专题05
分式
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母．
分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
2．分式的基本性质
，
（M为不等于0的整式）．
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简．
4．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分．
5．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的
分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
6．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
（2）乘法运算
，其中
是整式，．
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
（3）除法运算
，其中是整式，
．
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（4）乘方运算
．
分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
7．零指数
．
8．负整数指数
（，为正整数）．
9．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
10．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
11．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
12．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知
数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不
适合原方程的根——增根．
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母
中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
13.分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．
考点一、分式有意义的条件
例1
(200衡阳)
要使分式有意义，则x的取值范围是（
）
A.x>1
B.x≠1
C.x=1
D.x≠0
考点二、分式的值为零的条件
例2
（2020雅安）分式，则x的值是（
）
A.
1
B.
-1
C.±1
D.
0
考点三、分式的运算
例3
（2020大连）计算：．
考点四、分式的化简求值
例4（2020深圳）先化简，再求值：，其中a=2.
考点五、整数指数幂
例5（2020玉林）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（
）
A.120×10-6
B.12×10-3
C.1.2×10-4
D.1.2×10-5
考点六、分式方程的解
例6（2020广东）方程的解是_______．
考点七、分式方程有增根
例7（2020潍坊）若关于x的分式方程有增根,则m的值为______.
考点八、列分式方程
例8（2020广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（
）
A.
B.
C.
D.
考点九、分式方程的应用
例9（2020黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同.
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
1．在式子中，分式的个数是（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2.（2020衡阳）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A.
x≠－
1
B.
x＞－1
C.
全体实数
D.
x＝－1
3．（2020威海）人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统地55颗导航卫星，至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统新座部署，北斗三号卫星上配置的新一代国产原子弹，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法表示为（
）
A.10×10-10
B.1×10-9
C.0.1×10-8
D.1×109
4.（2020成都模拟）分式方程的解为（
）
A．x＝﹣1
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝﹣2
5．把分式
中的
都扩大到原来的3倍，则分式的值（
）
A．扩大到原来的3倍
B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的
D．不变
6.（2020河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．对分式通分时，最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
8．下列计算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9.（2020随州）的计算结果为（
）
A．
B．
C．
D．
10．计算÷（x-），结果正确的是（
）
A．
B．1
C．
D．-1
11.
（2020鸡西）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（
）
A.
3
B.
5
C.
3或5
D.
3或4
12.（2020荆门）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
二、填空题
13．_______，_______．
14．(2020金昌)
要使分式有意义，需满足的条件是______.
15.
（2020镇江）根据数值转换机的示意图，输出的值为______.
16．（2020长沙模拟）若，则__________．
17．=__________．
18.（2020济宁）已知：，则分式的值是_______．
19．分式方程
若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是_______．
20.
（2020眉山）关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是
．
三、解答题
21．（2020济南模拟）写出下列分式中的未知的分子或分母：
（1）
；（2）
；（3）
．
22．（2020石家庄一模）计算：
（1）；（2）．
（2020河池）先化简，再计算：，其中.
24.（2020扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
（2020永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
26.（2020湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．专题04
整式的乘法与因式分解
1．同底数幂的乘法?
同底数幂的乘法法则：（m，n都是正整数）；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意底数可以是多项式或单项式．
2．幂的乘方
幂的乘方法则：（m，n都是正整数），
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
幂的乘方法则可以逆用：即．
3．积的乘方法则：（n是正整数）．积的乘方，等于各因数乘方的积．
4．整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即（都是单项式）．
（3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（4）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且），
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（5）零指数：，即任何不等于零的数的零次方等于1．
（6）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，若只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（7）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所得的商相加．即：．
5．平方差公式：，
注意平方差公式展开只有两项．
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．右边是相同项的平方减去相反项的平方．
6．完全平方公式：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样．
公式的变形使用：
（1）；；
；．
（2）三项式的完全平方公式：．
7．提公因式法?
（1）会找多项式中的公因式；
公因式的构成一般情况下有三部分：系数、字母、指数
①系数——各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
（2）提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的．
8．公式法?
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
（1）平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；
a2-2ab+b2=（a-b）2．
考点一、同底数幂的乘法
例1（2020重庆）计算结果正确的是（
）
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
【答案】C
【解析】了同底数幂的乘法运算，，故选C．
【名师点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
考点二、幂的乘方
例2（2020衢州）计算：，正确结果是（
）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
【答案】B
【解析】（a2）3＝a6，故选B．
【名师点睛】本题主要考查幂的乘方，底数不变，指数相乘的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
考点三、积的乘方
例3（2020陕西）计算：=
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】=，故选C．
【名师点睛】本题考查积的乘方的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
考点四、单项式乘单项式
例4（2020台州）计算2a2?3a4的结果是（ ）
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
【答案】C
【解析】2a2?3a4＝6a6．故选：C．
【名师点睛】本题考查的是单项式乘单项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘单项式法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
考点五、单项式乘多项式
例5（2020桂林）计算：=______.
【答案】．
【解析】根据单项式乘多项式的法则，把单项式与多项式的每一项相乘，=
，
故答案为：．
【名师点睛】本题考查的是单项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
考点六、多项式乘多项式
例6
（2020焦作模拟）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
【答案】x3+y3．
【解析】（x+y）（x2﹣xy+y2），
＝x3﹣x2y+xy2+x2y﹣xy2+y3，
＝x3+y3．
【名师点睛】此题考查多项式的乘法，关键是根据多项式乘法的法则解答．
考点七、整式的除法
例7（2020吉林）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B．，原计算错误，故此选项不符合题意；
C．，原计算错误，故此选项不符合题意；
D．，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【名师点睛】此题主要考查了整式的运算，正确掌握运算法则是解题关键．
考点八、乘法公式的应用
例8（2020枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．ab
B．(a+b)2
C．(a-b)2
D．a2-b2
【答案】C
【解析】中间部分的四边形式正方形，边长是a+b-2b=a-b,
则面积是(a-b)2，
故选：C．
【名师点睛】本题考查了整式的运算，正确表示出小正方形的边长是解题的关键．
考点九、运用提公因式法分解因式
例9（2020沈阳）因式分解：2x2+x=______．
【答案】x（2x+1）.【解析】2x2+x=
x（2x+1）.
故答案为：x（2x+1）.
【名师点睛】本题考查了提取公因式法，正确找出公因式是解本题的关键．
考点十、运用提公因式法、公式法分解因式
例10（2020深圳）分解因式：m3-m= .
【答案】.
【解析】
【名师点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
考点十一、因式分解的综合运用
10.
（2020西藏）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2-9=（x+3）（x-3）
B．2xy+4x=2（xy+2x）
C．x2-2x-1=（x-1）2
D．x2+y2=（x+y）2
【答案】A.
【解析】A、原式=（x+3）（x-3），符合题意；
B、2xy+4x=2x（y+2）；不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意．
【名师点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
一、选择题
1.（2020黔南州）下列运算正确的是（
）
A．（a3）4=a12
B．a3·a4=a12
C．a2+a2=a4
D．（ab）2=ab2
【答案】A
【解析】（a3）4=a3×4=a12，故A正确；∵a3·a4=a7，故B错误；∵a2+a2=2a2，故C错误；（ab）2=a2b2，故D错误．故选A．
2.（2020河北）对于①x-3xy=x（1-3y），②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.
①是因式分解②是乘法运算
D.
①是乘法运算②是因式分解
【答案】C
【解析】①x-3xy=x（1-3y），从左到右的变形都是因式分解；
②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形是乘法运算，不是因式分解；
所以①是因式分解，②是乘法运算.
故选：C.
3.（2020德阳）下列运算正确的是（
）
A．a2·a3=a6
B．（3a）3
=9a3
C．3a-2a=1
D．（-2a2）3
=-8a6
【答案】
D.
【解析】A选项，a2·a3=a5，故错误；
B选项，（3a）3
=27a3，故错误；
C选项，3a-2a=a，故错误；
D选项，（-2a2）3
=-8a6，D正确.
4．计算（）2021×1.52020×（-1）2022的结果是（
）
A．
B．
C．-
D．-
【答案】A
【解析】，故选A．
5．（2020眉山）已知a2+b2=2a-b-2，则3a-b的值为（
）
A.4
B.2
C.-2
D.-4
【答案】A.
【解析】∵a2+b2=2a-b-2
∴a2-2a+1+b2+b+1=0，
∴（a-1）2+（b+1）2=0，
∴a-1=0，b+1=0，
∴a=1，b=-2，
∴3a-b=3+1=4.
6.（2020益阳）下列因式分解正确的是（
）
A.
a（a-b）-b（a-b）=（a-b）（a+b）
B.
a2-9b2=（a-3b）2
C.
a2+4ab+4b2=（a+2b）2
D.
a2-ab+a=a（a-b）
【答案】C.
【解析】A.
a（a-b）-b（a-b）=（a-b）2，故此选项错误；B.
a2-9b2=（a-3b）（a+3b），故此选项错误；
C.
a2+4ab+4b2=（a+2b）2，正确；D.
a2-ab+a=a（a-b+1），故此选项错误.
故选：C.
5．化简的结果正确的是（
）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【解析】==．故选C．
7．(2020青海)下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n-5mn2=2mn；②2a2b（-2a2b）=-4a6b；③（a3）2=a5
;④（-a3）÷（-a）=a2．
其中运算正确的个数为（
）
A.
4个
B.
3个
C.2个
D.
1个
【答案】D
【解析】①3m2n与5mn2不是同类项；不能合并，计算错误；
②2a2b（-2a2b）=-4a5b2；计算错误；
③（a3）2=a6
;
计算错误；
④（-a3）÷（-a）==（-a）3-1=a2．计算正确；
8.（2020郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释下列哪个等式（
）
A.x2-2x+1=（x-1）2
B.
x2-1=（x+1）（x-1）
C.
x2+2x+1=（x+1）2
D.
x2-x=x（x-1）
【答案】B.【解析】由图可知，
图1的面积为：x2-12，
图2的面积为：（x+1）（x-）
所以x2-1=（x+1）（x-），
故选：B．
9．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】．故选D．
10．(2020荆门一模)已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6
B．6
C．﹣5
D．﹣1
【答案】A
【解析】∵xy＝﹣3，x+y＝2，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣6
故选：A．
二、填空题
11.
(2020株洲)因式分解：_____．
【答案】．
【解析】
12．计算：（a-b）（a+b）=______；（-2x-5）（2x-5）=
_____．
【答案】；
【解析】，．
13．(2020焦作期末)如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝
．
【答案】﹣1．
【解析】（nx+1）（x2+x）＝nx3+nx2+x2+x＝nx3+（n+1）x2+x，
∵（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项，∴n+1＝0，解得n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14.
(2020宜昌)数学讲究记忆方法．如计算时，若忘记了法则，可以借助（a5）2=a5×a5=a5+5=a10，得到正确答案．你计算（a2）5-a3×a7的结果是
．
【答案】0．
【解析】（a2）5-a3×a7=a10-a10=0．
故答案为：0．
15.（2020成都）已知a=7-3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为______．
【答案】49.
【解析】∵a=7-3b，
∴a+3b=7，
∴a2+6ab+9b2=（a+3b）2=72=49，
故答案为：49．
16.（2020咸宁模拟）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是
（写一个即可）．
【答案】﹣1
【解析】令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．故答案为：﹣1（答案不唯一）．
17.
（2020衢州）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×(3+1)=2×4=8，则（x-1）※x的结果为______．
【答案】x2-1
【解析】根据题意得：
（x-1）※x=（x-1）（x+1）=
x2-1．
故答案为：x2-1．
三、解答题
18.（2020武汉模拟）计算：
（1）a3?a2?a4+（﹣a）2；
（2）（x2﹣2xy+x）÷x
【答案】（1）a9+a2；（2）x﹣2y+1．
【解析】（1）a3?a2?a4+（﹣a）2＝a9+a2；
（2）（x2﹣2xy+x）÷x＝x﹣2y+1．
19．分解因式：
（1）（m2+3m）2-8（m2+3m）-20；
（2）4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2；
（3）（y2+3y）-（2y+6）2．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）
==．
（2）=
==．
（3）==
=．
20.（1）（2020长春模拟）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中．
（2）（2020梧州一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）原式=4a2+4a+1-4a2+4a=8a+1，
当时，原式=8a+1=2．
（2）原式，
当时，原式．
21.（2020荆州一模）利用因式分解简便计算：
（1）57×99+44×99-99；
（2）．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）57×99+44×99-99=（57+44–1）×99=100×99=9900．
（2）
=．
22.（2020黄冈模拟）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
【答案】（1）a2+3ab+b2；（2）31平方米．
【解析】（1）绿化的面积是（2a+b）
（a+b）﹣a2＝2a2+3ab+b2﹣a2＝a2+3ab+b2；
（2）当a＝3，b＝2时，原式＝9+3×2×3+4＝31平方米．
23.（200江西模拟）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是
．阴影部分小正方形的边长是
；
（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
【答案】（1）m+n；m﹣n；（2）见解析．
【解析】（1）由图b可得，大正方形的边长是m+n，阴影部分小正方形的边长是m﹣n；
故答案为：m+n；m﹣n；
（2）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．
理由如下：右边＝（m+n）2﹣4mn＝m2+2mn+n2﹣4mn＝m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2＝左边，
所以结论成立．
24．探究题：
观察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1；
（1）你能得到一般情况下的结果吗？（n为正整数）
（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．
【答案】详解见解析．
【解析】由题意可得：（1）…+1；
（2）．
25.（2020内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1＞9-2＞6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=．
（1）填空：f（6）=
；f（9）=
；
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；
（3）填空：
①f（22×3×5×7）=
；②f（23×3×5×7）=
；③f（24×3×5×7）=
；④f（25×3×5×7）=
．
【答案】．
【解析】（1）6可以分解成1×6，2×3，∵6-1>3-2,∴2×3是6的最佳分解，∴，
9可以分解成1×9，3×3，∵9-1>3-3,∴×3是的最佳分解，∴，
故答案为：，1．
（2）设交换t的个位上的数字与十位上的数字得到的新数为t′，则t′=10b+a，
根据题意得，t′-
t=（10b+a）-（10a+b）=9（b-a）=54，
∴b=a+6，∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，∴满足条件的t为：17，28，39；
∵，，，∵∴f（t）的最大值为；
（3）①∵22×3×5×7的最佳分解为20×21，∴f（22×3×5×7）=；故答案为：；
②∵22×3×5×7的最佳分解为28×30，
∴f（22×3×5×7）=；
故答案为：；
③∵22×3×5×7的最佳分解为40×42，
∴f（22×3×5×7）=；
故答案为：；
④∵22×3×5×7的最佳分解为56×60，
∴f（22×3×5×7）=；
故答案为：．专题04
整式的乘法与因式分解
1．同底数幂的乘法?
同底数幂的乘法法则：（m，n都是正整数）；
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．注意底数可以是多项式或单项式．
2．幂的乘方
幂的乘方法则：（m，n都是正整数），
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
幂的乘方法则可以逆用：即．
3．积的乘方法则：（n是正整数）．积的乘方，等于各因数乘方的积．
4．整式的乘法
（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即（都是单项式）．
（3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（4）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且），
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（5）零指数：，即任何不等于零的数的零次方等于1．
（6）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，若只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
（7）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所得的商相加．即：．
5．平方差公式：，
注意平方差公式展开只有两项．
公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．右边是相同项的平方减去相反项的平方．
6．完全平方公式：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，首尾2倍中间放，符号和前一个样．
公式的变形使用：
（1）；；
；．
（2）三项式的完全平方公式：．
7．提公因式法?
（1）会找多项式中的公因式；
公因式的构成一般情况下有三部分：系数、字母、指数
①系数——各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
（2）提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的．
8．公式法?
运用公式法分解因式的实质是：把整式中的乘法公式反过来使用；
常用的公式：
（1）平方差公式：
a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2；
a2-2ab+b2=（a-b）2．
考点一、同底数幂的乘法
例1（2020重庆）计算结果正确的是（
）
A．a
B．a2
C．a3
D．a4
考点二、幂的乘方
例2（2020衢州）计算：，正确结果是（
）
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
考点三、积的乘方
例3（2020陕西）计算：=
A．
B．
C．
D．
考点四、单项式乘单项式
例4（2020台州）计算2a2?3a4的结果是（ ）
A．5a6
B．5a8
C．6a6
D．6a8
考点五、单项式乘多项式
例5（2020桂林）计算：=______.
考点六、多项式乘多项式
例6
（2020焦作模拟）计算（x+y）（x2﹣xy+y2）
考点七、整式的除法
例7（2020吉林）下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
考点八、乘法公式的应用
例8（2020枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．ab
B．(a+b)2
C．(a-b)2
D．a2-b2
．
考点九、运用提公因式法分解因式
例9（2020沈阳）因式分解：2x2+x=______．
考点十、运用提公因式法、公式法分解因式
例10（2020深圳）分解因式：m3-m= .
考点十一、因式分解的综合运用
10.
（2020西藏）下列分解因式正确的一项是（ ）
A．x2-9=（x+3）（x-3）
B．2xy+4x=2（xy+2x）
C．x2-2x-1=（x-1）2
D．x2+y2=（x+y）2
一、选择题
1.（2020黔南州）下列运算正确的是（
）
A．（a3）4=a12
B．a3·a4=a12
C．a2+a2=a4
D．（ab）2=ab2
2.（2020河北）对于①x-3xy=x（1-3y），②（x+3）（x-1）=x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（
）
A.都是因式分解
B.都是乘法运算
C.
①是因式分解②是乘法运算
D.
①是乘法运算②是因式分解
3.（2020德阳）下列运算正确的是（
）
A．a2·a3=a6
B．（3a）3
=9a3
C．3a-2a=1
D．（-2a2）3
=-8a6
4．计算（）2021×1.52020×（-1）2022的结果是（
）
A．
B．
C．-
D．-
5．（2020眉山）已知a2+b2=2a-b-2，则3a-b的值为（
）
A.4
B.2
C.-2
D.-4
6.（2020益阳）下列因式分解正确的是（
）
A.
a（a-b）-b（a-b）=（a-b）（a+b）
B.
a2-9b2=（a-3b）2
C.
a2+4ab+4b2=（a+2b）2
D.
a2-ab+a=a（a-b）
5．化简的结果正确的是（
）
A．
B．
C．2
D．
7．(2020青海)下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n-5mn2=2mn；②2a2b（-2a2b）=-4a6b；③（a3）2=a5
;④（-a3）÷（-a）=a2．
其中运算正确的个数为（
）
A.
4个
B.
3个
C.2个
D.
1个
8.（2020郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形，这两个图能解释下列哪个等式（
）
A.x2-2x+1=（x-1）2
B.
x2-1=（x+1）（x-1）
C.
x2+2x+1=（x+1）2
D.
x2-x=x（x-1）
9．一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（
）
A．
B．
C．
D．
10．(2020荆门一模)已知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是（ ）
A．﹣6
B．6
C．﹣5
D．﹣1
二、填空题
11.
(2020株洲)因式分解：_____．
12．计算：（a-b）（a+b）=______；（-2x-5）（2x-5）=
_____．
13．(2020焦作期末)如果（nx+1）（x2+x）的结果不含x2的项（n为常数），那么n＝
．
14.
(2020宜昌)数学讲究记忆方法．如计算时，若忘记了法则，可以借助（a5）2=a5×a5=a5+5=a10，得到正确答案．你计算（a2）5-a3×a7的结果是
．
15.（2020成都）已知a=7-3b，则代数式a2+6ab+9b2的值为______．
16.（2020咸宁模拟）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是
（写一个即可）．
17.
（2020衢州）定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×(3+1)=2×4=8，则（x-1）※x的结果为______．
三、解答题
18.（2020武汉模拟）计算：
（1）a3?a2?a4+（﹣a）2；
（2）（x2﹣2xy+x）÷x
19．分解因式：
（1）（m2+3m）2-8（m2+3m）-20；
（2）4a2bc-3a2c2+8abc-6ac2；
（3）（y2+3y）-（2y+6）2．
（1）（2020长春模拟）先化简，再求值：(2a+1)2-4a(a-1)，其中．
（2020梧州一模）先化简，再求值：，其中．
21.（2020荆州一模）利用因式分解简便计算：
（1）57×99+44×99-99；
（2）．
22.（2020黄冈模拟）如图，某市有一块长为（2a+b）米，宽为（a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？
（2）若a＝3，b＝2，请求出绿化面积．
23.（200江西模拟）图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中实现用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）图b中，大正方形的边长是
．阴影部分小正方形的边长是
；
（2）观察图b，写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的一个等量关系，并说明理由．
24．探究题：
观察下列式子：（x2-1）÷（x-1）=x+1；
（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1；
（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1；
（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1；
（1）你能得到一般情况下的结果吗？（n为正整数）
（2）根据（1）的结果计算：1+2+22+23+24+…+262+263．
25.（2020内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=．
例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18-1＞9-2＞6-3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=．
（1）填空：f（6）=
；f（9）=
；
（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；
（3）填空：
①f（22×3×5×7）=
；②f（23×3×5×7）=
；③f（24×3×5×7）=
；④f（25×3×5×7）=
．专题01
三角形
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的分类
（1）三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
（2）三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形．
3．三角形三边的关系（重点）
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a+b>c或c-b
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|4．判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形．
当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形．
5．三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：
（1）三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
（2）任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
（3）任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部．但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部．
（4）一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点．（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交于一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部．）
（5）三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”．三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”．三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
6．三角形的稳定性
（1）三角形具有稳定性
（2）四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了．
7．三角形的内角和定理
三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关．
8．直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）．有两个角互余的三角形是直角三角形．一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个内角是锐角．
9．三角形的外角
（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（3）三角形的外角和等于360°．
10．多边形
（1）在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
（2）一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条，其所有的对角线条数为．
（3）画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形．
（4）各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
11．多边形的内角和
（1）n边形的内角和定理
n边形的内角和为（n?2）·180°
（2）n边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关．
考点一、三角形三边关系
例1（2020徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．9
cm
【答案】C．
【解析】设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6-3解得：3故选：C.
【名师点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，掌握第三边的范围即可得解．
考点二、三角形的主要线段
例2
（2020武汉模拟）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
【答案】B【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
考点三、三角形内角和
例3
（2020锦州）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（
）
A.
80°
B.90°
C.100°
D.110°
【答案】C【解析】∵∠A=30°，∠B=50°，∴∠ACB=180°-30°-50°=100°（三角形内角和定义）
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ACB=×100°=50°.∴∠ADC=∠BCD+∠B=50°+50°=100°.
故选：C.
【名师点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
考点四、多边形内角和
例4
（2020北京）正五边形的外角和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°
故答案为：360°．
考点五、三角形的外角
例5
（2020湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=（
）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
【答案】D
【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=
ACD-∠B，∵∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠A=60°，故选：D．
【名师点睛】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
考点六、三角形的稳定性
例6
（2020黄冈一模）下列图形具有稳定性的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】三角形具有稳定性．故选A．
【名师点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
考点七、多边形的边角关系
例7
（2020扬州）如图，小明从A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米
B．80米
C．60米
D．40米
【答案】A
【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80（m）.
故选：B.
【名师点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键.
一、选择题
1.（2020绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围城一个三角形（木棒允许连接，但不许折断），得到的三角形的最长边长为（
）
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
【答案】B
【解析】①长度分别为2，3，3，4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2，6，4，不能构成三角形；
③长度分别为2，7，3，不能构成三角形；
④长度分别为6，3，3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5.
故选：B.
2.（2020大连）如图，△AC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（
）
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.80°
【答案】D
【解析】∵∠C=180°-∠A-∠B，∠A=60°，∠B=40°，∴∠C80°，∵DE∥BC，∴∠AED=∠C=80°.
故选：D.
3．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】D
【解析】根据直角三角形的定义，只要有一个角为90°的三角形为直角三角形，以及三角形的内角和为180°，①②③④都有一个角为90°，故选D．
4．（2020上海模拟）联欢会上，A、B、C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的（
）
A．三边中线的交点
B．三边中垂线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
【答案】C
【解析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．∵三角形的三条垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当．故选C．
5．（2020吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为（
）
A.85°
B.75°
C.65°
D.60°
【答案】B【解析】如图所示，
∵∠BCD=65°，
∠BCA=45°，∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°
∠a=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°.
故选：B.
6．（2020无锡）正十边形的每一个外角的度数为（
）
A．36°
B．30°
C．144°
D．150°
【答案】A
【解析】正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角：360°÷10=36°，
故选：A．
7.（2020赤壁一模）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（
）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
【答案】B
【解析】∵DE⊥AB，∠A＝35°
∴∠AFE＝∠CFD＝55°，
∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝15°+55°＝70°．
故选：B．
8．如图，在中BC边上的高是（
）
A．CE
B．CF
C．AD
D．AC
【答案】C
【解析】∵AD⊥BC，∴在△ABC中，BC边上的高为线段AD．故选C．
9.
（2020黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】D
【解析】360°÷36°=10，所以这个正多边形的边数是正十边形，
故选：D．
10．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（
）
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
【答案】A
【解析】由于三角形的面积S=底×高，当高相等时只要底相等，面积就相等，因为BD=DE=EC，所以BE=CD，所以S△ABD=S△ADE，S△ABD=S△AEC，S△ADE=S△AEC，S△ABE=S△ADC，共4对，故选A．
二、填空题
11.
（2020济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是
．（写出一个即可）
【答案】4
【解析】根据三角形的三边关系，得
第三边应大于6-3=3，而小于6+3=9，
故第三边的长度3故答案为：4．
12．(2020陕西模拟）正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为
条．
【答案】
【解析】因为正n边形的每个内角为，所以正n边形的每个外角为，所以正n边形的边数n所以正n边形的对角线的条数为条．
故答案为：9．
13.（2020湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是
．
【答案】6.
【解析】设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n-2）180°=720°，
解得：n=6，
故多边形的边数为6．
故答案为：6．
14.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则
∠BDE=__________°．
【答案】48
【解析】∵在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=（180°-66°-54°）=30°，
∴在△ADC中，∠ADC=180°-∠CAD-∠C=180°-30°-54°=96°．
又DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠ADC=48°．故答案为：48°．
15．如图，△ABC的周长为32，且BD=DC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为______．
【答案】8
【解析】由于△ABC中BD=DC，AD⊥BC，所以△ABC为等腰三角形，△ACD的周长=△ABD的周长，所以2AD=24+24-32=16，所以AD=8．故答案为：8．
16.（2020哈尔滨一模）在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为______度
【答案】60或10
【解析】当△ACD为直角三角形时，存在两种情况：∠ADC＝90°或∠ACD＝90°，根据三角形的内角和定理可得结论．
【解答】分两种情况：
①如图1，当∠ADC＝90°时，
∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；
②如图2，当∠ACD＝90°时，
∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，
综上，则∠BCD的度数为60°或10°；
故答案为：60°或10；
三、解答题
17.（2020广西模拟）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】如图，连接BE．
∵∠1=∠C＋∠D，∠1=∠CBE＋∠DEB，
∴∠C＋∠D=∠CBE＋∠DEB，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABC＋∠CBE＋∠DEB＋∠DEF＋∠F=∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F．
又∵∠A＋∠ABE＋∠BEF＋∠F=360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F=360°．
18.（2020黄石模拟）如图，在中，DB和DC分别平分内角和，和CG分别平分外角和，，求和的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】、是内角平分线，
∵，∴，
∴，
∴，
又∵，
∵、是、的外角平分线，
∴，
∴．
19．（2020十堰模拟）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°．求∠B，∠ADC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】∵△ABC中，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=31°．
又∵在△ACD中，∠A=68°，
∴∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-68°-31°=81°，
∵∠ADC是△BCD中∠BDC的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BCD，
∴∠B=∠ADC-∠BCD=81°-31°=50°．
20．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，
∴设∠A=3x，则∠ABC=4x，∠ACB=5x，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，
∴∠ABC=60°，∠ACB=75°．
∵BD为AC边上的高，∴∠BDC=90°
∴在Rt△BDC中，∠DBC=90°-∠ACB=90°-75°=15°．
同理∠ECB=90°-∠ABC=30°，
∴在△BHC中，∠BHC=180°-15°-30°=135°．
21．（2020荆门模拟）如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数．
【答案】详解见解析．
【解析】连接AO并延长交BC于点D．
在△ABO中∠BOD=∠ABO+∠BAO，
在△ACO中∠COD=∠ACO+∠CAO．
因为∠A=∠BAO+∠CAO，∠BOC=∠BOD+∠COD，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO=∠ABO+∠ACO+∠A=20°+30°+50°=100°．
22．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AM是BC边的中线．求证：AM>（AB-AC）．
【答案】详解见解析．
【解析】延长AM到D，使MD=AM，连接BD．
在△CMA和△BMD中，AM=DM，∠AMC=∠DMB，CM=BM，
∴△CMA≌△BMD，
∴BD=AC．
在△ABD中，AB-BD∴AB-AC<2AM，∴AM>（AB-AC）．
23.
（2020宜昌一模）如图，某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块.请你设计几种不同的划分方案.
【答案】详解见解析．
【解析】利用三角形的中线分三角形为面积相等的两部分，作出△ABC的中线后，再作新三角形的中线，可得到多种设计方案.
如图所示：
24.（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=（180°?∠B?∠C），又∵AD⊥BC，
∴∠DAC=90°?∠C，
∴∠EAD=∠EAC?∠DAC=（180°?∠B?∠C）?（90°?∠C）=（∠C?∠B），
即∠EAD=（∠C?∠B）
（2）如图，过点A作AD⊥BC于D，
∵FM⊥BC，∴AD∥FM，
∴∠EFM=∠EAD=（∠C?∠B）．
25.
（2020山西模拟）如图，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．
（1）图①中草坪的面积为__________；
（2）图②中草坪的面积为__________；
（3）图③中草坪的面积为__________；
（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）三个角的和是：180°，则面积是：=πR2；
（2）四个内角的和是：360°，则面积是：=πR2；
（3）五个内角的和是：540°，则面积是：=πR2；
（4）多边形边数为n，则内角和是：（n-2）?180°，则面积是：=πR2.．
26．（2020恩施模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=
°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：
；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：
．
【答案】详解见解析．
【解析】（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，∵∠C=90°，∠α=50°，∴∠1+∠2=140°；
故答案为：140°；
（2）由（1）得出：∠α+∠C=∠1+∠2，∴∠1+∠2=90°+α
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
（3）∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．专题01
三角形
1．三角形的概念
由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形．
2．三角形的分类
（1）三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．
（2）三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形．
3．三角形三边的关系（重点）
（1）三角形的任意两边之和大于第三边．
三角形的任意两边之差小于第三边．（这两个条件满足其中一个即可）
用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a+b>c或c-b（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|4．判断三条已知线段a、b、c能否组成三角形．
当a最长，且有b+c>a时，就可构成三角形．
5．三角形的主要线段
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．
三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．
连接三角形一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形的中线．
注意：
（1）三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；
（2）任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；
（3）任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部．但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部．
（4）一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点．（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交于一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部．）
（5）三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”．三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”．三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”．三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形．
6．三角形的稳定性
（1）三角形具有稳定性
（2）四边形及多边形不具有稳定性
要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了．
7．三角形的内角和定理
三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关．
8．直角三角形两个锐角的关系
直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）．有两个角互余的三角形是直角三角形．一个三角形中至多有一个直角或一个钝角；一个三角形中至少有两个内角是锐角．
9．三角形的外角
（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角；
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．
（3）三角形的外角和等于360°．
10．多边形
（1）在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角．多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角．连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
（2）一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n-3）条，其所有的对角线条数为．
（3）画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其他边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形．
（4）各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）
11．多边形的内角和
（1）n边形的内角和定理
n边形的内角和为（n?2）·180°
（2）n边形的外角和定理
多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关．
考点一、三角形三边关系
例1（2020徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm则它的第三边的长可能是（ ）
A．2cm
B．3cm
C．6cm
D．9
cm
【答案】C．
【解析】设第三边的长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6-3解得：3故选：C.
【名师点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，掌握第三边的范围即可得解．
考点二、三角形的主要线段
例2
（2020武汉模拟）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
【答案】B
【解析】根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线
故选：B．
【名师点睛】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
考点三、三角形内角和
例3
（2020锦州）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（
）
A.
80°
B.90°
C.100°
D.110°
【答案】C【解析】∵∠A=30°，∠B=50°，
∴∠ACB=180°-30°-50°=100°（三角形内角和定义）∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACB=×100°=50°.∴∠ADC=∠BCD+∠B=50°+50°=100°.故选：C.
【名师点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.
考点四、多边形内角和
例4
（2020北京）正五边形的外角和为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和为360°．
故答案为：360°．
考点五、三角形的外角
例5
（2020湘潭）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD=110°，∠B=50°，则∠A=（
）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
【答案】D
【解析】∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=
ACD-∠B，
∵∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠A=60°，故选：D．
【名师点睛】本题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键．
考点六、三角形的稳定性
例6
（2020黄冈一模）下列图形具有稳定性的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】三角形具有稳定性．故选A．
【名师点睛】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键．
考点七、多边形的边角关系
例7
（2020扬州）如图，小明从A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（ ）
A．100米
B．80米
C．60米
D．40米
【答案】A
【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，
∴边数n=360°÷45°=8，
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80（m）.
故选：B.
【名师点睛】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为360°；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键.
一、选择题
1.（2020绍兴）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围城一个三角形（木棒允许连接，但不许折断），得到的三角形的最长边长为（
）
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
2.（2020大连）如图，△AC中，∠A=60°，∠B=40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（
）
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.80°
3．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3；③∠A=90°-∠B；④∠A=∠B=∠C，能确定△ABC是直角三角形的条件有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．（2020上海模拟）联欢会上，A、B、C三名选手站在一个三角形三个顶点上玩抢凳子游戏，在他们中间放个木凳，谁先抢到凳子就获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当位置是△ABC的（
）
A．三边中线的交点
B．三边中垂线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边上高的交点
5．（2020吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠a的大小为（
）
A.85°
B.75°
C.65°
D.60°
6．（2020无锡）正十边形的每一个外角的度数为（
）
A．36°
B．30°
C．144°
D．150°
7.（2020赤壁一模）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（
）
A．65°
B．70°
C．75°
D．85°
8．如图，在中BC边上的高是（
）
A．CE
B．CF
C．AD
D．AC
9.
（2020黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（
）
A．7
B．8
C．9
D．10
10．如图，在△ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（
）
A．4对
B．5对
C．6对
D．7对
二、填空题
11.
（2020济宁）已知三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的第三边长可以是
．（写出一个即可）
12．(2020陕西模拟）正n边形的每个内角为120°，这个正n边形的对角线条数为
条．
13.（2020湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是
．
14.如图，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分线，DE平分∠ADC交AC于E，则
∠BDE=__________°．
15．如图，△ABC的周长为32，且BD=DC，AD⊥BC于D，△ACD的周长为24，那么AD的长为______．
16.（2020哈尔滨一模）在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为______度
三、解答题
17.（2020广西模拟）如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．
18.（2020黄石模拟）如图，在中，DB和DC分别平分内角和，和CG分别平分外角和，，求和的度数．
19．（2020十堰模拟）如图，△ABC中，CD平分∠ACB，∠A=68°，∠BCD=31°．求∠B，∠ADC的度数．
20．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．
21．（2020荆门模拟）如图，在△ABC中，∠A=50°，O是△ABC内一点，且∠ABO=20°，∠ACO=30°．求∠BOC的度数．
22．已知：如图，在△ABC中，AB>AC，AM是BC边的中线．求证：AM>（AB-AC）．
23.
（2020宜昌一模）如图，某校有一块三角形空地，要在上面栽种四种不同的花草，需将该空地分成面积相等的四块.请你设计几种不同的划分方案.
24.（1）如图（1），在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD与∠B、∠C之间的数量关系吗？并说明理由．
（2）如图（2），AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，这时∠EFM与∠B、∠C之间又有何数量关系？请你直接说出它们的关系，不需要证明．
25.
（2020山西模拟）如图，分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪(图中阴影部分)．
（1）图①中草坪的面积为__________；
（2）图②中草坪的面积为__________；
（3）图③中草坪的面积为__________；
（4）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为__________．
26．（2020恩施模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2=
°；
（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：
；
（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为：
．专题03
轴对称
1．轴对称图形与轴对称的相关概念
（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
2．轴对称的性质
（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．
（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．
（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：
（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；
（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．
联系：
（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；
（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
4．线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤
先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．
6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．
（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．
7．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．
8．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．
9．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．
10．等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．
11．含30度角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
12．最短路径问题
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．
考点一、轴对称图形
例1
（2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
考点二、轴对称的性质
例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【答案】A
【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，
∴∠C=40°，
∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，
∴∠AB/B=∠B=50°，
∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，
故选：A.
【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．
考点三、利用轴对称设计图案
例3
（2020吉林）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．
【答案】（1）（2）（3）见解析．
【解析】（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．
【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．
考点四、图形的剪拼
例4
（2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是
．
【答案】
【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到的度数是．
【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．
考点五、轴对称与最小值
例5
（2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【解析】设C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD=
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.
∵N（-2，4），Q（0，-2）P/M+P/N的值最小值=P/N+P/Q=NQ=，
∴AC+BD的最小值为2，
故选：B.
【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.
考点六、线段垂直平分线的性质
例6
（2020枣庄）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接AE，若，，则的周长为
A．8
B．11
C．16
D．17
【答案】B
【解析】垂直平分，，
的周长，故选B．
【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
考点七、坐标与图形变化--对称
例7
（2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（1，7）
B．（0，5）
C．（3，4）
D．（-1，2）
【答案】C
【解析】由坐标系可得B（-1，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B的对应点/的坐标为（3，1+3），
即（3，4），
故选：C.
【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
考点八、等腰三角形的性质
例8
（2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是
．
【答案】10或11．
【解析】由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，，能构成三角形；周长=3+3+4=10，
（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，
故答案为：10或11．
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
考点九、等腰三角形的判定
例9
（2020黄冈模拟）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
【答案】见解析
【解析】证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，∴AE＝BE．
【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
考点十、等边三角形的性质
例10
（2020常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=
°．30
【答案】30
【解析】∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∴△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，
故答案为：30.
【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF是解本题的关键．
考点十一、等边三角形的性质与判定
例11
（2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC=
48米．
【答案】48
【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC=48米，
∴AC=48米.故答案为：48.
【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC是等边三角形．
考点十二、含30度角的直角三角形
例12
（2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=3，则BD的长度为
．
【答案】2．
【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，
∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵BC=3，∴CD+2CD=3，∴CD=∴DB=2，
故答案为：2.
【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.
1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B.
2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．100°
B．104°
C．108°
D．112°
【答案】D
【解析】∵∠C=120°，∠A=26°，∴∠B=180°?（∠A+∠C）=34°，又∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=34°，根据折叠的性质可得∠ADE=∠A′DE，∴∠A′DE=∠ADE=∠B=34°，∴∠A′DB=180°?∠ADE?∠A′DE=
112°．故选D．
3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（ ）
A．25°
B．45°
C．30°
D．20°
【答案】B
【解析】∠C＝∠C'＝30°，
则△ABC中，∠B＝180°﹣105°﹣30°＝45°．
故选：B．
4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（ ）
A.
40°
B.
45°
C.50°
D.60°
【答案】C.
【解析】由作法得CG⊥AB，
∵BC=AC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B，
∵∠ACB=180°-40°-40°=100°，
∴∠BCG=∠ACB=50°．
故选C．
5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（
）
A．（3，1）
B．（3，?1）
C．（?3，1）
D．（?3，?1）
【答案】B
【解析】点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（3，?1）．故选B．
6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（
）
A．13
B.
17
C.
13或17
D.13或10
【答案】B
【解析】①当腰是3，底边是7时，不满足三角形的三边关系，因此舍去.
②当底边是3，腰长是7时，能构成三角形，则其周长=3+7+7=17.
故选：B.
7．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120°
B.
130°
C.
145°
D.150°
【答案】B
【解析】∵AB=AC，∠C=65°，
∴∠B=∠C=65°，
∵DF∥AB，
∴∠CDE=∠B=65°，
∴∠FEC=∠CDE+∠C=65°+65°=130°；
故选：B.
8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（
）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
【答案】C
【解析】如图所示，当AB＝AF＝3，BA＝BD＝3，AB＝AE＝3，BG＝AG时，都能得到符合题意的等腰三角形．
故选：C．
9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（
）
A．10
B．16
C．8
D．4
【解析】由题知BM=OM，CN=ON，∴△AMN的周长=AB+AC=12，△ABC的周长=AB+AC+BC=20，
∴BC=8．故选C．
10．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点E，则DF的长为（
）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
【答案】C
【解析】∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，∵∠BAC=120°，∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=30°．∵DF∥AB，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAF=∠F=30°，∴AD=DF，∵AB=11，∠B=30°，∴AD=5.5，∴DF=5.5．故选C．
11.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（
）
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
【答案】D
【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,
∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,
所以∠O=25°,
∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D。
12.（2020四川模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（
）
A.8
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】∵∠ABC=45°，AD⊥BC
∴△ABC是等腰直角三角形
∴AD=BD
∵BE⊥AC，AD⊥BD
∴∠DAC=∠DBH
∴△DBH≌△DAC
（ASA）
∵DG⊥DE，
∴∠BDG=∠ADE
∴△DBG≌△DAE（ASA）
∴BG=AE，DG=DE
∴△DGE是等腰直角三角形
∴∠DEC=45°
在Rt△ABE中，BE=
∴GE=
∴DE=
∵D、F关于AE对称
∴∠FEC=∠DEC=45°
∴EF=DE=DG=
DF=GE=
∴四边形DFEG的周长为2（+2-）=.故选D．
二、填空题
13．我国传统木质结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一常见的图案，这个图案有______条对称轴．
【答案】2
【解析】作为一个非正方形的矩形，其对称轴只有两条，故答案为：2．
14.（2020天门模拟）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为
.
【答案】36°.
【解析】∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴这个等腰三角形的顶角为180°-72°×2=36°.
故答案为36°.
15.（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是
.
【答案】6.
【解析】∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，
∴EF=2，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠DEF=∠B=60°，∠DFE=∠C=60°，
∴△DEF是等边三角形.
∴剪下的△DEF的周长是2×3=6.
故答案为：6.
16.（2020南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=
.
【答案】78°.
【解析】连接BO,并延长BO到P,
∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，
∴AO=OB=OC，∠BDO=∠BEO=90°，
∴∠DOE+∠ABC=180°，
∴∠DOE+∠1=180°，
∴∠ABC=∠1=39°，
∵AO=OB=OC，
∴∠A=∠ABO，∠OBC=∠C，
∵∠AOP=∠A+∠ABO，∠COP=∠C+∠OBC，
∴∠AOC=∠AOP
+∠COP
=∠A+∠AB
C+∠C
=2×39°=78°．
三、解答题
17.（2020仙桃模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
【答案】见解析.
【解析】（1）如图①，直线m即为所求
（2）如图②，直线n即为所求
18.（2020荆州一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
【答案】见解析.
【解析】（1）如图直线MN即为所求．
（2）∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，设DA＝DB＝x，
在Rt△ACD中，∵AD2＝AC2+CD2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴BD＝5．
19．如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点．求证：DF是AB的垂直平分线．
【答案】证明见解析．
【解析】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵F是BA的中点，
∴DF⊥AB（三线合一），
∴DF是AB的垂直平分线．
20．（2020鄂州一模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．
（1）作线段AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接AM，判断△AMC的形状，并给予证明；
（3）求证：CM=2BM．
【答案】（1）作图见解析．（2）△AMC为直角三角形．（3）证明见解析．
【解析】（1）如图所示即为所求：
（2）△AMC为直角三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵MN垂直平分AB，
∴∠B=∠MAB=30°，
∴∠CAM=120°?30°=90°
∴△AMC为直角三角形．
（3）∵∠CAM=90°，∠C=30°，
∴CM=2AM．
∵MN垂直平分AB，
∴AM=BM，
∴CM=2BM．
21．图①和图②均为正方形网格，点A，B，c在格点上．
（1）请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；
（2）每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．
【答案】见解析．
【解析】（1）如图①、图②所示，四边形ABCD和四边形ABDC即为所求．
（2）如图①，四边形ABCD的面积为：2×4=8；
如图②，四边形ABDC的面积为：×2×（2+4）=6．
22．（2020黄冈模拟）已知：B?O?A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．
（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是，理由是．
（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．
（3）D点在公路OB上，到桥O点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．
【答案】（1）对称；两点之间，线段最短．（2）画图见解析．（3）证明见解析．
【解析】（1）线段PN为所求．
（2）P→C→Q路径最短，点C即为所求．
（3）如图，△CDP即为所求．
由题意得：
OC=OD，∠AOQ=∠BOQ，OP=OP，
∴△COP≌△DOP（SAS），
∴CP=DP，∴△CDP为等腰三角形．
23.（2020衡阳）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠BDE=40°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BAC=80°．
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BED与△CFD中，
∵∠BED=∠CFD，∠B=∠C，BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE=DF
∵∠BDE=40°，
∴∠B=50°，
∴∠C=50°，
∴∠BAC=80°.
24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
（1）求证：BG=CF．
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；（2）BE+CF>EF．
【解析】（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
又∵∠BDG=∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵∠DBG=∠DCF，BD=CD，∠BDG=∠CDF，
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG=CF．
（2）BE+CF>EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG>EG，
即BE+CF>EF．
25.（2020绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC．若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC=45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
【答案】（1）∠DAC的度数不会改变；（2）n°．
【解析】（1）∠DAC的度数不会改变；
∵EA=EC，
∴∠AED=2∠C，①
∵∠BAE=90°，
∴∠BAE=[180°-（90°-2∠C）]=45°+∠C，
∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-（45°+∠C）=45°-∠C，②
由①，②得，∠DAC=∠DAE
+∠CAE=
45°，
（2）设∠ABC=m°，
则∠BAD=（180°-m°）=90°-m°，∠AEB=180°-n°-m°，
∴∠DAE=
n°-∠BAD
=n°-90°+m°，∵EA=EC，
∴∠CAE=∠A
EB=90°-n°-m°，
∴∠DAC=∠DAE
+∠CAE=n°-90°+m°+90°-n°-m°=n°．专题05
分式
1．分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式．其中A叫做分子，B叫做分母．
分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义．
2．分式的基本性质
，
（M为不等于0的整式）．
3．最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简．
4．约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分．
5．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的
分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
6．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下：
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
（2）乘法运算
，其中
是整式，．
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母．
（3）除法运算
，其中是整式，
．
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（4）乘方运算
．
分式的乘方，把分子、分母分别乘方．
7．零指数
．
8．负整数指数
（，为正整数）．
9．分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
10．分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
11．分式方程的解法
解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
12．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知
数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不
适合原方程的根——增根．
因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母
中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．
13.分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、
恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．
考点一、分式有意义的条件
例1
(200衡阳)
要使分式有意义，则x的取值范围是（
）
A.x>1
B.x≠1
C.x=1
D.x≠0
【答案】B
【解析】要使分式有意义,需要使分母不为零,即x－1≠0,∴x≠1,故选B.
【名师点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件：分母不为0．
考点二、分式的值为零的条件
例2
（2020雅安）分式，则x的值是（
）
A.
1
B.
-1
C.±1
D.
0
【答案】A
【解析】∵分式，∴x2-1=0且x+1≠0，解得x=1.故选：A
【名师点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键．
考点三、分式的运算
例3
（2020大连）计算：．
【答案】．
【解析】原式====．
【名师点睛】此题主要考查了分式的混合运算，正确化简分式是解题关键．
考点四、分式的化简求值
例4（2020深圳）先化简，再求值：，其中a=2.
【答案】1
【解析】原式=，===，
当a=2时，．
【名师点睛】本题主要考查分式的化简求值这一知识点,把分式化到最简是解答的关键．
考点五、整数指数幂
例5（2020玉林）2019新型冠状病毒的直径是0.00012mm，将0.00012用科学记数法表示是（
）
A.120×10-6
B.12×10-3
C.1.2×10-4
D.1.2×10-5
【答案】C
【解析】0.00012=1.2×10-4．故选D．
【名师点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
考点六、分式方程的解
例6（2020广东）方程的解是_______．
【答案】x=.
【解析】去分母得2x=3，解得x=经检验x=是原方程的解.故答案为：x=.
【名师点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键．
考点七、分式方程有增根
例7（2020潍坊）若关于x的分式方程有增根,则m的值为______.
【答案】3.
【解析】解原分式方程,去分母得:3x＝（m+3）+(x－2),若原分式方程有增根,则x＝2,将其代入这个一元一次方程,得6＝（m+3）+(2－2),解之得,m＝3.
故答案为：3.
【名师点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
考点八、列分式方程
例8（2020广西）甲、乙两地相距600km，提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，提速后行车时间比提速前减少20min，则可列方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【解析】因为提速前动车的速度为vkm/h，提速后动车的速度是提速前的1.2倍，所以提速后动车的速度为1.2vkm/h，
根据题意可列方程为：，
故选A．
【名师点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
考点九、分式方程的应用
例9（2020黔南州）某单位计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙种品牌消毒剂每瓶的价格比甲种品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲种品牌消毒剂的数量与用400元购买乙种品牌消毒剂的数量相同.
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该单位从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙种品牌消毒剂？
【答案】（1）甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为40元；（2）购买了20瓶乙品牌消毒剂.
【解析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为（3x-50）元，
由题意得：，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解且符合实际意义.
3x-50=40.
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元，乙甲品牌消毒剂每瓶的价格为40元
（2）设购买甲品牌消毒剂y瓶，乙甲品牌消毒剂（40-y）瓶,
由题意得：30y+40（40-y）=1400，
解得：y=20
∴40-y=40-20=20.
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂.
【名师点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准等量关系以及等量关系是解题的关键．
1．在式子中，分式的个数是（
）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
【答案】B
【解析】分式有：，x+共有3个．故选B．
2.（2020衡阳）如果分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（
）
A.
x≠－
1
B.
x＞－1
C.
全体实数
D.
x＝－1
【答案】A．
【解析】由分式在实数范围内有意义，得x＋1≠0，所以x≠－1故选A．
3．（2020威海）人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统地55颗导航卫星，至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统新座部署，北斗三号卫星上配置的新一代国产原子弹，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒，十亿分之一用科学记数法表示为（
）
A.10×10-10
B.1×10-9
C.0.1×10-8
D.1×109
【答案】B
【解析】∵十亿分之一==1×10-9
∴十亿分之一用科学记数法表示为：1×10-9
故选B．
4.（2020成都模拟）分式方程的解为（
）
A．x＝﹣1
B．x＝1
C．x＝2
D．x＝﹣2
【答案】A
【解析】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），
解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，故x＝﹣1是原方程的解．
故选：A．
5．把分式
中的
都扩大到原来的3倍，则分式的值（
）
A．扩大到原来的3倍
B．扩大到原来的6倍
C．缩小为原来的
D．不变
【答案】D
【解析】．故选D．
6.（2020河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵a≠b，
A、，故选项错误；
B、
，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选：D．
7．对分式通分时，最简公分母是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】最简公分母为：12xy2．故选D．
8．下列计算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】．
9.（2020随州）的计算结果为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】原式＝==
故选B．
10．计算÷（x-），结果正确的是（
）
A．
B．1
C．
D．-1
【答案】A
【解析】÷(x-)=)==．故选A．
11.
（2020鸡西）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（
）
A.
3
B.
5
C.
3或5
D.
3或4
【答案】D．【解析】解分式方程，得，
经检验，是分式方程的解，
分式方程有正整数解，
则整数m的值是3或4．
故选D．
12.（2020荆门）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的乘积为（
）
A．正数
B．负数
C．零
D．无法确定
【答案】A．
【解析】，
（2x+3）（x+3）=k+2(x-2)(x+3)
，
解得，,
∵-4∴，
解得，k=-6、-5、-4、-3、-2、-1、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13.
∴符合条件的所有k值的乘积为正数．
故选Ａ．
二、填空题
13．_______，_______．
【答案】
【解析】
．故答案为：．
14．(2020金昌)
要使分式有意义，需满足的条件是______.
【答案】x≠
【解析】要使分式有意义,需要使x－1≠0,所以x≠1.
15.
（2020镇江）根据数值转换机的示意图，输出的值为______.
【答案】．
【解析】当x=-3时，．
16．（2020长沙模拟）若，则__________．
【解析】∵x-3n=6，∴．故答案为：．
17．=__________．
【答案】
【解析】．故答案为：．
18.（2020济宁）已知：，则分式的值是_______．
【答案】
【解析】原式===，
当时，
原式=.
19．分式方程
若要化为整式方程，在方程两边同乘的最简公分母是_______．
【答案】
【解析】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．根据定义，最简公分母应为．
20.
（2020眉山）关于x的分式方程的解为正实数，则k的取值范围是
．
【答案】k>-2且k≠2.
【解析】去分母得：1
+2(x-2)＝k﹣1，
解得：x＝，
∵，
∴k≠2，由题意得：，
解得：k>2,
k的取值范围是k>-2且k≠2.
故答案为：k>-2且k≠2.
三、解答题
21．（2020济南模拟）写出下列分式中的未知的分子或分母：
（1）
；（2）
；（3）
．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分，而利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，根据定义，，，，
所以括号内的整式依次为，，．
22．（2020石家庄一模）计算：（1）；
（2）．
【答案】（1）3；（2）.
【解析】（1）
．
（2）原式．
23.（2020河池）先化简，再计算：，其中.
【答案】，3.
【解析】原式===
当a=2时，原式=.
24.（2020扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．
进货单
商品
进价（元/件）
数量（件）
总金额（元）
甲
7200
乙
3200
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：
李阿姨：我记得甲商品的进价比乙商品的进价每件高50%．
王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．
【答案】甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件.
【解析】设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1+50％）x元/件，
依题意，得：，
解得：x=40，
经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，
∴（（1+50％）x=60，，.
答：甲商品的进价为60元/件，乙商品的进价为40元/件，购进甲商品120件，购进乙商品80件.
25.（2020永州）某药店在今年3月份，购进了一批口罩，这批口罩包括有一次性医用外科口罩和N95口罩，且两种口罩的只数相同．其中购进一次性医用外科口罩花费1600元，N95口罩花费9600元．已知购进一次性医用外科口罩的单价比N95口罩的单价少10元．
（1）求该药店购进的一次性医用外科口罩和N95口罩的单价各是多少元？
（2）该药店计划再次购进两种口罩共2000只，预算购进的总费用不超过1万元，问至少购进一次性医用外科口罩多少只？
【答案】（1）一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元；（2）至少购进一次性医用外科口罩1400只.
【解析】（1）设一次性医用外科口罩的单价是x元，则N95口罩的单价是（x+10）元，依题意有
，
解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，
x+10=2+10=12.
故一次性医用外科口罩的单价是2元，N95口罩的单价是12元;
（2）设购进一次性医用外科口罩y只，依题意有2y+12（2000-y）≤10000，
解得y≥1400.
故至少购进一次性医用外科口罩1400只.
26.（2020湖州）某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成．已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件．
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变．
方案二
乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变．
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同．
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期间另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元．问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由．
【解析】（1）设甲车间有x名工人参与生产，乙车间有y名工人参与生产，由题意的：
，
解得.
∴甲车间有30名工人参与生产，乙车间有20名工人参与生产.
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人，由题意得：
，
解得：m=5.
经检验，m=5是原方程的解，企鹅符合题意.
∴乙车间需临时招聘5名工人.
②企业完成生产任务所需的时间为：
（天）
∴选择方案一增加的费用为900×18+1500=17700（元），
选择方案二增加的费用为5×18×200=18000（元），
∵17700<18000，
∴选择方案一能更节省开支．专题02
全等三角形
1．全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的周长相等，面积相等．
（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．
（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．
3．全等三角形的判定
（1）判定方法：
①依据定义．
②依据判定定理．
（2）判定定理
①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．
④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．
⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．
（3）证明思路
①
②
③
（4）常用策略：添加辅助线法
①连接两点的线段．
②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．
③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．
④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．
⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．
4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，
∴QD=QE．
5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，
∴OQ平分∠AOB．
6．尺规作图
（1）作已知角（课本P36）．
（2）作角平分线（课本P48）．
（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．
（4）作已知直线的垂线（课本P62）．
①过已知直线上一点作已知直线的垂线
②过已知直线外一点作已知直线的垂线
考点一、全等三角形的性质
例1
（2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（
）
A.
AC=DE
B.
∠BAD=∠CAE
C.
AB=AE
D.
∠ABC=∠AED.
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二、全等三角形的判定
例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（
）
A.
SAS
B.
AAS
C.
SSS
D.
ASA
【答案】A
【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
故选：A.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
考点三、角平分线的性质
例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（
）
A.
3
B.
C.
2
D.
6
【答案】A．
【解析】∵∠B=90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，
DE⊥AC，∴DE=BD=3，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点四、角平分线的判定
例4
（2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P.
且AP=BP，∠APB=120°．
求证：点P在∠MON的平分线上.
【答案】见解析.
【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S，
PT⊥ON于点T，
∴∠OSP=∠OTP=90°，
在四边形OSPT中，∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，
∴∠APB=∠SPT=120°
∴∠APS=∠BPT，又∵∠ASP=∠BTP=90°
AP=BP∴△APS≌△BPT
∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上.
【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．
考点五、尺规作图
例5
（2020金昌）如图，在中，是边上一点，且.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点.
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.
【答案】见解析.
【解析】（1）①如图，
BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F，
（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=AC，位置关系为：EF∥AC.
【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
考点六、全等三角形的判定与性质
例6（2020南通）如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（
）
A.
B.
2
C.
2
D.
3
【答案】A
【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，∵
∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴AC=，
∵点B为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，
∴△BFD≌△CKD（AAS）∴BD=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，
在Rt△CAN中，AN故选：A.
【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.
考点七、全等三角形的实际应用
例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.
于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等.
已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．
【答案】商业大厦的高MN为80米.
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF=∠BFE=90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，CE⊥MN，BF⊥MN，∴CE=BF，AE=AC，
∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF=EM=31+18=49，EF=CB=18，
∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）
答：商业大厦的高MN为80米.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.
一、选择题
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（
）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【解析】根据题意，由于三角形的两角和它们的夹边是完整的，因此，可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．
2.
（2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（
）
A．50°
B．58°
C．72°
D．60°
【答案】A【解析】∵两个三角形全等，∴∠α＝50°，故选：A．
3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（
）
A．全等三角形的大小相等
B．两个等边三角形一定是全等三角形
C．全等三角形的形状相同
D．全等三角形的对应边相等
【解析】A、全等三角形的大小相等，说法正确，故A选项错误；
B、两个等边三角形，三个角对应相等，但边长不一定相等，所以不一定是全等三角形，故B选项正确；
C、全等三角形的形状相同，说法正确，故C选项错误；
D、全等三角形的对应边相等，说法正确，故D选项错误．
故选B．
4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BC
B．∠DAB＝∠CBA
C．△ACE≌△BDE
D．AC＝CE
【答案】D
【解析】在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA，AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAD＝∠ABC，AD＝BC，∴AE＝BE，又∵∠C＝∠D＝90°，∠AEC＝∠BED，
∴△ACE≌△BDE．故选：D．
5．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．△APE≌△APF
D．
【答案】D
【解析】∵P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴PE=PF，又有AP=AP，
∴△APE≌△APF（HL），∴AE=AF，故选D．
6．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【解析】直接数出图中全等三角形的总对数为6对．故选D．
7．如图，，则（
）
A．45°
B．55°
C．35°
D．65°
【答案】B
【解析】因为，所以CF=BE，而，所以，所以．故选B．
8．（2020通州一模）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（
）
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
【答案】B
【解析】∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，
在△ADE和△FCE中，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝3，∵AB＝4，
∴DB＝AB﹣AD＝4﹣3＝1，故选B．
9．（2020焦作模拟）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】是的角平分线，，，，，
，，，，，，
，
在与中，，，
，，故选．
10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.
其中正确是结论个数有（
）个．
A.
4
B.3
C.2
D.1
【答案】B
【解析】∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA=∠ODB，AC=BD，故②正确.
∵∠OAC=∠ODB，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∴∠AMB=∠AOB=36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA=∠OHB=90°，∵△AOS≌△BOD，∴OG=OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设OM平分∠AOD，则∠DOM=∠AOM，在△AOM与△DMA中，
∠AOM=∠DOM，OM=OM，∠AMO=∠DMO，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO=OD，OC=OD，
而OA故选：B.
二、填空题
11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为
．
?
【答案】82°.
【解析】∵AC平分∠DCB，∴∠BCA=∠DCA，又∵CB=CD，AC=AC∴△ABC≌△ADC，（SAS），
∴∠B=∠D，∴∠B+∠ACB=∠D+∠ACD，∵∠CAE=∠D+∠ACD=49°，
∴∠B+∠ACB=49°∴∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠CAE=82°
故答案为：82°.
12.
（2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为
．
【答案】3.
【解析】根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，
当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3∴PM=PD=3，
故答案为：3.
13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．
【答案】130°
【解析】∵△ABD≌△CBD，∴∠C=∠A=80°，
∴∠ADC=360°-∠A-∠ABC-∠C=360°-80°-70°-80°=130°．
故答案为：130°．
14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是
．
【答案】8．【解析】∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，
延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，
在△ADH与△BCD中，，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，
∵∠ACH＝30°，∴CHAH＝4，∴CD＝2，∴△ABC的面积＝2S△BCD＝24×28，
故答案为：8．
15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为
．
【答案】6
【解析】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，
DE=DG，DF=DH，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL）∴S△ADF＝S△ADH，即28+S＝40﹣S，解得S＝6．
故答案为：6.
16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是
．（只填一个即可）
【答案】（或等）
【解析】，
可以添加，此时满足；添加条件，此时满足；
添加条件，此时满足，故答案为：（或等）．
三、解答题
17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC
D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．
【答案】见解析．
【解析】证明：连接AC，
在△AEC与△AFC中，AC=AC，CE=CF，AE=AF，∴△AEC≌△AFC（SSS），
∠ACE＝∠CAF，∵∠B＝∠D=90°，
∴CB=CD．
18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．
【答案】见解析．
【解析】证明：∵AB=AC，∴∠B＝∠C，在△ABD与△ACE中，
AB=AC，∠B＝∠C，BD
=CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD=AE，∠ADE＝∠AED．
19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.
求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析．
【解析】（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵AC=BC，∠1=∠2，CE=CE，∴△ACE≌△BCE（SAS）；
（2）AE=BE，
理由如下：在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，∵AD=CB，∠3=∠4，CF=DE，∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，∴AE=BE.
20．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
【答案】如图所示，点P就是所求作的点．
【解析】本题主要考查尺规作角平分线和尺规作垂直平分线．
作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，
BE=CD，BF=CA，连接EF．
（1）求证：∠D=∠2；
（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠2=78°．
【解析】（1）在与中，
；
∵，∠D=78°，∴=78°，∵EF//AC，∴=78°．
22.（2020泸州一模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．
【答案】见解析.
【解析】证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC（AAS），∴OB＝OC．
23.（2020荆门）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴．∵平分，
∴，∵，∴，
∴．
（2）∵∴又，∴，∴，
∵∴，
∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，
∵，∴，
在中，，设AF=x，则BF=2x，x2+42=（2x）2，3x2=16，x2=，
．
24.（2020内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC的异侧，，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=40°，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）70°．
【解析】（1）证明：，，
在与中，
，；；
（2）∵，，，，
∵，，，∴，．
25．（2020武汉模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变，∠QMC=60°；
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变，∠QMC=120°．
【解析】（1）证明：∵△ABC是等边三角形．
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，又∵点P、Q运动速度相同，∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，∴△ABQ≌△CAP（SAS）．
（2）点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°．
（3）点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°．专题03
轴对称
1．轴对称图形与轴对称的相关概念
（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
2．轴对称的性质
（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．
（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．
（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别：
（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；
（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．
联系：
（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；
（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
4．线段垂直平分线的性质及判定
性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．
判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤
先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．
6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系
（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．
（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．
（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．
7．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．
8．等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．
9．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．
10．等边三角形的判定
（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．
（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．
11．含30度角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
12．最短路径问题
利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．
考点一、轴对称图形
例1
（2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
考点二、轴对称的性质
例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（ ）
A．10°
B．20°
C．30°
D．40°
【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，
∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，∴∠AB/B=∠B=50°，
∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，
故选：A.
【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．
考点三、利用轴对称设计图案
例3
（2020吉林）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．，，均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（2）在图②中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且，为格点．
（3）在图③中，画一个，使与关于某条直线对称，且，，为格点．
【答案】（1）（2）（3）见解析．
【解析】（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．
【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．
考点四、图形的剪拼
例4
（2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），的度数是
．
【答案】
【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到的度数是．
【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．
考点五、轴对称与最小值
例5
（2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，，连接、，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），
∴AC+BD=
∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.
∵N（-2，4），Q（0，-2）
P/M+P/N的值最小值=P/N+P/Q=NQ=，
∴AC+BD的最小值为2，
故选：B.
【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.
考点六、线段垂直平分线的性质
例6
（2020枣庄）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接AE，若，，则的周长为
A．8
B．11
C．16
D．17
【答案】B
【解析】垂直平分，，
的周长，故选B．
【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
考点七、坐标与图形变化--对称
例7
（2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B的对应点B'的坐标为（ ）
A．（1，7）
B．（0，5）
C．（3，4）
D．（-1，2）
【答案】C
【解析】由坐标系可得B（-1，1），将△ABC先沿y轴翻折得到B点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B的对应点/的坐标为（3，1+3），即（3，4），
故选：C.
【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．
考点八、等腰三角形的性质
例8
（2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是
．
【答案】10或11．
【解析】由题意知，应分两种情况：
（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，，能构成三角形；周长=3+3+4=10，
（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，
故答案为：10或11．
【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．
考点九、等腰三角形的判定
例9
（2020黄冈模拟）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
【答案】见解析
【解析】证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE．
【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．
考点十、等边三角形的性质
例10
（2020常州）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=
°．30
【答案】30
【解析】∵EF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠B=∠BCF，∴△ACF为等边三角形，
∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，故答案为：30.
【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF是解本题的关键．
考点十一、等边三角形的性质与判定
例11
（2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC=
48米．
【答案】48
【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC=48米，
∴AC=48米.故答案为：48.
【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC是等边三角形．
考点十二、含30度角的直角三角形
例12
（2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=3，则BD的长度为
．
【答案】2．
【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，
∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵BC=3，∴CD+2CD=3，∴CD=
∴DB=2，
故答案为：2.
【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.
1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（ ）
A．100°
B．104°
C．108°
D．112°
3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（ ）
A．25°
B．45°
C．30°
D．20°
4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（ ）
A.
40°
B.
45°
C.50°
D.60°
5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（
）
A．（3，1）
B．（3，?1）
C．（?3，1）
D．（?3，?1）
6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（
）
A．13
B.
17
C.
13或17
D.13或10
7．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120°
B.
130°
C.
145°
D.150°
8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（
）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（
）
A．10
B．16
C．8
D．4
10．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点E，则DF的长为（
）
A．4.5
B．5
C．5.5
D．6
11.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（
）
A.60°
B.65°
C.75°
D.80°
12.（2020四川模拟）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，AE=1.连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面，得△AEF，连接DF.过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（
）
A.8
B.
C.
D.
二、填空题
13．我国传统木质结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一常见的图案，这个图案有______条对称轴．
14.（2020天门模拟）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为
.
15.（2020台州）如图，等边三角形纸片ABC边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是
.
16.（2020南京）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=
.
三、解答题
17.（2020仙桃模拟）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n．
18.（2020荆州一模）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8．
（1）用直尺和圆规作AB的垂直平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若（1）中所作的垂直平分线交BC于点D，求BD的长．
19．如图，点D是BC的中点，DE垂直平分AC，垂足为E，F是BA的中点．求证：DF是AB的垂直平分线．
20．（2020鄂州一模）如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．
（1）作线段AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接AM，判断△AMC的形状，并给予证明；
（3）求证：CM=2BM．
21．图①和图②均为正方形网格，点A，B，c在格点上．
（1）请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；
（2）每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．
22．（2020黄冈模拟）已知：B?O?A是一条公路，河流OP恰好经过桥O平分∠AOB．
（1）如果要从P处移动到公路上路径最短，除图中所示PM外，还可以选择PN，求作这条路径，两条路径的关系是，理由是．
（2）河流下游处有一点Q，如果要从P点出发，到达公路OA上的点C后再前往点Q，请你画出一条最短路径，表明点C的位置．
（3）D点在公路OB上，到桥O点的距离与C点相等，作出△CDP，求证：△CDP为等腰三角形．
23.（2020衡阳）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠BDE=40°，求∠BAC的度数．
24．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．
（1）求证：BG=CF．
（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．
25.（2020绍兴）问题：如图，在△ABD中，BA=BD，在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA=EC．若∠BAE=90°，∠B=45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC=45°．
思考：（1）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
（2）如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉，再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．专题02
全等三角形
1．全等三角形定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等．
（2）全等三角形的周长相等，面积相等．
（3）全等三角形的对应的中线、高、角平分线相等．
（4）传递性：若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP．
3．全等三角形的判定
（1）判定方法：
①依据定义．
②依据判定定理．
（2）判定定理
①三边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SSS”）．
②两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写为“SAS”）．
③两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写为“ASA”）．
④两角分别相等且其中一角的对边也相等的两个三角形全等（可以简写为“AAS”）．
⑤斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写为“HL”）．
（3）证明思路
①
②
③
（4）常用策略：添加辅助线法
①连接两点的线段．
②过某点做某线的平行线，帮助找到相等的角，从而构造出全等三角形．
③作垂线，以出现直角、距离、高；题中若有角平分线、等腰三角形等条件时常作这样的辅助线，便于找到相等线段或便于用三线合一定理．
④题中出现垂直平分线条件时，向线段两端点连线．
⑤截取与某线段相等的线段，从而构造出全等三角形．
4．角的平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
几何语言：∵OQ平分∠AOB，且QE⊥OB，QD⊥OA，
∴QD=QE．
5．角的平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．
几何语言：∵QE⊥OB，QD⊥OA，且QD=QE，
∴OQ平分∠AOB．
6．尺规作图
（1）作已知角（课本P36）．
（2）作角平分线（课本P48）．
（3）作线段的垂直平分线（课本P63）．
（4）作已知直线的垂线（课本P62）．
①过已知直线上一点作已知直线的垂线
②过已知直线外一点作已知直线的垂线
考点一、全等三角形的性质
例1
（2020淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（
）
A.
AC=DE
B.
∠BAD=∠CAE
C.
AB=AE
D.
∠ABC=∠AED.
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，∠ABC=∠ADE，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE.
故A，C，D选项错误，B选项正确，
故选：B.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
考点二、全等三角形的判定
例2（2020永州）如图，已知AB=DC，∠ABC=∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（
）
A.
SAS
B.
AAS
C.
SSS
D.
ASA
【答案】A
【解析】∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
故选：A.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
考点三、角平分线的性质
例3（2020怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（
）
A.
3
B.
C.
2
D.
6
【答案】A．
【解析】∵∠B=90°，∴DB⊥AB，又∵AD平分∠BAC，
DE⊥AC，∴DE=BD=3，
故选：A．
【名师点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
考点四、角平分线的判定
例4
（2020焦作月考）已知，如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P.
且AP=BP，∠APB=120°．
求证：点P在∠MON的平分线上.
【答案】见解析.
【解析】如图，过点P分别作PS⊥OM于点S，
PT⊥ON于点T，
∴∠OSP=∠OTP=90°，
在四边形OSPT中，
∠SPT=360°-∠OSP-∠SOT-∠OTP=360°-90°-60°-90°=120°，∴∠APB=∠SPT=120°
∴∠APS=∠BPT，
又∵∠ASP=∠BTP=90°
AP=BP
∴△APS≌△BPT
∴PS=PT
∴点P在∠MON的平分线上.
【名师点睛】本题考查全等三角形的性质和角平分线的判定定理，角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．用判定定理证明较为简单．题中角平分线的性质定理和判定定理都要用到，注意书写的规范，弄清每个定理需要的条件及得出的结论．
考点五、尺规作图
例5
（2020金昌）如图，在中，是边上一点，且.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的角平分线交于点；
②作线段的垂直平分线交于点.
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系.
【答案】见解析.
【解析】（1）①如图，
BE即为所求；
②如图，线段DC的垂直平分线交DC于点F，
（2）∵BD=BA，BE平分∠ABD，
∴点E是AD的中点，
∵点F是CD的中点，∴EF是△ADC的中位线，
∴线段EF和AC的数量关系为：EF=AC，
位置关系为：EF∥AC.
【名师点睛】本题考查了作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，灵活运用所学知识解决问题．
考点六、全等三角形的判定与性质
例6（2020南通）如图，在△ABC中，AB=2，∠ABC=60°，∠ACB=45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（
）
A.
B.
2
C.
2
D.
3
【答案】A
【解析】如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△AHB中，∵
∠ABC=60°，AB=2，∴BH=1，AH=，
在Rt△AHC中，∠ACB=45°，∴AC=，
∵点B为BC中点，∴BD=CD，在△BFD与△CKD中，
∠BFD=∠CKD=90°，∠BDF=∠CDK，BD=CD，∴△BFD≌△CKD（AAS）∴BD=CK，
延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，
可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN，在Rt△CAN中，AN故选：A.
【名师点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键.
考点七、全等三角形的实际应用
例7（2020陕西）如图所示，小明家与小华家同住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN，他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.
于是，他俩上楼来到小华家，在窗台C处测得大厦底部的俯角∠2的度数，竟然发现∠1与∠2恰好相等.
已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB=31m，BC=18m，试求商业大厦的高MN．
【答案】商业大厦的高MN为80米.
【解析】如图，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F，
∴∠CEF=∠BFE=90°，∵CA⊥AM，NM⊥AM，CE⊥MN，BF⊥MN，∴CE=BF，AE=AC，
∵∠1=∠2，∴△BFN≌△CEM（ASA），∴NF=EM=31+18=49，EF=CB=18，
∴MN=NF+EM-EF=49+59-18=80（m）
答：商业大厦的高MN为80米.
【名师点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造全等三角形解决问题.
一、选择题
1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（
）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
2.
（2020荆州一模）如图，两个三角形全等，则∠α的度数是（
）
A．50°
B．58°
C．72°
D．60°
3．下列关于全等三角形的说法不正确的是（
）
A．全等三角形的大小相等
B．两个等边三角形一定是全等三角形
C．全等三角形的形状相同
D．全等三角形的对应边相等
4.（2020鄂州期中）如图，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC＝BD，BC，AD相交于点E，下列说法错误的是（ ）
A．AD＝BC
B．∠DAB＝∠CBA
C．△ACE≌△BDE
D．AC＝CE
5．如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，下列结论中不正确的是（
）
A．
B．
C．△APE≌△APF
D．
6．如图，已知，则图中全等三角形的总对数是（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．如图，，则（
）
A．45°
B．55°
C．35°
D．65°
8．（2020通州一模）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（
）
A．0.5
B．1
C．1.5
D．2
9．（2020焦作模拟）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（
）
A．
B．
C．
D．
10．（2020鄂州）如图，在△AOB和△CDO中，OA=OB，OC=OD，OA下列结论：①∠AMB=36°，②AC=BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD.
其中正确是结论个数有（
）个．
A.
4
B.3
C.2
D.1
二、填空题
11．（2020江西）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49°，则∠BAE的度数为
．
?
12.
（2020湘潭）如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为
．
13.如图，△ABD≌△CBD，若∠A=80°，∠ABC=70°，则∠ADC的度数为______．
14．（2020菏泽模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是
．
15．（2020武汉模拟）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为
．
16.（2020齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB=∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是
．（只填一个即可）
三、解答题
17.（2020鞍山）如图，在四边形ABC
D中，∠B=∠D=90°，点E，F分别在AB，AD上，AE=AF，CE=CF，求证：CB=CD．
18.（2020大连）如图，△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，BD=CE，求证：∠ADE=∠AED．
19.（2020河池）（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.
求证：△ACE≌△BCE．
（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
20．如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路m，n的距离也必须相等．发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
21.（2020镇江）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1=∠B，点E、F分别在AB、BC上，EB=CD，
BE=CD，BF=CA，连接EF．
（1）求证：∠D=∠2；
（2）若EF∥AC，∠D=78°，求∠BAC的度数．
22.（2020泸州一模）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD．求证：OB＝OC．
23.（2020荆门）如图，中，，的平分线交于D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）若，求的度数；
（2）若，求的长．
24.（2020内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC的异侧，，AE=DF，∠A=∠D．
（1）求证：AB=CD；
（2）若AB=CF，∠B=40°，求的度数．
25．（2020武汉模拟）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则
∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．