湘教版九年级上学期期末复习---第一章二次函数（2）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝
C．y＝50+x2
D．y＝（x+2）（2x﹣3）﹣2x2
2．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A．﹣2
B．﹣2或1
C．1
D．不存在
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．B．
C．
D．
5．抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（ ）
A．（3，4）
B．（﹣3，4）
C．（3，﹣4）
D．（2，4）
6．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
7．已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y3＜y1
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
9．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ ）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2
B．2.3
C．2.4
D．2.5
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为﹣1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，4），则关于x的不等式ax2+c＞（2﹣b）x﹣1的解为（ ）
A．x＜﹣1或x＞3
B．x＜﹣2或x＞2
C．﹣1＜x＜3
D．﹣2＜x＜2
11．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（ ）
A．﹣4＜m＜6
B．﹣＜m＜﹣4
C．6＜m＜
D．﹣＜m＜6
12．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA?PB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO?BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．将y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝
．
14．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是
．
15．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是
．
16．在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面上升1m时，水面宽为
m．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a、k为常数且a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴与抛物线交于点D．若点A坐标为（﹣2，0），则的值为
．
18．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，则C2020的顶点坐标是
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
20（满分6分）．已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
21．（满分8分）定义：a
b＝
（1）解关于x的方程：（x2﹣3x）
（2x+3）＝7；
（2）关于x的方程：t[（x2﹣3x）
（2x+3）]﹣2＝t，当t取何值时，方程有两个不同的实数解．
22．（满分8分）（1）求出抛物线y＝﹣3x2+12x﹣9与x轴，y轴的交点坐标；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），且经过点（0，﹣1），求出该抛物线的函数关系表达式．
23．（满分8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．
24．（满分8分）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）]
销售单价x（元）
75
78
82
日销售量y（件）
150
120
80
日销售利润w（元）
5250
a
3360
（1）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是
元，表中a的值是
，y关于x的函数关系式是
；
（2）求该商品日销售利润的最大值．
（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值．
25．（满分10分）已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（﹣＜m≤2）．
直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．
（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．
（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．
（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．
26．（满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．
（1）求a的值；
（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．
（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．湘教版九年级数学期末复习---第一章二次函数（2）
参考答案与解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列函数关系中，y是x的二次函数的是（ C ）
A．y＝ax2+bx+c
B．y＝
C．y＝50+x2
D．y＝（x+2）（2x﹣3）﹣2x2
2．若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（ A ）
A．﹣2
B．﹣2或1
C．1
D．不存在
3．对于二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ D ）
A．开口向下
B．当x＝﹣1时，y有最大值是2
C．对称轴是x＝﹣1
D．顶点坐标是（1，2）
4．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，
故A错误；
B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，
故B错误；
C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，
故C错误；
D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，
故D正确；
故选：D．
5．抛物线y＝2（x+3）2+4的顶点坐标是（ B ）
A．（3，4）
B．（﹣3，4）
C．（3，﹣4）
D．（2，4）
6．对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣3的说法错误的是（ D ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）
C．抛物线的对称轴是直线x＝1
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
7．已知点A（a﹣m，y1），B（a﹣n，y2），C（a+b，y3）都在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，若0＜m＜b＜n，则y1、y2，y3的大小关系是（ B ）
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y3＜y1
解：抛物线开口向上，对称轴为x＝a，
点A、B的情况：n＞m，故点B比点A离对称轴远，故y2＞y1；
点A、C的情况：m＜b，故点C比点A离对称轴远，故y3＞y1；
点B、C的情况：b＜n，故点B比点C离对称轴远，故y2＞y3；
故y1＜y3＜y2，
故选：B．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ D ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解：∵y＝x2﹣（m﹣1）x+m＝（x﹣）2+m﹣，
∴该抛物线顶点坐标是（，m﹣），
∴将其沿y轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m﹣﹣3），
∵m＞1，
∴m﹣1＞0，
∴＞0，
∵m﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，
∴点（，m﹣﹣3）在第四象限；
故选：D．
9．如表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解为（ B ）
x
…
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
…
y
…
﹣1.39
﹣0.76
﹣0.11
0.56
1.25
…
A．2.2
B．2.3
C．2.4
D．2.5
解：如图：
x＝2.3，y＝﹣0.11，x＝2.4，y＝0.56，x2+2x﹣10＝0的一个近似根是2.3．
故选：B．
10．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为﹣1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，4），则关于x的不等式ax2+c＞（2﹣b）x﹣1的解为（ D ）
A．x＜﹣1或x＞3
B．x＜﹣2或x＞2
C．﹣1＜x＜3
D．﹣2＜x＜2
解：设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣h）2+k＝a（x﹣1）2+4，
当x＝﹣1时，y＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3，
将不等式ax2+c＞（2﹣b）x﹣1整理为：ax2+bx+c＞2x﹣1，
联立y＝﹣x2+2x+3和y′＝2x﹣1并解得：x＝±2，
故﹣2＜x＜2时，函数y在y′之上，即ax2+bx+c＞2x﹣1，
故选：D．
11．已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝2x﹣m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线y＝2x﹣m与新函数图象有4个交点时，m的取值范围是（ C ）
A．﹣4＜m＜6
B．﹣＜m＜﹣4
C．6＜m＜
D．﹣＜m＜6
解：令y＝﹣x2+x+6＝0，则x＝﹣2或3，即抛物线与x轴交点的坐标为（﹣2，0）、（3，0），
二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，根据点的对称性，两个图象关于x轴对称，
则新图象的表达式为：﹣y′＝﹣x2+x+6，即y′＝x2﹣x﹣6，
如下图，当直线位于直线a、b的位置时，直线y＝2x﹣m与新函数图象有3个交点，处于a、b之间时，有4个交点，
当直线处于直线a的位置时，将（3，0）代入y＝2x﹣m并解得：m＝6；
当直线处于直线b的位置，即直线与y′＝x2﹣x﹣6只有一个交点，联立两个函数表达式并整理得：x2﹣3x+m﹣6＝0，
则△＝（﹣3）2﹣4（m﹣6）＝0，解得：m＝；
故选：C．
12．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法：
①PO2＝PA?PB；
②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；
③当k＝﹣时，BP2＝BO?BA；④△PAB面积的最小值为4，
其中正确的个数是（ B ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：设A（m，km），B（n，kn），其中m＜0，n＞0．
联立y＝x2﹣2与y＝kx得：x2﹣2＝kx，即x2﹣3kx﹣6＝0，
∴m+n＝3k，mn＝﹣6．
设直线PA的解析式为y＝ax+b，将P（0，﹣4），A（m，km）代入得：
，
解得a＝，b＝﹣4，
∴y＝（）x﹣4．
令y＝0，得x＝，
∴直线PA与x轴的交点坐标为（，0）．
同理可得，直线PB的解析式为y＝（）x﹣4，直线PB与x轴交点坐标为（，0）．
∵+＝＝＝0，
∴直线PA、PB与x轴的交点关于y轴对称，即直线PA、PB关于y轴对称．
（1）说法①错误．理由如下：
如答图1所示，∵PA、PB关于y轴对称，
∴点A关于y轴的对称点A′落在PB上．
连接OA′，则OA＝OA′，∠POA＝∠POA′．
假设结论：PO2＝PA?PB成立，即PO2＝PA′?PB，
∴＝，
又∵∠BPO＝∠BPO，
∴△POA′∽△PBO，
∴∠POA′＝∠PBO，
∴∠AOP＝∠PBO．
而∠AOP是△PBO的外角，
∴∠AOP＞∠PBO，矛盾，
∴说法①错误．
（2）说法②错误．理由如下：
易知：＝﹣，
∴OB＝﹣OA．
由对称可知，PO为△APB的角平分线，
∴＝，
∴PB＝﹣PA．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝（PA+AO）[﹣PA﹣（﹣OA）]＝﹣（PA+AO）（PA﹣OA）＝﹣（PA2﹣AO2）．
如答图2所示，过点A作AD⊥y轴于点D，则OD＝﹣km，PD＝4+km．
∴PA2﹣AO2＝（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）＝PD2﹣OD2＝（4+km）2﹣（﹣km）2＝8km+16，
∵m+n＝3k，∴k＝（m+n），
∴PA2﹣AO2＝8?（m+n）?m+16＝m2+mn+16＝m2+×（﹣6）+16＝m2．
∴（PA+AO）（PB﹣BO）＝﹣（PA2﹣AO2）＝﹣?m2＝﹣mn＝﹣×（﹣6）＝16．
即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误．
（3）说法③正确．理由如下：
当k＝﹣时，联立方程组：，得A（﹣2，2），B（，﹣1），
∴BP2＝12，BO?BA＝2×6＝12，
∴BP2＝BO?BA，故说法③正确．
（4）说法④正确．理由如下：
S△PAB＝S△PAO+S△PBO＝OP?（﹣m）+OP?n＝OP?（n﹣m）＝2（n﹣m）＝2＝2，
∴当k＝0时，△PAB面积有最小值，最小值为2＝4．
故说法④正确．
综上所述，正确的说法是：③④．
故选：B．
二．填空题（共6小题,满分18分）
13．将y＝x2﹣2x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝ （x﹣1）2+4 ．
14．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是 y＝2x2+1 ．
15．已知二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，6）和B（8，3），如图所示，则不等式ax2+bx+c＞kx+m的取值范围是 x＜﹣2或x＞8 ．
16．在抛物线形拱桥中，以抛物线的对称轴为y轴，顶点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线解析式为y＝ax2，水面宽AB＝6m，AB与y轴交于点C，OC＝3m，当水面上升1m时，水面宽为 2 m．
解：∵AB＝6m，OC＝3m，
∴点B坐标为（3，﹣3），
将B（3，﹣3）代入y＝ax2得：
﹣3＝a×32，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2．
∴当水面上升1m时，即纵坐标y＝﹣2时，有：
﹣2＝﹣x2，
∴x2＝6，
∴x1＝﹣，x2＝．
∴水面宽为：﹣（﹣）＝2（m）．
故答案为：2．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a、k为常数且a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴相交于点C，过点C作CD∥x轴与抛物线交于点D．若点A坐标为（﹣2，0），则的值为 ．
解：∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a、k为常数且a≠0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵A坐标为（﹣2，0），点C的横坐标为0，CD∥x轴与抛物线交于点D，
∴点B的坐标为（6，0），点D的横坐标为4，
∴OB＝6，CD＝4，
∴＝＝，
故答案为：．
18．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3…如此进行下去，则C2020的顶点坐标是 （4039，﹣1） ．
解：∵y＝﹣x（x﹣2）＝﹣（x﹣1）2+1，
∴C1的顶点坐标为（1，1），点A1的坐标为（2，0），
由题意可得，C2的顶点坐标为（3，﹣1），C3的顶点坐标为（5，1），C4的顶点坐标为（7，﹣1），…，
∴C2020的横坐标为：1+2×（2020﹣1）＝4039，纵坐标为﹣1，
∴C2020的顶点坐标是（4039，﹣1），
故答案为：（4039，﹣1）．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，
（1）当m为何值时，此函数是一次函数？
（2）当m为何值时，此函数是二次函数？
解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，
∴m2+2m＝0，m≠0，
解得：m＝﹣2；
（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，
∴m2+2m≠0，
解得：m≠﹣2且m≠0．
20．（满分6分）已知抛物线y＝ax2经过点A（﹣2，﹣8）．
（1）求a的值；
（2）若点P（m，﹣6）在此抛物线上，求点P的坐标．
解：（1）把点A（﹣2，﹣8）代入y＝ax2，
得4a＝﹣8，
∴a＝﹣2；
（2）把点P（m，﹣6）代入y＝﹣2x2中，
得﹣2m2＝﹣6，
∴m＝±，
∴P（，﹣6）．
21．（满分8分）定义：a
b＝
（1）解关于x的方程：（x2﹣3x）
（2x+3）＝7；
（2）关于x的方程：t[（x2﹣3x）
（2x+3）]﹣2＝t，当t取何值时，方程有两个不同的实数解．
解：（1）令y＝（x2﹣3x）﹣（2x+3）﹣3＝x2﹣5x﹣3﹣3＝x2﹣5x﹣6，
令y＝0，即x2﹣5x﹣6＝0，解得：x＝﹣1或6，
当y≤0时，则﹣1≤x≤6，
则y＝，
则当﹣1≤x≤6时，（x2﹣3x）
（2x+3）＝x2﹣3x＝7，解得x＝（舍去负值），故x＝；
当x＜﹣1或x＞6时，（x2﹣3x）
（2x+3）＝2x+3＝7，解得x＝2（舍去），
故方程的解为x＝；
（2）对于y＝，函数的图象大致如下：
对于y＝2x+3，
当x＝﹣1时，y＝1，即点A（﹣1，1），
当x＝6时，y＝15，即点C（6，15）；
对于y＝x2﹣3x，
同理可得：点B、D的坐标分别为（﹣1，4）、（6，18），
当x＝时，y＝x2﹣3x＝﹣，即顶点E（，﹣）；
将t[（x2﹣3x）
（2x+3）]﹣2＝t整理为（x2﹣3x）
（2x+3）＝＝+1，
令y′＝+1，
∵方程有两个不同的实数解，则y′在CD之间或AB之间或在抛物线的顶点上，
∴15＜y′≤18或1≤y′≤4或y′＝﹣，则15＜+1≤18或1≤+1≤4或+1＝﹣，
解得：≤t＜或t≥或t＝﹣．
22．（满分8分）（1）求出抛物线y＝﹣3x2+12x﹣9与x轴，y轴的交点坐标；
（2）已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣4），且经过点（0，﹣1），求出该抛物线的函数关系表达式．
解：（1）令x＝0得y＝﹣9，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣9）．
令y＝0得：﹣3x2+12x﹣9＝0，
解得：x＝1或x＝3．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）．
（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣4，
把（0，﹣1）代入得﹣1＝a（0﹣2）2﹣4，解得a＝，
所以二次函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣4．
23．（满分8分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（2，0），与y轴交于点C，抛物线对称轴为直线x＝﹣，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求△PQG周长的最大值及此时点P的坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x＝﹣，
∴，解得，
∴y＝﹣x2﹣x+3．
（2）令y＝0，即﹣x2﹣x+3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
设P（m，﹣m2﹣m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣m﹣3＝﹣m2﹣m，
∴当m＝﹣时，PQmax＝，此时P（﹣，），
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周长＝﹣m2﹣m+（﹣m2﹣m），
＝（+1）（﹣m2﹣m），
＝（+1）PQ，
∴△PFG周长的最大值为：（+1）．
24．（满分8分)某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）]
销售单价x（元）
75
78
82
日销售量y（件）
150
120
80
日销售利润w（元）
5250
a
3360
（1）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 40 元，表中a的值是 4560 ，y关于x的函数关系式是 y＝﹣10x+900 ；
（2）求该商品日销售利润的最大值．
（3）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件（m＞0），该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足（1）中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，直接写出m的值．
解：（1）设该产品的成本单价是n元，根据题意，得
5250＝150×（75﹣n），解得n＝40．
a＝120×（78﹣40）＝4560．
设日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足的一次函数解析式为y＝kx+b，
把（75，150），（78，120）代入解得一次函数解析式为y＝﹣10x+900．
故答案为40、4560、y＝﹣10x+900．
（2）根据题意，得
w＝（x﹣40）（﹣10x+900）
＝﹣10x2+1300x﹣36000
＝﹣10（x﹣65）2+6250．
答：该商品日销售利润的最大值为6250元．
（3）设利润为w1
元，根据题意可得：
w1＝（x﹣40+m）（﹣10x+900）
＝﹣10x2+（1300﹣10m）x+900m﹣36000
∵销售单价不低于68元，即x≥68，
∴68≤x≤90，
对称轴为x＝﹣＝65﹣，
∵m≥0，
∴65﹣＜68，且开口向下，
∴w1
随x的增大而减小，
∴当x＝68时，w1
有最大值为6600，
∴（68﹣40+m）（﹣680+900）＝6600
∴m＝2．
答：m的值为2．
25．(满分10分）已知抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m，（﹣＜m≤2）．
直线l：y＝（k+1）x﹣3m+4．
（1）若该抛物线与y轴交点的纵坐标为﹣4，求该抛物线的顶点坐标．
（2）证明：该抛物线与直线l必有两个交点．
（3）若该抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立；当k﹣2≤x≤k时，该二次函数的最小值为﹣2k+1．求直线l的解析式．
解：（1）依题意可知﹣3m＝﹣4，解得：m＝，
∴该抛物线对应的函数解析式为，
∴该抛物线的顶点坐标为（，）．
（2）联立y＝（k+1）x﹣3m+4和y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m并整理得：x2﹣（k+3m）x﹣4＝0，
∵△＝[﹣（k+3m）]
2﹣4×（﹣4）＝（k+3m）2+16＞0，
∴该抛物线与直线l必有两个交点．
（3）∵由抛物线经过点（t，﹣4），且对任意实数x，不等式x2+（1﹣3m）x﹣3m≥﹣4都成立，
∴抛物线y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m的最小值为﹣4，
∵y＝x2+（1﹣3m）x﹣3m＝＝，
∴，整理得3m2+2m﹣5＝0，
解得m＝1或（，舍去），
∴当m＝1时，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
①当k＜1时，函数值y随x的增大而减小，
∴当x＝k时，ymin＝k2﹣2k﹣3，
∴k2﹣2k﹣3＝﹣2k+1，
解得k＝﹣2或k＝2（舍去），
∴直线l的解析式为y＝﹣x+1；
②当k﹣2≤1≤k时，即1≤k≤3，
当x＝1时，ymin＝﹣4＝﹣2k+1，解得，
∴直线l的解析式为；
③当k﹣2＞1时，函数值y随x的增大而增大，
∴当x＝k﹣2时，ymin＝（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3，
∴（k﹣2）2﹣2（k﹣2）﹣3＝﹣2k+1，
解得k1＝k2＝2（舍去），
综上，直线l的解析式为y＝﹣x+1或．
26．（满分12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．
（1）求a的值；
（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．
（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．
解：（1）对于抛物线y＝ax2+3ax﹣18a，
令y＝0，可得ax2+3ax﹣18a＝0，
解得x＝﹣6或3，
∴C（﹣6，0），A（3，0），
∴OC＝6，OA＝3，
∴AC＝9，
∵AC＝OB，
∴OB＝6，
∴B（0，6），
∴﹣18a＝6，
∴a＝﹣．
（2）如图1中，取AB的中点T，连接OT，设PA交OT于N，交OB于M．
∵OA＝3，OB＝6，
∴AB＝＝3，
∵∠AOB＝90°，AT＝BT，
∴TO＝TB＝TA＝，
∴∠OBA＝∠TOB，
∴∠ATO＝∠OBA+∠TOB＝2∠OBA，
∵2∠OBA+∠DAB＝90°，
∴∠ATO+∠DAB＝90°，
∴∠ANT＝90°，
∵S△AOT＝S△AOB＝?OT?AN，
∴AN＝＝，
∴ON＝＝＝，
∵∠OAN＝∠OAM，∠ONA＝∠AOM＝90°，
∴△ANO∽△AOM，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝，
∴M（0，），
∵A（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+，
由，
解得或，
∴P（﹣，）．
（3）如图2中，过点E作ES∥AC交AD于S，交y轴于L，设直线AD交QE于J．
∵AD平分线段QE，
∴JE＝JQ，
∵ES∥AQ，
∴∠ESJ＝∠QAJ，
∵∠EJS＝∠QJA，
∴△ESJ≌△QAJ（AAS），
∴ES＝AQ，
∵BE：AQ＝4：3＝4：15，
∴可以假设BE＝4m，AQ＝ES＝15m，则BL＝8m，LE＝4m，
∴SL＝11m，OL＝6﹣8m，
∴S（﹣11m，6﹣8m），
∵点S在直线AD：y＝﹣x+上，
∴6﹣8m＝m+，
解得m＝，
∴AQ＝5，OQ＝AQ﹣AO＝2，
∴Q（﹣2，0），
当S△MNK＝4时，过点M作MW⊥QR于W．
∵QR∥OM，
∴∠MNK＝∠NMB，
∵∠NMK＝∠NMB，
∴∠NMK＝∠MNK，
∴MK＝KN，
∴?KN?2＝4，
∴KN＝MK＝4，
∵∠MWK＝90°，KM＝4，WM＝OQ＝2，
∴MK＝2MW，
∴∠MKE＝30°，
∴∠MKN＝180°﹣30°＝150°，
当S△M′K′N′＝4时，同法可得∠M′K′N′＝30°，
综上所述，满足条件的∠MKN的值为30°或150°．
