且m=-5时，
(x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2.
∵(x-m)2≥0，
∴当且仅当x=m=-5时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n有最小值为2.
【变式2】若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m+n的值．
【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项：
因为的次数是，的次数为，的次数为，的次数为，
又因为是三项式
,所以前四项必有两项为同类项，显然是同类项，且合并后为0，
所以有
，．
PAGE【巩固练习】
一、选择题
1．如图所示的数轴中，画得正确的是(
)
2．下列说法正确的是(
)
A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数
B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数
C．有的有理数不能在数轴上表示出来
D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
3.（2014?衡阳一模）如图所示，在数轴上点A表示的数可能是（ ）
A．1.5
B.-1.5
C.-2.6
D.2.6
4.（2015?东城区二模）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是（ ）
A.
点B与点D
B.
点A与点C
C.
点A与点D
D.
点B与点C
5．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是(
)
A．2002或2003
B．2003或2004
C．2004或2005
D．2005或2006
6．北京、纽约等5个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如图
若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（
）
A．首尔与纽约的时差为13小时
B．首尔与多伦多的时差为13小时
C．北京与纽约的时差为14小时
D．北京与多伦多的时差为14小时
二、填空题
7．（2016春?新泰市校级月考）不大于4的正整数的个数为
．
8．数轴上到-3的距离等于2的数是
________．
9．数轴上点A、B的位置如图所示，若点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为
．
10.（2014秋?埇桥区校级期中）长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点．
11．如图，点A，B在数轴上对应的实数分别为m，n，则A，B间的距离是
．（用含m，n的式子表示）
12．已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b为__________．
三、解答题
13．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来．
+2，0，，-2，-1.5，
14．（2015秋?碑林区期中）某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家，再向西走150米到青青家，再向西走200米到刚刚家．
（1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置（一格表示50米）．
（2）聪聪家与刚刚家相距多远？
（3）聪聪家向西210米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？
15．在数轴上有三个点A、B、C（如图）．请回答：
（1）写出数轴上距点B三个单位的点所表示的数；
（2）将点C向左移动6个单位到达点D，用“＜”号把A、B、D三点所表示的数连接起来；
（3）怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点所表示的数相同（写出一种移动方法即可）．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】B
【解析】A错，没有正方向；B正确，满足数轴的三要素；C错，负数排列错误；D错，单位长度不统一．
2．【答案】D
【解析】A、B、C都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理
一个有理数在数轴上只有一个表示它的点．数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数．
3.【答案】C
【解析】：∵点A位于﹣3和﹣2之间，∴点A表示的实数大于﹣3，小于﹣2．
4.【答案】C.
5．【答案】C
【解析】若线段AB的端点与整数重合，则线段AB盖住2005个整点；若线段AB的端点不与整点重合，则线段AB盖住2004个整点．可以先从最基础的问题入手．如AB＝2为基础进行分析，找规律，所以答案：C．
6．【答案】B
【解析】本题以“北京等5个城市的国际标准时间”为材料，编拟了一道与数轴有关的实际问题．从选项上分析可得：两个城市之间相距几个单位长度，两个点之间的距离即为时差．所以首尔与纽约的时差为14小时，首尔与多伦多的时差为13小时，北京与纽约的时差为13小时，北京与多伦多的时差为12小时，因此答案：B．
二、填空题
7．【答案】4个.
【解析】解：如图所示：
由数轴上4的位置可知：不大于4的正整数有1、2、3、4共4个．
故答案为：4个．
8．【答案】-5或-1
【解析】若该数在-3的左边，这个数为-3-2=-5；若该数在-3右边，则该数为-3+2=-1；所以答案为：-5或-1．
9．【答案】－5
【解析】首先确定C点应在原点的左边即为负数，又点A与点B之间的距离为4，再由对成性得：点C表示的数为-5．
10．【答案】3
【解析】如图所示：长为2个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖3个整数点．
11．【答案】n-m
【解析】∵n＞0，m＜0．∴它们之间的距离为：n-m
12．【答案】－
b
＜-1＜0＜-a＜1
三、解答题
13．【解析】解：在数轴上表示出来如图所示．
根据这些点在数轴上的排列顺序，从右至左分别用“＞”连接为：
+2＞＞0＞-1．5＞-2＞
14.【解析】
解：（1）如图所示：
；
（2）150+200=350（米）；
（3）体育场所在点所表示的数是100﹣210=﹣110．
15．【解析】
解：（1）因为点B所表示的数是-2，则距点B三个单位的点所表示的数有-2-3=-5，-2+3=1；
（2）点C向左移动6个单位到达点D，则点D表示的数为-3，所以-4＜-3＜-2．
（3）把A点向右移动2个单位，C点向左移动5个单位．（答案不唯一）
PAGE数轴——知识讲解
责编：张强
【学习目标】
1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴；
2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法；
3．能利用数轴比较有理数的大小．
【要点梳理】
要点一、数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
要点诠释：
（1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规定”的．通常，习惯取向右为正方向．
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
要点二、数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
要点诠释：
（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取．
（2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点．
要点三、数轴与有理数的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如．
要点诠释：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．
（2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
【典型例题】
类型一、数轴的概念及画法
1．（2015秋?沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答．
【答案】D
【解析】解：由数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，可知D正确；
故选：D．
【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．
2．（2015?徐州校级模拟）一只蚂蚁沿数轴从点A向右直爬15个单位到达点B，点B表示的数为﹣2，则点A所表示的数为（ ）
A.
15
B.
13
C.
-13
D.-17
【答案】D
【解析】设点A所表示的数为x，x+15=﹣2，解得：x=﹣17，故选：D．
【总结升华】本题考查的是数轴的知识，掌握数轴的概念和性质是解题的关键，点在数轴上的运动规律是向左减，向右加．
举一反三：
【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为________．
【答案】3，-5，8
类型二、利用数轴比较大小
3．在数轴上表示2.5，0，，-1，-2.5，，3有理数，并用“＜”把它连接起来．
【思路点拨】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小．
【答案与解析】
如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5，0，，-1，-2.5，，3．
由上图可得：
【总结升华】注意数轴上整单位的点一般用细短线表示，而表示题目中的数的点，应画成实心的小圆点．
举一反三：
【变式1】（2014秋?埇桥区校级期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）
A．b﹣a＞0
B．﹣b＜0
C．﹣a＞﹣b
D．﹣ab＜0
【答案】D
【变式2】填空：
大于且小于的整数有______个；
比小的非负整数是____________．
【答案】11；0，1，2，3
4．若p，q两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空．
①p______q；
②－p______0；
③－p______－q；
④－p______q；
【答案】＞；＜；＜；＞
【解析】根据相反数的几何意义，将p，q，-p，-q均表示在数轴上，如下图：
然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于0的正数，而原点左边的点表示小于0的负数，可得上述答案．
【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数．
PAGE
