湘教版九年级上学期期末复习---第四章锐角三角函数（1）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则tanB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．若角α，β都是锐角，以下结论：
①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ．其中正确的是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ ）
A．15°
B．45°
C．30°
D．60°
8．下列计算错误的个数是（ ）
①sin60°﹣sin30°＝sin30°
②sin245°+cos245°＝1
③（tan60°）2＝④tan30°＝
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°，正确的按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（ ）
A．
B．3
C．
D．2
11．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ ）
A．a米
B．acotα米
C．acotβ米
D．a（tanβ﹣tanα）米
12．春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．34.2
B．32.7
C．31.2
D．22.7
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是
．
14．已知a为锐角，且tanα﹣，则sinα?cosα＝
．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝
．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sinA＝，若E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离为
．
17．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是
．
18．如图，线段AC，BD交于点P，∠A＝30°，∠ACD＝120°，∠D＝15°，AB＝1，CD＝，则BD的长为
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
20．（满分8分）求下列各式的值：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；
（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
21．（满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
22．（满分8分）放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，已知点A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线AD，BD均为线段，≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
23．（满分8分）如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tan∠AEN＝，DC+CE＝10．
（1）求△ANE的面积；
（2）求sin∠ENB的值．
24．（满分8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
25．（满分8分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
26．（满分12分）当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A.
B.
C.
（1）正确的选项是
；
（2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．湘教版九年级上学期期末复习---第四章锐角三角函数（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则sinB等于（ C ）
A．
B．
C．
D．
2．若∠A是锐角，且sinA＝，则（ A ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinA＝（ C ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，△ABC中，∠C＝90o，tanA＝2，则cosA的值为（ B ）
A．
B．
C．
D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则tanB的值为（ D ）
A．
B．
C．
D．
6．若角α，β都是锐角，以下结论：
①若α＜β，则sinα＜sinβ；②若α＜β，则cosα＜cosβ；③若α＜β，则tanα＜tanβ；④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ．其中正确的是（ C ）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
解析：①∵sinα随α的增大而增大，∴若α＜β，则sinα＜sinβ，此结论正确；
②∵cosα随α的增大而减小，∴若α＜β，则cosα＞cosβ，此结论错误；
③∵tanα随α的增大而增大，∴若α＜β，则tanα＜tanβ，此结论正确；
④若α+β＝90°，则sinα＝cosβ，此结论正确；
综上，正确的结论为①③④，
故选：C．
7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，那么∠B的度数是（ D ）
A．15°
B．45°
C．30°
D．60°
8．下列计算错误的个数是（ C ）
①sin60°﹣sin30°＝sin30°
②sin245°+cos245°＝1
③（tan60°）2＝④tan30°＝
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①sin60°﹣sin30°＝﹣，sin30°＝，错误；
②sin245°+cos245°＝（）2+（）2＝+＝1，正确；
③（tan60°）2＝（）2＝3，错误；
④tan30°＝，＝＝，错误；
故选：C．
9．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°，正确的按键顺序是（B ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（ B ）
A．
B．3
C．
D．2
解析：设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥DC．
∵AC∥BD，
∴，
∴PC＝2DP，
∴AD＝DC＝3DP，
∴．
故选：B．
11．如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（ D ）
A．a米
B．acotα米
C．acotβ米
D．a（tanβ﹣tanα）米
解析：作DE⊥AB于点E．
在直角△AED中，ED＝BC＝a，∠ADE＝α
∵tan∠ADE＝，
∴AE＝DE?tan∠ADE＝a?tanα．
同理AB＝a?tanβ．
∴DC＝BE＝AB﹣AE＝a?tanβ﹣a?tanα＝a（tanβ﹣tanα）．
故选：D．
12．春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（ D ）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．34.2
B．32.7
C．31.2
D．22.7
解析：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，
过点G作GM平行于地面交AE于点M，
坡度为1：2.4，BC＝26，则SC＝24，BS＝10，
∵AN∥SC，∴，
即：，解得：AN＝3.6＝RS，
AR＝NS＝BS+NB＝10+1.5＝11.5，则AM＝10，
RD＝RS+SC+CD＝3.6+24+16＝43.6＝MG，
EM＝MGtan37°＝32.7，
AE＝EM﹣AM＝32.7﹣10＝22.7，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是 ．
14．已知a为锐角，且tanα﹣，则sinα?cosα＝ ．
解析：∵tanα﹣，
∴（tanα+）2＝（tanα﹣）2+4tanα?＝（）2+4＝25．
∵a为锐角，
∴tanα+＞0．
∴tanα+＝5．
∴sinα?cosα＝＝＝．
故答案是：．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝ ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sinA＝，若E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离为 ．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sinA＝，
∴BC＝4，AB＝5，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝BD＝，
∴∠B＝∠DCB，
∵sinB＝＝，
∴sin∠DCB＝，
作EF⊥CD，交CD于点F，
∵sin∠DCB＝，点E为BC的中点，BC＝4，
∴＝，
解得EF＝，
故答案为：．
17．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正切值是 ．
解析：如图取格点K，连接BK，过点K作KH⊥AB于H，如图所示：
∵DB＝CK＝2，DB∥CK，
∴四边形CDBK是平行四边形，
∴CD∥BK，
∴∠AOC＝∠ABK，
过点K作KH⊥AB于H．
∵AB＝＝，S△ABK＝?AK?4＝?AB?KH＝20，
∴HK＝＝，
∵BK＝＝2，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠AOC＝tan∠ABK＝＝＝，
故答案为：．
18．如图，线段AC，BD交于点P，∠A＝30°，∠ACD＝120°，∠D＝15°，AB＝1，CD＝，则BD的长为 2 ．
解析：作BM⊥AC于M，CN⊥BD于N，在DB上取一点H，使得DH＝CH，连接CH．
∵∠D＝15°，∠PCD＝120°，
∴∠CPD＝∠APB＝180°﹣120°﹣15°＝45°，
∵∠AMB＝∠BMP＝90°，∠A＝30°，
∴BM＝PM＝AB＝，
∴BP＝BM＝，
设PN＝x，则CN＝PN＝x，
∵HC＝HD，
∴∠HCD＝∠D＝15°，
∴∠CHN＝30°，
∴CH＝DH＝2x，NH＝x，
在Rt△CDN中，∵CN2+DN2＝CD2，
∴x2+（x+2x）2＝（）2，
∴x＝，
∴PD＝3x+x＝（3+）x＝，
∴BD＝BP+PD＝2
故答案为2．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边．
（1）已知c＝2，b＝，求∠B；
（2）已知c＝12，sinA＝，求b．
解：（1）∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝45°；
（2）∵c＝12，sinA＝＝，
∴a＝4，
∴b＝＝8，
20．（满分8分）求下列各式的值：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；
（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
解：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
＝2×+3×﹣4×1
＝1+﹣4
＝﹣；
（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．
＝﹣1+2×+4
＝﹣1++4
＝+3．
21．（满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，E是BC边上一点，过点E作ED⊥AC，垂足为D，AB＝8，DE＝6，∠C＝30°，求BE的长．
解：在Rt△CDE中，sinC＝，
∴CE＝＝12；
在Rt△ABC中，tanC＝，
∴BC＝＝8．
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣12，
∴BE的长为8﹣12．
22．（满分8分）放风筝是大家喜爱的一种运动星期天的上午小明在金明广场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此时风筝AD与水平线的夹角为30°，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处10米的B处，此时风筝线BD与水平线的夹角为50°，已知点A，B，C在同一条水平直线上，小明搬了一把梯子来取风筝，梯子能达到的最大高度为20米，请问小明能把风筝捡回来吗？（最后结果精确到1米）（风筝线AD，BD均为线段，≈1.732，sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）
解：作DH⊥BC于H，设DH＝x米．
∵∠ACD＝90°，
∴在直角△ADH中，∠DAH＝30°，AD＝2DH＝2x，AH＝DH÷tan30°＝x，
在直角△BDH中，∠DBH＝50°，BH＝，BD＝DH?sin50°＝sin50°x，
∵AH﹣BH＝AB＝10米，
∴x﹣＝10，
∴x＝，
∴BD＝＝÷0.766≈15（米），
20＞15，
∴小明能把风筝捡回来．
23．（满分8分）如图，ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN，若tan∠AEN＝，DC+CE＝10．
（1）求△ANE的面积；
（2）求sin∠ENB的值．
解：由折叠可知：MN为AE的垂直平分线，
∴AN＝EN，
∴∠EAN＝∠AEN（等边对等角），
∴tan∠AEN＝tan∠EAN＝，
∴设BE＝a，AB＝3a，则CE＝2a，
∵DC+CE＝10，
∴3a+2a＝10，
∴a＝2，
∴BE＝2，AB＝6，CE＝4，
∵AE＝＝2，
∴EG＝AE＝×2＝，
又∵，
∴NG＝，
∴AN＝，
∴AN＝NE＝，
∴S△ANE＝，
sin∠ENB＝＝．
24．（满分8分）如图，一艘游轮在A处测得北偏东45°的方向上有一灯塔B．游轮以20海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东15°的方向上，求A处与灯塔B相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据：≈1.41，≈1.73）
解：过点C作CM⊥AB，垂足为M，
在Rt△ACM中，∠MAC＝90°﹣45°＝45°，则∠MCA＝45°，
∴AM＝MC，
由勾股定理得：AM2+MC2＝AC2＝（20×2）2，
解得：AM＝CM＝40，
∵∠ECB＝15°，
∴∠BCF＝90°﹣15°＝75°，
∴∠B＝∠BCF﹣∠MAC＝75°﹣45°＝30°，
在Rt△BCM中，tanB＝tan30°＝，即＝，
∴BM＝40，
∴AB＝AM+BM＝40+40≈40+40×1.73≈109（海里），
答：A处与灯塔B相距109海里．
25．（满分8分）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG（AA），
∴＝即＝，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
26．（满分12分）当0°＜α＜60°时，下列关系式中有且仅有一个正确．
A.
B.
C.
（1）正确的选项是 C ；
（2）如图1，△ABC中，AC＝1，∠B＝30°，∠A＝α，请利用此图证明（1）中的结论；
（3）两块分别含45°和30°的直角三角板如图2方式放置在同一平面内，BD＝，求S△ADC．
解：（1）C．
2sin（α+30°）＝2（sinα?cos30°+cosα?sin30°）＝．
故答案为：C．
（2）如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D．
∵∠B＝30°，∠BAC＝α，AC＝1，
∴∠ACD＝α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝AC?sin∠ACD＝sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝2sin（α+30°），
过点C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC＝90°，CE＝sinα，AE＝cosα．
在△BEC中，∠BEC＝90°，．
∴．
∴．
（3）由上面证明的等式易得．
如图，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G．
∵△ABD和△BCD是两个含45°和30°的直角三角形，BD＝，
∴∠ADG＝75°，AD＝8，．
∵sin75°＝sin（45°+30°）＝＝．
∴在△ADG中，∠AGD＝90°，．
∴S△ADC＝＝＝．
