湘教版九年级上学期期末复习---第二章一元二次方程（1）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2＝﹣2
B．x3﹣2x+1＝0
C．x2+3xy+1＝0
D．
2．在一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．1，4
B．1，﹣4
C．1，﹣1
D．x2，4x
3．已知x＝﹣2是关于x方程bx2+5ax+3＝0的根，则代数式17﹣20a+8b的值为（ ）
A．11
B．14
C．20
D．23
4．方程x2﹣8＝0的解为（ ）
A．x1＝4，x2＝﹣4
B．x1＝，x2＝﹣
C．x1＝0，x2＝
D．x＝
5．用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
6．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（ ）
A．﹣2或4
B．4
C．﹣2
D．2或﹣4
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥
B．k且k≠0
C．k＜且k≠0
D．k
8．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8＝0的两个根，则m2+7m﹣mn+2n＝（ ）
A．﹣6
B．﹣2
C．2
D．6
9．在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ ）
A．2
B．2
C．3
D．4
10．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
11．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ ）
A．2s
B．3s
C．4s
D．5s
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为
．
14．a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2a2﹣2a+5＝
．
15．关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则k等于
．
16．等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为
．
17．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝
．
18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（6分）当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）xm2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
20．（6分）已知P＝（a﹣3+）÷．
（1）化简P；
（2）若a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，求P的值．
21．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0；
（2）2x（x+3）＝x﹣3．
22．（8分）如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为56m2，应如何设计道路的宽度？
23．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1?x2+1取得最小值，并求出该最小值．
25．（10分）阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（）﹣（1﹣）（），令＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣t+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
26．（12分）乐高积木是儿童喜爱的玩具．这种塑胶积木一头有凸粒，另一头有可嵌入凸粒的孔，形状有1300多种，每一种形状都有12种不同的颜色，以红、黄、蓝、白、绿色为主．它靠小朋友自己动手动脑，可以拼插出变化无穷的造型，令人爱不释手，被称为“魔术塑料积木”．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．
（1）分别求出甲乙两款积木的进价；
（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润为5760元．湘教版九年级上学期期末复习---第二章一元二次方程（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ A ）
A．x2＝﹣2
B．x3﹣2x+1＝0
C．x2+3xy+1＝0
D．
2．在一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（ B ）
A．1，4
B．1，﹣4
C．1，﹣1
D．x2，4x
3．已知x＝﹣2是关于x方程bx2+5ax+3＝0的根，则代数式17﹣20a+8b的值为（ A ）
A．11
B．14
C．20
D．23
解析：把x＝2代入方程bx2+5ax+3＝0可得：4b﹣10a+3＝0，
∴10a﹣4b＝3，
∴17﹣20a+8b＝17﹣2（10a﹣4b）＝17﹣2×3＝11．
故选：A．
4．方程x2﹣8＝0的解为（ B ）
A．x1＝4，x2＝﹣4
B．x1＝2，x2＝﹣2
C．x1＝0，x2＝2
D．x＝2
5．用配方法解一元二次方程：x2﹣4x﹣2＝0，可将方程变形为（x﹣2）2＝n的形式，则n的值是（ D ）
A．0
B．2
C．4
D．6
6．若实数x满足方程（x2+2x）?（x2+2x﹣2）﹣8＝0，那么x2+2x的值为（ B ）
A．﹣2或4
B．4
C．﹣2
D．2或﹣4
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围为（ B ）
A．k≥
B．k且k≠0
C．k＜且k≠0
D．k
解析：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有实数根，
∴，
∴k≤且k≠0．
故选：B．
8．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8＝0的两个根，则m2+7m﹣mn+2n＝（ D ）
A．﹣6
B．﹣2
C．2
D．6
解析：∵m、n是一元二次方程x2+5x﹣8＝0的两个根，
∴m+n＝﹣5，mn＝﹣8，m2+5m＝8，
则原式＝m2+5m+2m+2n﹣mn
＝m2+5m+2（m+n）﹣mn
＝8+2×（﹣5）+8
＝6．
故选：D．
9．在《代数学》中记载了求方程x2+8x＝33正数解的几何方法：如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c＝0时，构造出如图2所示正方形．已知图2中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为（ C ）
A．2
B．2
C．3
D．4
10．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ A ）
A．一定有两个相等实根
B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等
D．无实根
解析：∵AM平分∠BAC，DE⊥AM，
∴∠ADM＝∠AEM，MD＝ME＝DE＝b，
∴∠BDM＝∠MEC＝90°+∠BAC，
∴∠BMC＝90°+∠BAC，
∴∠BDM＝∠MEC＝∠BMC，
∵M是△ABC的内角平分线的交点，
∴∠1＝∠2，
∴△DBM∽△MBC，
同理可得出：△BMC∽△MEC，
∴△DBM∽△EMC，
∴，
∴BD?EC＝MD?ME，
即：ac＝b2，
即△＝b2﹣4ac＝0，
故选：A．
11．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（C ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵x2﹣xy+4y2＝4，
∴x2+4y2＝xy+4，
∴u＝x2+xy+4y2＝2xy+4，
∵5xy＝4xy+（x2+4y2﹣4）＝（x+2y）2﹣4≥﹣4，当且仅当x＝﹣2y，即，，或，时等号成立．
∴xy的最小值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最小值为，即．
∵3xy＝4xy﹣（x2+4y2﹣4）＝4﹣（x﹣2y）2≤4，当且仅当x＝2y，即，或，时等号成立．
∴xy的最大值为，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4的最大值为，即．
∴．
或解：由x2﹣xy+4y2＝4，得x2+4y2＝xy+4，u＝x2+xy+4y2＝2xy+4．
设xy＝t，若x＝0，则μ＝4；x≠0时，，将代入x2﹣xy+4y2＝4，
得，即x4﹣（t+4）x2+4t2＝0，…①
由△＝（t+4）2﹣16t2≥0，解得．
将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，．
∴xy的最大值为，最小值为．
因此，，，
故选：C．
12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使△PBQ的面积为15cm2，则点P运动的时间是（ B ）
A．2s
B．3s
C．4s
D．5s
解析：设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，
则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，
×（8﹣t）×2t＝15，
解得t1＝3，t2＝5（当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去）．
∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为 1+x+x（1+x）＝121或（1+x）2＝121 ．
14．a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2a2﹣2a+5＝ 7 ．
15．关于x的方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，其中k为非正整数，则k等于 0或﹣1 ．
解析：①当k＝0时，原方程化为：﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝﹣，故k＝0符合题意；
②当k≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＝4+4k≥0，
解得：k≥﹣1，
∵k为非正整数，k≠0，
∴k＝﹣1．
综上，k＝0或k＝﹣1．
故答案为：0或﹣1．
16．等腰三角形的两边恰为方程x2﹣7x+10＝0的根，则此等腰三角形的周长为 6或12或15 ．
17．设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ 2019 ．
解析：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m＝2021，
则原式＝m2+2m+m+n
＝m2+2m+（m+n）
＝2021﹣2
＝2019．
故答案为：2019．
18．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，其中一个根为另一个根的，则称这样的方程为“半根方程”．例如方程x2﹣6x+8＝0的根为的x1＝2，x2＝4，则x1＝x2，则称方程x2﹣6x+8＝0为“半根方程”．若方程ax2+bx+c＝0是“半根方程”，且点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，则的值为 ．
解析：不妨设方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，且x1＝x2，
∵点P（a，b）是函数y＝x图象上的一动点，
∴b＝a，
∴方程化为ax2+ax+c＝0，
∴由韦达定理得：x1+x2＝x2＝﹣＝﹣．
∴x2＝﹣，x1x2＝＝＝××6＝．
故答案为：．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分)当m为何值时，关于x的方程（m﹣2）xm2﹣2﹣4mx＝0为一元二次方程，并求这个一元二次方程的解．
解：根据题意得：
，
解得：m＝﹣2，
即原方程为：﹣4x2+8x＝0，
解得：x1＝0，x2＝2．
20．(6分）已知P＝（a﹣3+）÷．
（1）化简P；
（2）若a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，求P的值．
解：（1）P＝（a﹣3+）÷
＝×
＝×
＝a2﹣3a；
（2）∵a为方程x2﹣x﹣2＝0的解，
∴a2﹣a﹣2＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴P的值是6．
21．（8分）解下列一元二次方程：
（1）x2﹣x﹣2＝0；
（2）2x（x+3）＝x﹣3．
解：（1）因式分解，得（x﹣2）（x+1）＝0，
于是得x﹣2＝0，或x+1＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1；
（2）原方程可化为2x2+5x+3＝0，
方法一：因式分解，得（2x+3）（x+1）＝0．
于是得2x+3＝0，或x+1＝0，
∴，x2＝﹣1．
方法二：公式法：∵a＝2，b＝5，c＝3，
∴△＝b2﹣4ac
＝52﹣4×2×3
＝25﹣24
＝1＞0，
∴x＝＝，
∴，x2＝﹣1．
22．（8分）如图，某小区规划在一个长30m，宽20m的矩形场地上，修建两横两竖四条同样宽的道路，且横、竖道路分别与矩形的长、宽平行，其余部分种草坪，若使每块草坪的面积都为56m2，应如何设计道路的宽度？
解：设道路的宽度为xm．
由题意得：（30﹣2x）（20﹣2x）＝56×9，
化简得：x2﹣25x+24＝0，
（x﹣1）（x﹣24）＝0，
解得：x1＝1，x2＝24（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为1
m．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0（m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）若该方程有一个根为4，求m的值．
解：（1）证明：（x﹣m）2+2（x﹣m）＝0，
原方程可化为x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m＝0，
∵a＝1，b＝﹣（2m﹣2），c＝m2﹣2m，
∴△＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4（m2﹣2m）＝4＞0，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将x＝4代入原方程，得：（4﹣m）2+2（4﹣m）＝0，即m2﹣10m+24＝0，
解得：m1＝4，m2＝6．
故m的值为4或6．
24．（8分）已知关于x的一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0有两个实数根x1、x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当实数k为何值时，代数式x12+x22﹣x1?x2+1取得最小值，并求出该最小值．
解：（1）一元二次方程（x﹣k）2﹣x+2k＝0可化为：x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0，
由题意得：△＝（2k+1）2﹣4×1×（k2+2k）＝﹣4k+1≥0，
解得：．
故实数k的取值范围为：；
（2）∵x1+x2＝2k+1，，
∴＝（2k+1）2﹣3（k2+2k）+1＝k2﹣2k+2＝（k﹣1）2+1，
∵，
∴当时，取得最小值，
且最小值为：．
25．（10分）阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（）﹣（1﹣）（），令＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣t+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
解：（1）令＝t，则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝
（2）令a2﹣5a＝t，则：
原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2
（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：
（t+1）（t+3）＝3
t2+4t+3＝3
t（t+4）＝0
∴t1＝0，t2＝﹣4
当x2+4x＝0时，
x（x+4）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣4
当x2+4x＝﹣4时，
x2+4x+4＝0
（x+2）2＝0
解得：x3＝x4＝﹣2
26．（12分）乐高积木是儿童喜爱的玩具．这种塑胶积木一头有凸粒，另一头有可嵌入凸粒的孔，形状有1300多种，每一种形状都有12种不同的颜色，以红、黄、蓝、白、绿色为主．它靠小朋友自己动手动脑，可以拼插出变化无穷的造型，令人爱不释手，被称为“魔术塑料积木”．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．
（1）分别求出甲乙两款积木的进价；
（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润为5760元．
解：（1）设甲款积木的进价为每盒x元，乙款积木的进价为每盒y元，则
，
解得：．
答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元；
（2）由题可得：（80﹣m）（40+2m）+24×40＝5760，
解得m1＝20，m2＝40．
因为顾客能获取更多的优惠，
所以m＝40．
