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北师大版数学九年级上册2.2二次函数的图象与性质导学案
课题
2.2
二次函数的图象与性质
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验；
重点
难点
根据图象认识和理解二次函数和的性质和异同；
学习难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
二次函数的一般形式是什么？
合
作
探
究
探究一：
在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？
你想直观地了解它的性质吗?
画出二次函数y=x2图象
(1)观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应的y值，完成下表：
xy
(2)在直角坐标系中描点.
用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.
探究二：
议一议
对于二次函数y=x2的图象，
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2）图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么？
（3）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
（4）当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
（5）图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
如图2-2，二次函数y=x2的图象是一条抛物线(
parabola
)，它的开口向上，且关于y轴对称．对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最低点.
探究三：
二次函数
y=x2
的图象是一条抛物线，它的特点是：
二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.
当
堂
检
测
1、抛物线y=x2，y=x2，y=-x2的共同性质是：
①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．
1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、抛物线y=-x2不具有的性质是（ ）
A．
开口向上
B．
对称轴是y轴
C．
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．
最高点是原点
3、在同一坐标系中，作y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象，它们共同特点是（ ）
A．
都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B．
都是关于原点对称，顶点都是原点
C．
都是关于y轴对称，抛物线开口向下
D．
都是关于y轴对称，顶点都是原点
4、已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上．
5、二次函数y=ax2经过点（-，1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）从图象可看出对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？对称轴右侧又是怎样变化？
（4）图象有最高点还是最低点？函数值有最大值还是最小值？是多少？
课
堂
小
结
参考答案
自主学习：
二次函数的一般形式
y=
ax2+
bx＋c
(
a,
b，c是常数，a≠0)
合作探究：
探究一：
探究二：
议一议
（1）二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
（2）
有，（0，0）
（3）当
x<0
时，y随着x的增大而减小．
当
x>0
时，y随着x的增大而增大．
（4）当x=0时,函数y的值最小，最小值是0．
（5）是，对称轴是
y
轴．
对称点有很多，
如：（1，1）和（-1，1）；（2，4）和（-2，4）等
探究三：
1.开口向上；
2.对称轴是y轴；
3.顶点是原点，它是图象的最低点．
当堂检测：
1、B解：抛物线y=
x2，y=x2的开口向上，y=-x2的开口向下，
①错误；抛物线y=
x2，y=x2，y=-x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，
②③正确；④错误．
2、A解：因为a＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），
对称轴是y轴，有最高点是原点．
3、D解：在二次函数y=ax2中，其图象关于y轴对称，顶点为原点，
∵y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2都是y=ax2类型的二次函数，
∴y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象关于y轴对称，且顶点都是原点．
4、解：（1）把（-2，-8）代入二次函数解析式得-8=4a，即a=-2，则二次函数解析式为y=-2x2．
（2）不在，理由为：把x=-1代入解析式得
y=-2，-2≠-4，则点（-1，-4）不在此抛物线上．
5、解：（1）因为二次函数y=ax2经过点
（-，1），代入可得1=3a，解得a=，
所以二次函数解析式为y=
x2；
如图：
（3）由图象可知二次函数开口向上，
在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
在对称轴右侧y随x的增大而增大；
（4）图象有最低点，函数有最小值，最小值为0．
课堂小结：
21世纪教育网
www。21cnjy。com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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2.2
二次函数的图象与性质（1）
数学北师大版
九年级下
复习导入
二次函数的一般式是什么？
y=
ax2+
bx
＋c
(
a,
b，c是常数，a≠0)
在二次函数y=x2中，y随x的变化而变化的规律是什么？
你想直观地了解它的性质吗?
画出二次函数y=x2的图象.
新知讲解
新知讲解
(1)观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：
x
...
y
...
3
2
1
0
-1
-2
-3
9
4
1
0
1
4
9
新知讲解
(2)在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
y=x2
新知讲解
议一议
对于二次函数y=x2的图象，
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
（2）图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么？
（3）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
新知讲解
（4）当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
（5）图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴
是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
新知讲解
议一议
对于二次函数y=x2的图象，
（1）你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.
二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
1
y=x2
新知讲解
议一议
（2）图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么？
有，（0，0）
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
1
y=x2
新知讲解
议一议
（3）当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢?
当
x<0
时，y随着x的增大而减小．
当
x>0
时，y随着x的增大而增大．
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
1
y=x2
新知讲解
议一议
（4）当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
当x=0时,函数y的值最小，最小值是0．
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
1
y=x2
新知讲解
议一议
（5）图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流.
是，对称轴是
y
轴．
对称点有很多，
如：（1，1）和（-1，1）；
（2，4）和（-2，4）等
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
1
y=x2
新知讲解
如图2-2，二次函数y=x2的图象是一条抛物线
(
parabola
)，它的开口向上，且关于y轴对称．
对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，
它是图象的最低点.
图2-2
新知讲解
二次函数
y=x2
的图象是一条抛物线，它的特点是：
1.开口向上；
2.对称轴是y轴；
3.顶点是原点，它是图象的最低点．
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
1
y=x2
新知讲解
二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想，然后画出它的图象．它与二次函数y=x2的图象有什么关系?与同伴进行交流.
做一做
y=x2
y=-x2
y
x
o
新知讲解
新知讲解
变式1
二次函数y=x2的图象的开口方向是（ ）
A．
向上
B．
向下
C．
向左
D．
向右
A
解：∵二次函数y=x2的二次项系数a=1＞0，
∴抛物线开口向上．
新知讲解
变式2
函数y=ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（ ）
A．
±2
B．
-2
C．
2
D．
3
C
解：把点（a，8）代入y=ax2，得a3=8，∴a=2．
课堂练习
1、抛物线y=x2，y=x2，y=-x2的共同性质是：
①都是开口向上；
②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；
④都关于x轴对称．
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
课堂练习
解：抛物线y=
x2，y=x2的开口向上，y=-x2的开口向下，①错误；
抛物线y=
x2，y=x2，y=-x2的顶点为（0，0），对称轴为y轴，②③正确；
④错误．
课堂练习
2、抛物线y=-x2不具有的性质是（ ）
A．
开口向上
B．
对称轴是y轴
C．
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．
最高点是原点
A
解：因为a＜0，所以开口向下，顶点坐标（0，0），
对称轴是y轴，有最高点是原点．
课堂练习
3、在同一坐标系中，作y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象，它们共同特点是（ ）
A．
都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B．
都是关于原点对称，顶点都是原点
C．
都是关于y轴对称，抛物线开口向下
D．
都是关于y轴对称，顶点都是原点
D
课堂练习
解：在二次函数y=ax2中，其图象关于y轴对称，顶点为原点，
∵y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2都是y=ax2类型的二次函数，
∴y=2x2、y=-2x2、y=0.5x2的图象关于y轴对称，且顶点都是原点．
课堂练习
4、已知二次函数y=ax2经过点A（-2，-8）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上．
解：（1）把（-2，-8）代入二次函数解析式得-8=4a，即a=-2，则二次函数解析式为y=-2x2．
（2）不在，理由为：把x=-1代入解析式得
y=-2，-2≠-4，则点（-1，-4）不在此抛物线上．
拓展提高
5、二次函数y=ax2经过点（-
，1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）从图象可看出对称轴左侧部分，y随x的增大而怎样变化？对称轴右侧又是怎样变化？
（4）图象有最高点还是最低点？函数值有最大值还是最小值？是多少？
拓展提高
解：（1）因为二次函数y=ax2经过点
（-
，1），代入可得1=3a，解得a=
，
所以二次函数解析式为y=
x2；
（2）如图：
拓展提高
解：
（3）由图象可知二次函数开口向上，
在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
在对称轴右侧y随x的增大而增大；
（4）图象有最低点，函数有最小值，最小值为0．
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y=
-x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(
除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
课堂总结
板书设计
课题：2.2
二次函数的图象与性质
?
教师板演区
?
学生展示区
一、
二次函数的图象与性质
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P34练习第1题
练习册基础
能力作业：
课本P34练习第2题
