上海市奉贤区奉贤区2019-2020学年八年级上学期期末数学试题（Word版 含解析）

2019-2020学年八年级上学期期末数学试题
一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3．正比例函数的图像在第二、四象限内，则点（）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（　　）
①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．全等三角形周长相等 B．全等三角形面积相等
C．全等三角形对应角都相等 D．全等三角形对应边都相等
6．已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）
①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．计算：________．
8．使有意义的x的取值范围是______．
9．已知函数，那么_______．
10．一元二次方程的解是________．
11．在实数范围内分解因式：3x2-6x+1=______．
12．若三个点（-2，），（-1，），（2，）都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是________．
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________．
14．在美丽乡村建设中，某村2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米．如果每年新增绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．
15．已知直角坐标平面内的Rt△ABC三个顶点的坐标分别为A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），则直角顶点是_________．
16．如图，在边长为的等边三角形ABC中，过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为_________．

17．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是______ ．
18．如图，斜边长12cm，∠A=30°的直角三角尺ABC绕点C顺时针方向旋转90°至的位置，再沿CB向左平移使点B'落在原三角尺ABC的斜边AB上，则三角尺向左平移的距离为_____．（结果保留根号）
三、解答题
19．计算：；
20．解方程：
21．如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门．已知围建仓库的现有材料可使新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？
22．如图，这是一个水池存水量（万吨）与注水或排水时间（小时）之间的函数关系图象．
（1）水池原有水_________；
（2）向水池内注水________小时；每小时注水_______万吨；
（3）________小时把水排空；每小时排水________万吨．
23．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：AB垂直平分DF．
24．如图，在长方形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E．
（1）求点E的坐标及过点E的反比例函数的解析式；
（2）求点D的坐标．
25．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．
（1）在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB（点A与点不重合）（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求四边形ABCD的面积．
26．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，点E、F分别在AB、AD上，AE=AF．连接CE、CF．
（1）求证：CE=CF；
（2）如果∠BAD=60°，CD=．
①当AF=时，设，求与的函数关系式；（不需要写定义域）
②当AF=2时，求△CEF的边CE上的高．
参考答案
1．B
【分析】
根据最简二次根式的条件解答即可.
【详解】
选项A， =，不是最简二次根式；
选项B， 是最简二次根式；
选项C， =，不是最简二次根式；
选项D， =，不是最简二次根式.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．C
【分析】
直接利用根的判别式△=b2?4ac判断即可．
【详解】
解：A、△ =8>0，方程有两个不相等的实数根；
B、△=4>0，，方程有两个不相等的实数根；
C、 △=?3<0，方程没有实数根；
D、 ，△=4>0，方程有两个不相等的实数根；
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
3．D
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系由正比例函数y＝mx的图象在第二、四象限内得到m＜0，则﹣m>0，m?1＜0，于是得到点（?m，m?1）在第四象限．
【详解】
解：∵正比例函数y＝mx的图象在第二、四象限内，
∴m＜0，
∴-m>0，m?1＜0，
∴点（-m，m?1）在第四象限．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx＋b（k≠0），当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴上方；b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方．
4．C
【分析】
根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．
【详解】
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∴∠DCB+B=90°，
∵∠A+∠B=90，
∴∠DCB=∠A，
∴①正确；
∵CE是RtABC斜边AB上的中线，
∴EA=EC=EB，
∴∠ACE=∠A，
∴∠DCB=∠A，
∴∠DCB=∠ACE，
∴②正确；
∵EC=EB，
∴∠B=∠BCE，
∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，
∴∠B= ∠ACD，
∴∠ACD= ∠BCE，
∴③正确；
∵BC与BE不一定相等，
∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，
∴④不正确；
∴正确的个数为3个，
故答案为C.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
5．D
【分析】
找到各选项的逆命题，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】
A．全等三角形的周长相等但周长相等的三角形不一定是全等三角形，故A错误．
B．全等三角形的面积相等但面积相等的三角形不一定是全等三角形，故B错误．
C．全等三角形的对应角都相等但对应角都相等的三角形不一定是全等三角形，故C错误．
D．“全等三角形的对应边相等”的逆命题为“对应边相等的三角形是全等三角形”，由判定定理可知逆命题是真命题．故D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查命题与定理和全等三角形的判定．了解“正确的命题为真命题，错误的命题为假命题”是选择本题的关键．
6．A
【分析】
分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．
【详解】
解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；
②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；
③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；
④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
7．7
【分析】
利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式．
【详解】
，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简、加法与除法运算，解题的关键是能利用二次根式的性质进行化简．
8．
【解析】
二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
9．
【分析】
把x＝3直接代入计算即可．
【详解】
解：把x＝3代入，可得： ，
故答案为：
【点睛】
此题考查求函数值，解题的关键是把x＝3代入进行计算．
10．，
【分析】
提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【详解】
提公因式得，x（3x+4）=0，
x=0，或3x+4=0，
解得x1=0，x2=-．
故答案为x1=0，x2=-．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．3（x-）（x-）
【分析】
先将代数式变形为一个平方形式与另一个数的差，再用平方差公式分解因式．
【详解】
解：3x2-6x+1
=3（x2-2x+）
=3[（x-1）2-]
=3
=3．
故答案是：3．
【点睛】
考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式．
12．y3＜y1＜y2
【分析】
由-6＜0，得到反比例函数的图象在二、四象限，在各象限y随x的增大而增大，根据三个点的横坐标-2<-1<0，1＞0，可得y1＞0，y2＞0，y3＜0，进而根据反比例函数的增减性即可得到纵坐标的大小关系．
【详解】
∵反比例函数中，k=-6＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在各象限y随x的增大而增大，
∵-2<-1<0，1＞0，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为：y3＜y1＜y2
【点睛】
此题考查反比例函数的图象的性质，对于反比例函数（k≠0），当k>0时，图象在一、三选项，在各象限y随着x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四选项，在各象限y随着x的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．
13．且
【分析】
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可求解．
【详解】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．
14．20%
【分析】
本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．
【详解】
解：设这个增长率为x，由题意得
20000(1+x)2=28800，
(1+x)2=1.44，
1+x=±1.2，
所以x1=0.2，x2=-2.2（舍去），
故x=0.2=20%．
故答案是：20%．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．
15．A
【分析】
先根据两点间的距离公式得到AB2、BC2、AC2的值，然后根据勾股定理的逆定理即可解答．
【详解】
解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），
∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，BC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，AC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，
∴BC2=AB2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A=90°，即该直角三角形的直角顶点为A．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查勾股定理的逆定理、两点间的距离公式，正确的运用相关的定理、公式成为解答本题的关键．
16．2
【分析】
根据△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，根据含30°直角三角形边的特殊关系和勾股定理即可解答.
【详解】
解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，
∴ ，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中，设，则 ,
根据勾股定理可得：，且，
解得：，
∵∠ABC的平分线是PB，
∴点P到边AB所在直线的距离与点P到边BC所在直线的距离相等.
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用勾股定理求值，解决本题的关键是等边三角形的性质．
17．4
【分析】
根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【详解】
解：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA=OC，AE=CE，
在△AOE和△COE中，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
∴△AOC≌△AOB；
故答案是：4.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定方法；这是一道考试常见题，易错点是漏掉△ABO≌△ACO，此类题可以先根据直观判断得出可能全等的所有三角形，然后从已知条件入手，分析推理，对结论一个个进行论证．
18．cm
【分析】
作B′D//BC与AB交于点D，故三角板向左平移的距离为B′D的长，利用直角三角形的性质求出BC=B′C=6cm，AC=cm，进而根据相似三角形对应线段成比例的性质即可求解．
【详解】
如图，作B′D//BC与AB交于点D，故三角板向左平移的距离为B′D的长．
∵AB=12cm，∠A=30°，
∴BC=B′C=6cm，AC=cm，
∵B′D//BC，
∴，即cm，
故三角板向左平移的距离为cm．
【点睛】
本题考查直角三角形的性质、相似三角形的性质，旋转和平移的性质，解题的关键是作辅助线构造相似三角形．
19．2
【分析】
先利用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质化简，然后利用二次根式的加减运算法则计算即可．
【详解】
解：
=
=
=2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，灵活运用分母有理化、二次根式乘法以及二次根式的性质成为解答本题的关键．
20．，．
【分析】
先将方程整理后，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】
解：
∴
∴
∴，
解得，，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，灵活选择适当的方法解一元二次方程是解答此题的关键．
21．仓库的长是15米，宽是6米．
【分析】
设仓库的宽是x米，长是（30-3x+1.5×2），根据面积为90平方米可列方程求解．
【详解】
解：设仓库的宽是x米，
（30-2x+1.5×2）x=90，
整理得，
解得，x=5或x=6，
当x=5米时，长为30-2×5+1.5×2=18米＞16米，
故x=5米不符合题意；
当x=6米时，长为30-2×6+1.5×2=15米＜16米，
答：仓库的长是15米，宽是6米．
【点睛】
本题考查理解题意的能力，关键是设出长，表示出宽，以面积做为等量关系列方程求解．
22．（1）100万吨；（2）3，50；（3）5，50．
【分析】
（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的质量；
（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水的吨数即可；
（3）根据函数图象直接可以得到经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水的吨数即可．
【详解】
解：（1）根据函数图象直接可以得到水池原有水的100万吨
故答案为100万吨；
（2）根据函数图象直接可以得到向水池内注水3小时，注水150万吨，然后求出每小时注水150÷3=50万吨
故答案为3，50；
（2）根据函数图象直接可以得经过5小时将水池排空，排水250万吨，然后求出每小时排水250÷5=50万吨
故答案为5，50．
【点睛】
本题考查了函数图象的应用，从函数图象上获取所需的信息成为解答本题的关键．
23．见解析
【分析】
（1）根据∠ACB=90°，证∠CAD=∠BCF，再利用BF∥AC，证∠ACB=∠CBF=90°，然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．
（2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD，再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线，从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．
【详解】
解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥AD，
∴∠CAD=∠BCF，
∵BF∥AC，
∴∠FBA=∠CAB=45°
∴∠ACB=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF；
（2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
在△ACD与△CBF中，
∵，
∴△ACD≌△CBF，
∴CD=BF．
∵CD=BD=BC，
∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
24．（1）点E（3，4），过点E的反比例函数的解析式；（2）点D坐标（，）
【分析】
（1）由矩形的性质可得两对边分别相等，利用翻折的性质可得OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD，等量代换和等角对等边的性质可得OE＝BE，设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，利用勾股定理可得x的值，继而求得点E坐标，继而设反比例函数解析式，代入即可求解；
（2）过点D作DF⊥BC，可得△COE∽△FDE，利用三角形等积法求得，利用勾股定理求出，继而即可求解．
【详解】
（1）∵长方形OABC中，OA=8，OC=4，∠AOB＝∠CBO
∴BC＝OA＝8，AB＝OC＝4，
由折叠的性质可得：OD＝OA＝BC=8，∠AOB＝∠BOD
∴∠CBO＝∠BOD
∴OE＝BE
设CE＝x，则BE＝OE＝8－x，
在Rt△COE中，由勾股定理可得：即
解得：
∴点E（3，4）
设过点E的反比例函数的解析式
将点E（3，4）代入上式可得：
∴
故过点E的反比例函数的解析式
（2）由（1）知，CE＝3，OE＝BE＝8－CE＝5，DE＝8－OE＝3，
过点D作DF⊥BC，
由翻折的性质可得∠BAO＝∠BDE＝90°
∴
解得：，
∵在Rt△DEF中，，
∴，
∴，
∴点D坐标（，）
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、反比例函数解析式、等积法，解题的关键是学会做辅助线，求出关键线段的长．
25．（1）见详解；（2）234
【分析】
（1）作BD的中垂线MN，作点A关于MN的对称点A′，连接A′D、A′B，则△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，如图2，连接A′C，由∠ADB+∠CBD=90°，得到∠A′BD+∠CBD=90°，证得∠A′BC=90°，根据勾股定理得到A′C=25，根据勾股定理的逆定理得到△A′DC是直角三角形，于是得到结果．
【详解】
解：（1）如图1所示，△A′BD即为所求；
（2）由（1）中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，
∵∠ADB+∠CBD=90°，
∴∠A′BD+∠CBD=90°，
即∠A′BC=90°，
∴A′B2+BC2=A′C2，
∵A′B=15，BC=20，
∴A′C=25，
在△A′CD中，A′D=24，CD=7，
∴A′D2+CD2=576+49=625，
∵A′C2=625，
∴A′D2+CD2=A′C2．
∴△A′DC是直角三角形，且∠A′DC=90°，
∴S四边形A′BCD＝S△A′BC+S△A′CD
∵S△A'BD=S△ABD，
∴S四边形ABCD=S四边形A'BCD=234．
【点睛】
】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作图-复杂作图，正确的画出图形是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）①；②．
【分析】
（1）先证明△ACD≌△ACB，再证明△CAF≌△CAE即可；
（2）①分别求出AO，EO和CO的长，再根据三角形面积公式求解即可；
②先求出CE的长，再求出△CEF的面积即可．
【详解】
（1）证明：连接AC，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
在Rt△ACD和RT△ACB中，
，
∴△ACD≌△ACB（HL），
∴∠CAF=∠CAE，
在△CAF和△CAE中，
，
∴△CAF≌△CAE(SAS)，
∴CE=CF；
（2）①设AC与EF交于点O，
∵AE=AF，∠BAD=60°
∴△AFE是等边三角形，
由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，
∴AC⊥FE，
∵AF=x，
∴EF=x，FO=，AO=，
∵∠ADC=90°，∠CAF =30°，CD=，
∴AC=，
∴CO=-，
∵，
∴；
②作FH⊥EC于H，
∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，
∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，
在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，
∴AC=2CD=4，AD=，
∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，
由（2）①可得：当AF=2时，S△EFC=，
又∵S△EFC=CE?FH，
∴3=×2FH，
∴FH=，
∴△CEF的边CE上的高为．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．