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北师大版数学九年级上册2.2二次函数的图象与性质（2）导学案
课题
2.2二次函数的图象与性质（2）
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.会用描点法画二次函数y=ax2+c的图象.
2.理解抛物线y=ax2与y=ax2+c之间的位置关系.
3.体验抛物线的平移过程，养成良好的思维方法.
重点
难点
抛物线y=ax2+c的图象和性质.
理解抛物线y=ax2与y=ax2+c之间的位置关系.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
y=2x2的开口方向、对称轴、顶点坐标？
合
作
探
究
探究一：
下面接着讨论形如
y
=ax2
，y
=ax2+c的二次函数的图象和性质．
画二次函数
y=2x2的图象．
（1）完成下表：
x…
-2
-1.5-1-0.500511.52…
y……
在图
2-4
中画出
y
=2x2
的图象．
图2-4
（3）二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
探究二：
在图2-4中画出y=
x2的图象，观察它与y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同?
探究三：
画二次函数
y
=
2x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
二次函数y=2x2-1的图象呢？
当
堂
检
测
1、
当m=______时，抛物线开口向下，
对称轴是______，在对称轴左侧，y随x的增大而______；在对称轴右侧，y随x的增大而______．
2、若y=ax2+b的图象的形状与二次函数y=2x2的图象的形状完全相同，且经过点A（-4，-10），求这个二次函数的解析式为______________________________．
3、抛物线y=－6x2可以看作是由抛物线y=－6x2+5按下列何种变换得到（
）
A．向上平移5个单位
B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位
D．向右平移5个单位
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
(
)
5、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为
，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（精确到1米）
课
堂
小
结
参考答案
自主学习：
y=2x2的开口方向是向上、对称轴为y轴、顶点坐标为（0,0）
合作探究：
探究一：
(1)
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
-8
4.5
2
05
0
0.5
2
4.5
8
…
(2)
(3)
二次函数y=2x2的图象形状与y=x2一样，仍是抛物线.只是开口大小不同
二次项系数a>0，开口都向上;对称轴都是y轴;增减性也相同.
顶点都是（0,0）
探究二：
相同点：(1)开口都向上;
(2)顶点是原点而且是抛物线的最低点;
(3)对称轴是y轴.
不同点：a
越大，抛物线的开口越小．
探究三：
1、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
2、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝
2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
二次函数y=2x2+1的图象形状与y=2x2一样，仍是抛物线.
二次项系数a>0,开口都向上;对称轴都是y轴;增减性也相同.
函数y=2x2+1顶点(0,1),
函数y=2x2顶点(0,0)
二次函数
y=2x2，y=2x2+1，y
=2x2-1
的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．
将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数
y
=2x2+1
的图象；
将二次函数
y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2-1的图象．
当堂检测：
-2；y轴；增大；减小
解析：m2＋m=2
,且m+1≠0得m=-2。
2、y=2x2－42，y=－2x2+20
解析：形状完全相同，|a|=2
，a=-2或2。
当a=-2，y=-2x2代入A点坐标，得b=20。
当a=2,y=2x2
代入A点坐标，得b=-20。
3.B
解析：上加下减，由由抛物线y=－6x2+5
向下平移5个单位，得y=－6x2
。
B
解：一次函数和二次函数经过（0，c），
由题意c＞0，当a＜0，二次函数开口向下，
一次函数经过一二四象限。
5、由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y=8，把y=8代入
得：x=
，
∴由两点间距离公式可求出EF=
≈18（米）．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
.
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2.3
二次函数的图象与性质（2）
数学北师大版
九年级上
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=x2
y=
-x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方(
除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,
y随着x的增大而减小.
复习导入
新知讲解
下面接着讨论形如
y
=ax2
，y
=ax2+c
的二次函数的图象和性质．画二次函数
y=2x2的图象．
（1）完成下表：
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y
…
…
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
新知讲解
（2）在图
2-4
中画出
y
=2x2
的图象．
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
图2-4
新知讲解
（3）二次函数y=2x2的图象是什么形状？它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
新知讲解
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
二次函数y=2x2的图象形状与y=x2一样，
仍是抛物线.
二次项系数a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性也相同.
顶点都是
原点(0,0).
只是开口
大小不同.
新知讲解
在图2-4中画出y=
x2的图象，观察它与
y=x2，y=2x2的图象有什么相同和不同?
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
想一想
图2-4
新知讲解
相同点：
(1)开口都向上;
(2)顶点是原点而且是抛物线的最低点;
(3)对称轴是y轴.
不同点：
a
越大，抛物线的开口越小．
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
新知讲解
做一做
画二次函数
y
=
2x2+1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
...
2x2+1
…
9
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
9
新知讲解
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
y=2x2+1
y=2x2
1、函数y＝2x2＋1的图象可以看成是将函数y＝2x2的图象向上平移一个单位得到的。
2、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y＝2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y＝2x2＋1的图象的顶点坐标是(0，1)。
新知讲解
议一议
二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？
它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？
新知讲解
二次函数y=2x2+1的图象形状与y=2x2一样，仍是抛物线.
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
10
11
二次项系数a>0,
开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性也相同.
函数y=2x2顶点(0,0).
函数y=2x2+1顶点(0,1).
y=2x2+1
y=2x2
新知讲解
二次函数y=2x2-1的图象呢？
二次函数
y=2x2，y=2x2+1，y
=2x2-1
的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同．
将二次函数y=2x2的图象向上平移1个单位，就得到函数
y
=2x2+1
的图象；
将二次函数
y=2x2的图象向下平移1个单位，就得到函数y=2x2-1的图象．
新知讲解
小结：二次函数上下平移的口决：上加下减
y
=
x2
y
=
x2
＋1
y
=
x2
－1
向上平移1个单位
向下平移1个单位
课堂练习
1、当m=______时，抛物线开口向下，
对称轴是______，在对称轴左侧，y随x的增大而______；
在对称轴右侧，y随x的增大而______．
－2
y轴
增大
减小
解析：m2＋m=2
,且m+1≠0得m=-2。
课堂练习
2、若y=ax2+b的图象的形状与二次函数y=2x2的图象的形状完全相同，且经过点A（－4，－10），求这个二次函数的解析式为______________________________．
y=2x2－42，y=－2x2+20
解析：形状完全相同，|a|=2
，a=-2或2。
当a=-2，y=-2x2代入A点坐标，得b=20。
当a=2,y=2x2
代入A点坐标，得b=-20。
3、抛物线y=－6x2可以看作是由抛物线y=－6x2+5按下列何种变换得到（
）
A．向上平移5个单位
B．向下平移5个单位
C．向左平移5个单位
D．向右平移5个单位
课堂练习
B
课堂练习
解析：上加下减，由由抛物线y=－6x2+5
向下平移5个单位，得y=－6x2
。
课堂练习
4、在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
(
)
B
课堂练习
解：一次函数和二次函数经过（0，c），
由题意c＞0，当a＜0，二次函数开口向下，
一次函数经过一二四象限。
拓展提高
5、廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为
，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（精确到1米）
拓展提高
解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，
可知y=8，
把y=8代入
得：
x=
，
∴由两点间距离公式可求出EF=
≈18（米）．
课堂总结
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
y=ax2
y=ax2+c
向上
向上
向下
向下
y轴
y轴
（0，0）
（0，c）
课堂总结
y=ax2
c>0
c<0
下移
上移
y=ax2+c
顶点y轴上:
(0,c)
板书设计
课题：2.3
二次函数的图象与性质（2）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、y=ax2+c的图象与性质
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P36练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P36练习第3、4题
