沪科版（2012）初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案
文档属性
| 名称 | 沪科版（2012）初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 507.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-16 17:23:50 | ||
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文档简介
19.4
多边形的镶嵌
教学目标：
了解平面图形镶嵌的定义。
经历探索多边形镶嵌的过程，会设计简单的平面镶嵌图形或图案。
体会平面图形镶嵌在现实生活中的应用。
教学重点：镶嵌需要满足的条件。
教学难点：探索多边形镶嵌的数学建模过程。
教学过程：
情境引入
（垫课）老师带来的这些可以抽象成什么图形？（生答）是的，近期我们都在学习多边形的知识，今天学习的内容仍然与多边形有关。上课！
师：你见过铺地砖吗？最常用的是什么多边形？
生：正方形、长方形。
师：一般是不是这样拼的？图1，把地面铺满。（使用教具）如果这样拼能把地面铺满吗？（图2.）
生：不能，有缝隙。
师：那就再加一个？如图3，可以吗？
生：不行，多了（有重叠）。
师：观察图形，同学们如何理解“铺满”？
生1.
生2：
师：那“有缝隙”、“有重叠”怎么理解的呢？
生3：(有缝隙说明一个点周围各角和＜360°，有重叠就是一个点周围各角和＞360°)
师：生活中用多边形，把平面铺满，既没有缝隙也没有重叠，这就是多边形的镶嵌（板书课题--19.4多边形的镶嵌）
二、新知教学
概念
师：我们怎么给镶嵌下定义的呢？（PPT给出）这就是镶嵌的定义。（板书：在课题中加入---平面镶嵌），也叫密铺。
师：你说说平面镶嵌的关键词.
生：无缝隙，不重叠.
探究
师：今天我们就从简单的正多边形开始。
各小组使用准备的正多边形设计平面镶嵌图形。
1.只使用一种正多边形。
2.使用两种正多边形。
3.使用两种以上正多边形。
（时间5-6分钟，教师巡视，参与学生操作、交流过程）
只用一种正多边形的
师：你使用的哪种正多边形？你们是怎么设计的？（上黑板使用教具展示并解释）
生：正三角形的一个内角为60°，所以，用6个正三角形就可以铺满。6×60°=360°
师：所以，只用正三角形可以密铺。还有使用别的正多边形的吗？
生：我们只使用正方形，正方形的一个内角为90°，所以，用4个正方形可以铺满。4×90°=360°.
师：所以，只用正方形可以密铺。我还看到了用正六边形设计的。
生：正六边形的一个内角为120°，所以，用3个正三角形就可以铺满。3×120°=360°
师：所以，只用正六边形也可以密铺。##组尝试只使用正五边形密铺，效果怎么样？（学生带自己的正五边形上黑板展示）
生：只使用正五边形不能密铺。正五边形的一个内角是108°，所以，用3个的话有缝隙，用4个的话就重叠了。
教师活动：学生汇报时教师记录，如：正三角形
60°×6=360°。正方形........正五边形×......
师：刚才同学们的展示有一个共性就是拼周角360°。为什么拼360°？
生1：因为要密铺.
生2：没有缝隙，没有重叠。
师：正多边形的每个内角度数不同，密铺需要的个数也不同，他们之间有什么联系？假如使用正n边形，需要多少个？
生：360°÷每个内角的度数。教师板书，个数p=。
师：个数p随着n的变化而变化，p必须为什么数？
生：正整数。
师：这样的正多边形有几种？
生1：无数种
生2：只有3种。
教师活动：n越大，角度越大，个数就会越少，少到2个的时候，内角就要180°，有这样的多边形吗？所以，只用一种正多边形作平面镶嵌只有3种。分别是正三角形、正方形、正六边形。
2.用两种正多边形作镶嵌
教师请使用正三角形、正方形的小组汇报。
师：使用两种正多边形作镶嵌，可以吗？怎么作的？请第5组介绍一下。
生：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角90°，设在一个拼接点处有x个正三角形，y个正方形的角∴60°x+90°y=360°即2x+3y=12。
师：根据什么建立的方程？
生：镶嵌就是在一个点处形成周角360°。
师：这是什么方程？
生：二元一次方程。
师：一般情况二元一次方程有无数组解的。
生：x、y是正整数∴方程的正整数解为，
∴这样的平面镶嵌存在。在一个点处有3个正三角形2个正方形。
教师活动：学生汇报时教师板书，以正三角形+正方形为例，计算过程，形成算法。
师：用两种正多边形混拼的方法都是一样的。任意两种正多边形混拼都可以作镶嵌吗？
生：不是
师：什么时候可以？什么时候不可以？
生：按照刚才的方法，若角度与个数建立的二元一次方程有整数解就可以，否则就不可以。
师：求出的整数解有什么意义？
生：就是两种正多边形的个数。
师：好厉害，通过数学模型解决了这一类问题。所以，不再一一展示类似小组作品了。
教师可以在PPT上展示几个混拼的图片，直观感知即可。
师：那么，选择三种或三种以上的正多边形可以镶嵌吗？有兴趣的同学，课下研究一下。
用同一种多边形作镶嵌
师：使用正多边形作镶嵌的探究，大家都紧紧围绕周角展开思考。那么，使用一种足够多的三角形可以镶嵌吗？需要什么条件？组内交流一下。
生：可以。
师：可以的话需要几个？
生：6个。
师：这位同学胸有成竹的样子，请你上来边解释边操作。
生：因为三角形的内角和是180°。那么2个180°就是360°。所以三个角拼成平角180°，再铺一个平角就可以了。所以需要6个。
师：同一种四边形可以吗？
生：可以，四边形内角和360°。用4个四边形把内角凑在一起就可以了。教师活动，PPT展示图片。
师：这样的问题，要看多边形的内角和满足什么条件就可以呢？
生：只要多边形内角和的整数倍是360°即可。
师：近期我们学习了很多的四边形，如平行四边形、矩形、菱形、正方形，他们都可以镶嵌。欣赏图片。
师：同一种五边形呢？
生：不行了，因为五边形的内角和大于360°.
师：正五边形作不了镶嵌，一般的、没有特殊角的五边形不能作镶嵌，但是，目前有15种五边形镶嵌，大家可以课后了解一下。
其实，平面镶嵌不一定用多边形，也可以是不规则图形。荷兰艺术大师埃舍尔，系列作品---埃舍尔镶嵌画，堪称艺术与数学的完美结合。（PPT图片欣赏）
随堂启迪：1.关注数学中的美。2.关注身边的数学。
师：大家看，我拿的什么？
生：足球。
师：足球的表面也是用多边形铺满的。但是，它是平面镶嵌吗？
生：不是
师：对，不是平面镶嵌。所以，镶嵌不仅仅只有平面镶嵌。
三、课堂小结
1.用平面图形不留空隙、不重叠的镶嵌一个平面区域，需使得任一点周围角度和等于360°。
2.可以用同一种正多边形镶嵌的只有正三角形、正方形、正六边形。
3.用同一种三角形或者四边形可以平面镶嵌。
四、作业布置
自己设计一个平面镶嵌。（可以是图形也可以是绘画作品）
知识链接
板书设计
19.4
多边形的镶嵌---平面镶嵌
1.只用一种正多边形
2.用两种正多边形
3.用同一种多边形
对于正n边形，
建立二元一次方程
密铺个数
(
4
)
多边形的镶嵌
教学目标：
了解平面图形镶嵌的定义。
经历探索多边形镶嵌的过程，会设计简单的平面镶嵌图形或图案。
体会平面图形镶嵌在现实生活中的应用。
教学重点：镶嵌需要满足的条件。
教学难点：探索多边形镶嵌的数学建模过程。
教学过程：
情境引入
（垫课）老师带来的这些可以抽象成什么图形？（生答）是的，近期我们都在学习多边形的知识，今天学习的内容仍然与多边形有关。上课！
师：你见过铺地砖吗？最常用的是什么多边形？
生：正方形、长方形。
师：一般是不是这样拼的？图1，把地面铺满。（使用教具）如果这样拼能把地面铺满吗？（图2.）
生：不能，有缝隙。
师：那就再加一个？如图3，可以吗？
生：不行，多了（有重叠）。
师：观察图形，同学们如何理解“铺满”？
生1.
生2：
师：那“有缝隙”、“有重叠”怎么理解的呢？
生3：(有缝隙说明一个点周围各角和＜360°，有重叠就是一个点周围各角和＞360°)
师：生活中用多边形，把平面铺满，既没有缝隙也没有重叠，这就是多边形的镶嵌（板书课题--19.4多边形的镶嵌）
二、新知教学
概念
师：我们怎么给镶嵌下定义的呢？（PPT给出）这就是镶嵌的定义。（板书：在课题中加入---平面镶嵌），也叫密铺。
师：你说说平面镶嵌的关键词.
生：无缝隙，不重叠.
探究
师：今天我们就从简单的正多边形开始。
各小组使用准备的正多边形设计平面镶嵌图形。
1.只使用一种正多边形。
2.使用两种正多边形。
3.使用两种以上正多边形。
（时间5-6分钟，教师巡视，参与学生操作、交流过程）
只用一种正多边形的
师：你使用的哪种正多边形？你们是怎么设计的？（上黑板使用教具展示并解释）
生：正三角形的一个内角为60°，所以，用6个正三角形就可以铺满。6×60°=360°
师：所以，只用正三角形可以密铺。还有使用别的正多边形的吗？
生：我们只使用正方形，正方形的一个内角为90°，所以，用4个正方形可以铺满。4×90°=360°.
师：所以，只用正方形可以密铺。我还看到了用正六边形设计的。
生：正六边形的一个内角为120°，所以，用3个正三角形就可以铺满。3×120°=360°
师：所以，只用正六边形也可以密铺。##组尝试只使用正五边形密铺，效果怎么样？（学生带自己的正五边形上黑板展示）
生：只使用正五边形不能密铺。正五边形的一个内角是108°，所以，用3个的话有缝隙，用4个的话就重叠了。
教师活动：学生汇报时教师记录，如：正三角形
60°×6=360°。正方形........正五边形×......
师：刚才同学们的展示有一个共性就是拼周角360°。为什么拼360°？
生1：因为要密铺.
生2：没有缝隙，没有重叠。
师：正多边形的每个内角度数不同，密铺需要的个数也不同，他们之间有什么联系？假如使用正n边形，需要多少个？
生：360°÷每个内角的度数。教师板书，个数p=。
师：个数p随着n的变化而变化，p必须为什么数？
生：正整数。
师：这样的正多边形有几种？
生1：无数种
生2：只有3种。
教师活动：n越大，角度越大，个数就会越少，少到2个的时候，内角就要180°，有这样的多边形吗？所以，只用一种正多边形作平面镶嵌只有3种。分别是正三角形、正方形、正六边形。
2.用两种正多边形作镶嵌
教师请使用正三角形、正方形的小组汇报。
师：使用两种正多边形作镶嵌，可以吗？怎么作的？请第5组介绍一下。
生：∵正三角形的每个内角60°，正方形的每个内角90°，设在一个拼接点处有x个正三角形，y个正方形的角∴60°x+90°y=360°即2x+3y=12。
师：根据什么建立的方程？
生：镶嵌就是在一个点处形成周角360°。
师：这是什么方程？
生：二元一次方程。
师：一般情况二元一次方程有无数组解的。
生：x、y是正整数∴方程的正整数解为，
∴这样的平面镶嵌存在。在一个点处有3个正三角形2个正方形。
教师活动：学生汇报时教师板书，以正三角形+正方形为例，计算过程，形成算法。
师：用两种正多边形混拼的方法都是一样的。任意两种正多边形混拼都可以作镶嵌吗？
生：不是
师：什么时候可以？什么时候不可以？
生：按照刚才的方法，若角度与个数建立的二元一次方程有整数解就可以，否则就不可以。
师：求出的整数解有什么意义？
生：就是两种正多边形的个数。
师：好厉害，通过数学模型解决了这一类问题。所以，不再一一展示类似小组作品了。
教师可以在PPT上展示几个混拼的图片，直观感知即可。
师：那么，选择三种或三种以上的正多边形可以镶嵌吗？有兴趣的同学，课下研究一下。
用同一种多边形作镶嵌
师：使用正多边形作镶嵌的探究，大家都紧紧围绕周角展开思考。那么，使用一种足够多的三角形可以镶嵌吗？需要什么条件？组内交流一下。
生：可以。
师：可以的话需要几个？
生：6个。
师：这位同学胸有成竹的样子，请你上来边解释边操作。
生：因为三角形的内角和是180°。那么2个180°就是360°。所以三个角拼成平角180°，再铺一个平角就可以了。所以需要6个。
师：同一种四边形可以吗？
生：可以，四边形内角和360°。用4个四边形把内角凑在一起就可以了。教师活动，PPT展示图片。
师：这样的问题，要看多边形的内角和满足什么条件就可以呢？
生：只要多边形内角和的整数倍是360°即可。
师：近期我们学习了很多的四边形，如平行四边形、矩形、菱形、正方形，他们都可以镶嵌。欣赏图片。
师：同一种五边形呢？
生：不行了，因为五边形的内角和大于360°.
师：正五边形作不了镶嵌，一般的、没有特殊角的五边形不能作镶嵌，但是，目前有15种五边形镶嵌，大家可以课后了解一下。
其实，平面镶嵌不一定用多边形，也可以是不规则图形。荷兰艺术大师埃舍尔，系列作品---埃舍尔镶嵌画，堪称艺术与数学的完美结合。（PPT图片欣赏）
随堂启迪：1.关注数学中的美。2.关注身边的数学。
师：大家看，我拿的什么？
生：足球。
师：足球的表面也是用多边形铺满的。但是，它是平面镶嵌吗？
生：不是
师：对，不是平面镶嵌。所以，镶嵌不仅仅只有平面镶嵌。
三、课堂小结
1.用平面图形不留空隙、不重叠的镶嵌一个平面区域，需使得任一点周围角度和等于360°。
2.可以用同一种正多边形镶嵌的只有正三角形、正方形、正六边形。
3.用同一种三角形或者四边形可以平面镶嵌。
四、作业布置
自己设计一个平面镶嵌。（可以是图形也可以是绘画作品）
知识链接
板书设计
19.4
多边形的镶嵌---平面镶嵌
1.只用一种正多边形
2.用两种正多边形
3.用同一种多边形
对于正n边形，
建立二元一次方程
密铺个数
(
4
)