江西省赣县第三中学2020-2021学年高二上学期期末复习理科数学试卷Word含解析

高二理复习卷数学
命题人： 审题人： 2021年1月9日
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设P是双曲线=1(a>0，b>0)上的点，F1?F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积是7，则a+b等于（ ）
A．3+ B．9+ C．10 D．16
2．为了保证抗击新型冠状肺炎期间的蔬菜供应，某大型超市统计了2月1号~10号连续天蔬菜进货量和出货量(单位：吨)如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．出货量的最高值与出货量的最低值的比是
B．天中剩余蔬菜最多的一天是2月4号
C．2月3号~4号的进货量的变化率比2月7号~8号进货量的变化率大
D．这10天每天平均剩余蔬菜为21吨
3．已知命题：且，都有；命题：，.则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、、分别沿、、折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
5．新冠肺炎肆虐全，疫情波及多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）
A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊
C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁
6．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A． B． C． D．
7．设x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，将这五个数据依次输入如图程序框图进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（ ）
A．S＝4，即5个数据的标准差为4 B．S＝4，即5个数据的方差为4
C．S＝20，即5个数据的方差为20 D．S＝20，即5个数据的标准差为20
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若，的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C．D．
9．如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为（ ）．
A．B．C．D．
10．已知，分别为椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上的一点，点在线段延长线上，且，过作直线于，则动点的轨迹为（ ）.
A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆
11．已知，是异面直线，，，，，，，，则异面直线，所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
12．已知F1，F2为椭圆 (a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是_________．
15．长方体中，，设点关于直线对称点为，则点与点之间的距离是_________
16．对抛物线：，有下列命题：
①设直线：，则直线被抛物线所截得的最短弦长为4；
②已知直线：交抛物线于、两点，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线的焦点为，抛物线上一点和抛物线内一点，过点作抛物线的切线，直线过点且与垂直，则平分；
其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.
三、解答题
17．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号．
（1）如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．
（2）所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
人数 数学
优秀 良好 及格
地理 优秀 7 20 5
良好 9 18 6
及格 a 4 b
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求，的值．
（3）若，，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．
附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67
21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75
12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38
15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
（1）求第七组的频率并估计该校800名男生中身高在以上（含）的人数；
（2）估计该校800名男生的身高中位数和平均数；
（3）从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求.
19．设命题实数满足；命题实数满足
（1）若，，都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．如图，在四棱锥 P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，PC=4
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）在线段PA上是否存在一点N，使得二面角A-BD-N的余弦值为若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由
21．（1）用分析法证明：当，时，；
（2）证明：对任意,，，这个值至少有一个不小于.
22．抛物线与直线有唯一公共点，且的焦点为.
（1）用含的式子表示.
（2）若点与关于直线对称，证明的纵坐标为定值.
23．如图，在三棱柱中，已知是直角三角形，侧面是矩形，AB＝BC＝1，BB1＝2，．
（1）证明：BC1⊥AC．
（2）E是棱CC1的中点，求直线B1C与平面ABE所成角的正弦值．
24．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
（3）若动直线与椭圆有且仅有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线的距离之积为3？若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
高二理复习卷数学
命题人： 审题人： 2021年1月9日
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设P是双曲线=1(a>0，b>0)上的点，F1?F2是焦点，双曲线的离心率是，且∠F1PF2=90°，△F1PF2的面积是7，则a+b等于（ ）
A．3+ B．9+ C．10 D．16
由题意，不妨设点P是右支上的一点，|PF1|=m，|PF2|=n，则∴a=3，c=4.
∴b=.∴a+b=3+.故选：A
2．为了保证抗击新型冠状肺炎期间的蔬菜供应，某大型超市统计了2月1号~10号连续天蔬菜进货量和出货量(单位：吨)如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．出货量的最高值与出货量的最低值的比是
B．天中剩余蔬菜最多的一天是2月4号
C．2月3号~4号的进货量的变化率比2月7号~8号进货量的变化率大
D．这10天每天平均剩余蔬菜为21吨
【答案】A根据给定的2月1号~10号连续天蔬菜进货量和出货量(单位：吨)统计图表，
可得：出货量的最高值与出货量的最低值的比应是，所以A错误；
这天中，从每天的剩余吨数为：，其中2月4号剩余蔬菜量为吨，这是中，剩余蔬菜最多的一天，所以B正确；
2月3号~4号进货量的变化率为，2月7号~8号进货量变化率为，
所以2月3号~4号的进货量的变化率比2月7号~8号进货量的变化率大，所以C正确；
由，即这10天每天平均剩余蔬菜为21吨，所以D正确.
3．已知命题：且，都有；命题：，.则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
当时，，所以命题是假命题，
因为恒成立，所以命题：，为假命题.
所以为真命题.故选：D
4．如图，边长为的正方形中，点、分别是、的中点，将、、分别沿、、折起，使得、、三点重合于点，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）．
A．B．C．D．
四面体为底面为等腰，顶点为的三棱锥，
则，，，，则，，
又，则为直角三角形，，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设四面体的外接球的球心为，则，由空间两点间距离公式知：，，
，解得，，，
所以半径为，
所以该球的表面积为.
5．新冠肺炎肆虐全，疫情波及多个国家和地区；一些国家宣布进入“紧急状态”，全球股市剧烈震荡……新冠肺炎疫情严重挑战公共卫生安全，全面冲击世界经济运行，深刻影响社会生活运转.这场全球公共卫生危机，需要国际社会的通力合作，在一次国际医学学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（ ）
A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊
C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁
【答案】D
戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流，则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，
6．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A． B． C． D．
如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，.
7．设x1＝17，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝23，将这五个数据依次输入如图程序框图进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（ ）
A．S＝4，即5个数据的标准差为4 B．S＝4，即5个数据的方差为4
C．S＝20，即5个数据的方差为20 D．S＝20，即5个数据的标准差为20
数据，则，
根据程序框图进行计算，则输出
，它是计算这5个数据的方差．故选：B．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，为轴上一点，为正三角形，若，的中点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C．D．
因为为正三角形，所以，取线段的中点，连结，则，所以，得，所以椭圆的离心率.故选：A.
9．如图，正方体的棱长为，、分别是棱、上的点，若平面，则与的长度之和为（ ）．
A．B．C．D．
以为坐标原点，、、为、、轴建立空间直角坐标系，设，，
则，，，，
∴，，由于平面，
∴，即， 故与的长度之和为.故选：D．
10．已知，分别为椭圆（）的左、右焦点，是椭圆上的一点，点在线段延长线上，且，过作直线于，则动点的轨迹为（ ）.
A．椭圆 B．抛物线 C．双曲线 D．圆
根据题意，即
故平分，又因为，设关于的对称点为，所以，
由椭圆定义可得，在中，为中位线，
故，所以（定值），故点的轨迹为圆.
11．已知，是异面直线，，，，，，，，则异面直线，所成的角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
，因为，故，所以，
而，故，所以，整理得到：，因为，故，故异面直线，所成的角为.
12．已知F1，F2为椭圆 (a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
根据题意不妨设B(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
因为，所以，又因为b2＝a2－c2，所以，即..故选：C.
二、填空题
13．若“存在x∈[﹣1，1]，成立”为真命题，则a的取值范围是___．
【答案】
存在x∈[﹣1，1]，成立，即在上有解，
设，，易得y＝f(x)在[﹣1，1]为减函数，
所以，即，即，
即，所以，故答案为：．
14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则乙获胜的概率是_________．
【答案】。因为事件“乙获胜”与事件“两人下和棋或甲获胜”互为对立事件，所以乙获胜的概率．故答案为：
15．长方体中，，设点关于直线对称点为，则点与点之间的距离是_________
【答案】
画出过点，线段的平面图如图所示：过点作于点，
因为点是点关于直线对称点，所以且平分，
所以，
因为长方体中，，
所以，，，
所以，，所以
，，在中由余弦定理得
，
16．对抛物线：，有下列命题：
①设直线：，则直线被抛物线所截得的最短弦长为4；
②已知直线：交抛物线于、两点，则以为直径的圆一定与抛物线的准线相切；
③过点与抛物线有且只有一个交点的直线有1条或3条；
④若抛物线的焦点为，抛物线上一点和抛物线内一点，过点作抛物线的切线，直线过点且与垂直，则平分；
其中你认为是正确命题的所有命题的序号是______.
【答案】①②④
①联立方程，消去可得，恒成立，
设两交点坐标分别为，，
所以由根与系数的关系得，，
故，
当时，取得最小值4，所以最短弦长为4，故①正确，
②由①可知，则，
故以为直径的圆的圆心坐标为，半径，
抛物线的准线方程为，
故圆心到准线的距离，
所以以为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故②正确，
③将代入，解得，所以当时，即在抛物线上，
当直线的斜率不存在时，方程为，此时只有一个交点，
当直线斜率存在且只与抛物线只有一个交点时，当且仅当该直线为切线时满足条件，
所以过点只与抛物线只有一个交点的直线有可能有2条，故③错误，
④因为抛物线的焦点为，又，，
所以三角形为直角三角形且过的切线斜率一定存在，
设的方程为，代入，可得，
由可得，即直线的倾斜角为，
因为直线过点且与垂直，所以一定平分，故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题
17．已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩统计，先将800人按001，002，003，…，800进行编号．
（1）如果从随机数表的第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取到的3个人的编号．
（2）所抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：
人数 数学
优秀 良好 及格
地理 优秀 7 20 5
良好 9 18 6
及格 a 4 b
成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如表中数学成绩为良好的人数为20＋18＋4＝42.若在该样本中，数学成绩优秀率为30%，求，的值．
（3）若，，求“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的概率．
附：(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)
84 42 17 53 31　57 24 55 06 88　77 04 74 47 67
21 76 33 50 25　83 92 12 06 76
63 01 63 78 59　16 95 55 67 19　98 10 50 71 75
12 86 73 58 07　44 39 52 38 79
33 21 12 34 29　78 64 56 07 82　52 42 07 44 38
15 51 00 13 42　99 66 02 79 54
（1）依题意知，最先抽取到的3个人的编号依次为785，567，199；
（2）由题意可得，解得.
因为，所以；
（3）由题意知，，，
则满足条件的有，，，，，，，，，，，，，，共组．
其中满足“在地理成绩为及格的学生中，数学成绩为优秀的人数比及格的人数少”的有，，，，，，共组．
故所求概率.
18．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.
（1）求第七组的频率并估计该校800名男生中身高在以上（含）的人数；
（2）估计该校800名男生的身高中位数和平均数；
（3）从第六组和第八组的男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为，，事件，求.
【答案】（1）0.06，144人；（2）中位数为，平均数为172.1；（3）.
（1）第六组的频率为，
∴第七组的频率为，
由直方图得后三组频率为，
∴800名男生中身高在以上（含）的人数为人.
（2）由直方图得，身高在第一组的频率为，
身高在第二组的频率为，
身高在第三组的频率为，
身高在第四组的频率为，
由于，
，
设这所学校的800名男生的身高中位数为，
则，
由得，
所以这所学校的800名男生的身高的中位数为，
平均数为.
（3）第六组的人数为4人，设为，，，，
第八组的人数为人，设为，，
则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，
因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.
所以.
19．设命题实数满足；命题实数满足
（1）若，，都是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
当时，由， 得命题，
由，所以命题，
若，都是真命题，则只需求解，即，
因此的取值范围是.
若是的充分不必要条件，则，
当时，则，所以不成立，
当时，解得：，，当时有：
，故的取值范围是.
20．如图，在四棱锥 P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，且平面PAB⊥平面ABCD，AB=2，PC=4
（1）求证：平面PAB⊥平面PAD
（2）在线段PA上是否存在一点N，使得二面角A-BD-N的余弦值为若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点为的中点.
（1）证明：取的中点，连接，
∵为正三角形，∴，
又∵平面平面，且平面平面，
∴平面，
又平面，∴，
又∵，，且，
∴平面．
又∵平面，
∴平面平面．
（2）以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
在直角中，，，∴
∴，
设，则，
则，，
设平面的一个法向量，
则，即，
令，可得得，
而平面的法向量，
由题意知：，解得（舍）或，
∴当点为的中点时，二面角的余弦值为．
21．（1）用分析法证明：当，时，；
（2）证明：对任意,，，这个值至少有一个不小于.
（1）要证不等式成立，只需证成立，
即证：成立，
即证：成立，
即证：成立，
因为所以，所以原不等式成立.
（2）假设这个值都小于，
即
则，（*）
而.
这与（*）矛盾，所以假设不成立，即原命题成立.
22．抛物线与直线有唯一公共点，且的焦点为.
（1）用含的式子表示.
（2）若点与关于直线对称，证明的纵坐标为定值.
解：（1）将代入，
，
∵与只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，
.
（2）设，∵，
设为中点，∴，
在直线上，得①，
的斜率为，
则由与垂直可得，
故②
联立①②：，∵
∴点纵坐标为定值.
23．如图，在三棱柱中，已知是直角三角形，侧面是矩形，AB＝BC＝1，BB1＝2，．
（1）证明：BC1⊥AC．
（2）E是棱CC1的中点，求直线B1C与平面ABE所成角的正弦值．
（1）证明：因为是直角三角形，所以AB⊥BC．
因为侧面是矩形，所以AB⊥BB1．
因为BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，
又因为平面BCC1B1，所以AB⊥BC1．因为BC＝1，BB1＝CC1＝2，，所以，所以BC⊥BC1．因为BC∩AB＝B，所以BC1⊥平面ABC．因为平面ABC．所以BC1⊥AC．
（2）由（1）知，BC，BA，BC1两两垂直，故以B为坐标原点，分别以BC，BA，BC1为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），，．
，（2，0，），
设面ABE的法向量为，由，得，令z1＝1，得．
设直线B1C与平面ABE所成角的大小为θ，则，
所以直线B1C与平面ABE所成角的正弦值为．
24．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
（3）若动直线与椭圆有且仅有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线的距离之积为3？若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.
（1）∵由题，，又∵，∴，，
∵，∴椭圆的方程为.
（2）设，，∵，∴，
∵，，∴
∵联立方程组，整理为 ，
其中，，，
∴，
∵，∴且，∴，
∴实数的取值范围是.
（3）设两定点为，，其中，①当直线不垂直于轴时，直线：，
∵联立方程组整理为，
其中 ，
∵两定点到直线的距离分别为，，
∴
或 ，
∴或对任意恒成立，
若对任意恒成立，则
∴，∴两定点为，.
又对任意不恒成立，
②当直线轴时，∵的方程为，或，
∴两定点为，到的距离之积为3，综上所述，存在两定点为，.