期末复习---第一章反比例函数
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝3x
B．y＝3x+1
C．
D．y＝3x2
2．函数是反比例函数，则m的值是（ ）
A．m＝±1
B．m＝1
C．m＝±
D．m＝﹣1
3．关于反比例函数y＝，下列说法错误的是（ ）
A．图象关于原点对称
B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限
D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝2
4．对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A．m＞0
B．m＞1
C．m＜0
D．m＜1
5．已知反比例函数y＝的图象经过点P（3，﹣2），则k的值为（ ）
A．﹣6
B．6
C．±6
D．不确定
6．如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．2≤k≤16
B．2≤k≤8
C．1≤k≤4
D．8≤k≤16
7．如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4
B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4
D．﹣2＜x＜0或x＞4
8．面积是160平方米的长方形，它的长y米，宽x米之间的关系表达式是（ ）
A．y＝160x
B．y＝
C．y＝160+x
D．y＝160﹣x
9．如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．﹣4
10．如图，Rt△AOB的一条直角边OA在x轴上，且S△AOB＝3，若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．若是反比例函数，则m满足的条件是
．
14．已知反比例函数的图象经过点A（1，﹣3），则实数k的值为
．
15．已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）是反比例函数的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是
．
16．如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（﹣2，），B（1，﹣3）两点，则不等式kx+b＜的解集为
．
17．山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的面食名吃，为山西四大面食之一将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）与粗细（横截面面积）x（cm2）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）如果将这个面团做成粗为0.16cm2的拉面，则做出来的面条的长度为
．
18．在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，4），C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝
．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求函数解析式；
（2）当x＝﹣4时，求反比例函数y＝的值．
20．（8分）已知函数y＝（m2+2m）
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当kx+b＞时，x的取值范围．
22．（8分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
23．（10分）如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
24．（12分）如图，点A与点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足．
（1）求A点的坐标；
（2）求△BOB′的面积；
（3）若B点的横坐标为2，求△OAB的面积．
25．（12分）模型学习：
如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得△ABP∽△PDC．
模型应用：
如图2，已知在ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝3，CD＝2，BC＝5，若以AD为直径的圆与边BC相交于点P，则BP的长为
．
模型拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转45°后得到直线l'，求直线l'的函数关系式．
模型延伸：
如图4，反比例函数的图象经过点A（4，6），在OA的右侧该图象上找一点B，使tan∠AOB＝，求点B的坐标．期末复习---第一章反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．（3分）下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（C）
A．y＝3x
B．y＝3x+1
C．
D．y＝3x2
2．（3分）函数是反比例函数，则m的值是（D）
A．m＝±1
B．m＝1
C．m＝±
D．m＝﹣1
3．（3分）关于反比例函数y＝，下列说法错误的是（B）
A．图象关于原点对称
B．y随x的增大而减小
C．图象分别位于第一、三象限
D．若点M（a，b）在其图象上，则ab＝2
4．（3分）对于双曲线y＝，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（D）
A．m＞0
B．m＞1
C．m＜0
D．m＜1
5．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点P（3，﹣2），则k的值为（A）
A．﹣6
B．6
C．±6
D．不确定
6．（3分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，2），B（4，2），C（4，4），若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则实数k的取值范围是（A）
A．2≤k≤16
B．2≤k≤8
C．1≤k≤4
D．8≤k≤16
7．（3分）如图，一次函数y1＝ax+b和反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，则使y1＞y2成立的x取值范围是（B）
A．﹣2＜x＜0或0＜x＜4
B．x＜﹣2或0＜x＜4
C．x＜﹣2或x＞4
D．﹣2＜x＜0或x＞4
8．（3分）面积是160平方米的长方形，它的长y米，宽x米之间的关系表达式是（B）
A．y＝160x
B．y＝
C．y＝160+x
D．y＝160﹣x
9．（3分）如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝（x＞0）及y2＝（x＞0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1﹣k2的值为（C）
A．2
B．3
C．4
D．﹣4
10．（3分）如图，Rt△AOB的一条直角边OA在x轴上，且S△AOB＝3，若某反比例函数图象的一支经过点B，则该反比例函数的解析式为（D）
A．
B．
C．
D．
11．（3分）若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（C）
A．
B．
C．
D．
12．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…An，…是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An…＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An，…作x轴的垂线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B1，B2，B3，…，Bn，…，过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1，过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2…，记△B1P1B2的面积为S1，△B2P2B3的面积为S2…，△BnPnBn+1的面积为Sn，则S1+S2+S3+…+Sn等于（C）
A．
B．
C．
D．
解析：解：∵OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An＝1，
∴设B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn），
∵B1，B2，B3…Bn在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴y1＝1，y2＝，y3＝…yn＝，
∴S1＝×1×（y1﹣y2）＝×1×（1﹣）＝（1﹣）；
S2＝×1×（y2﹣y3）＝×（
﹣）；
S3＝×1×（y3﹣y4）＝×（﹣）；
…
Sn＝（﹣），
∴S1+S2+S3+…+Sn＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．（3分）若是反比例函数，则m满足的条件是 m≠0.5 ．
14．（3分）已知反比例函数y＝的图象经过点A（1，﹣3），则实数k的值为 ﹣3 ．
15．（3分）已知（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）是反比例函数y＝的图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
16．（3分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝相交于A（﹣2，），B（1，﹣3）两点，则不等式kx+b＜的解集为 ﹣2＜x＜0或x＞1 ．
17．（3分）山西拉面，又叫甩面、扯面、抻面，是西北城乡独具地方风味的面食名吃，为山西四大面食之一将一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（cm）与粗细（横截面面积）x（cm2）之间的变化关系如图所示（双曲线的一支）如果将这个面团做成粗为0.16cm2的拉面，则做出来的面条的长度为 800cm ．
18．（3分）在直角坐标系中，已知A（0，4）、B（2，4），C为x轴正半轴上一点，且OB平分∠ABC，过B的反比例函数y＝交线段BC于点D，E为OC的中点，BE与OD交于点F，若记△BDF的面积为S1，△OEF的面积为S2，则＝ ．
解析：解：如图，过点B作BH⊥OC于H．
∵A（0，4）、B（2，4），
∴OA＝4，AB＝2，AB∥OC，
∴∠ABO＝∠BOC，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠OBC，
∴∠BOC＝∠OBC，
∴CB＝OC，设BC＝OC＝m，
∵BH⊥OC，AB∥OC，
∴∠AOH＝∠OHB＝∠ABH＝90°，
∴四边形ABHO是矩形，
∴BH＝OA＝4，AB＝OH＝2，
在Rt△BCH中，则有x2＝42+（m﹣2）2，
∴m＝5，
∴C（5，0），
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
∵反比例函数y＝经过点B（2，4），
∴k＝8，
由，解得或，
∴D（3，），
∴直线OD的解析式为y＝x，
∵OE＝EB，
∴E（，0），
∴直线BE的解析式为y＝﹣8x+20，
由，解得，
∴F（，2），
∴S1＝2×1﹣×1×﹣×1×﹣××＝，S2＝××2＝，
∴＝＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，满分66分）
19．（8分）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3）．
（1）求函数解析式；
（2）当x＝﹣4时，求反比例函数y＝的值．
解：（1）把A（2，3）代入y＝得k＝2×3＝6，
所以反比例函数解析式为y＝；
（2）当x＝﹣4时，y＝＝﹣＝﹣．
20．（8分）已知函数y＝（m2+2m）
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
解：（1）由y＝（m2+2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1＝1且m2+2m≠0，
解得m＝2或m＝﹣1；
（2）由y＝（m2+2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1＝﹣1且m2+2m≠0，
解得m＝1．
故y与x的函数关系式y＝3x﹣1．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当kx+b＞时，x的取值范围．
解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），
∴m＝3×1＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）当﹣1＜x＜0或x＞3，kx+b＞．
22．（8分）为了预防“甲型H1N1”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例，如图所示，现测得药物8min燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6mg，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求y关于x的函数关系式？自变量x的取值范围是什么？药物燃烧后y与x的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0），
代入（8，6）得6＝8k1，
∴k1＝，
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0），
代入（8，6）得
6＝，
∴k2＝48，
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为：
（x＞8），
∴；
（2）把y＝3代入，得：x＝4，
把y＝3代入，得：x＝16，
∵16﹣4＝12，
所以这次消毒是有效的．
23．（10分）如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝得2＝，则m＝﹣8．
则反比例函数的解析式是y＝﹣；
把B（n，﹣4）代入y＝﹣得n＝﹣＝2，
则B的坐标是（2，﹣4）．
根据题意得：，
解得，
则一次函数的解析式是y＝﹣x﹣2；
（2）设AB与x轴的交点是C，则C的坐标是（﹣2，0）．
则OC＝2，
S△AOC＝＝2，S△BOC＝×2×4＝4，
则S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝6．
24．（12分）如图，点A与点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，A点的纵坐标为2，BB′与AA′均垂直于x轴，B′，A′是垂足．
（1）求A点的坐标；
（2）求△BOB′的面积；
（3）若B点的横坐标为2，求△OAB的面积．
解：（1）当y＝2时，则x＝＝4．即点A的坐标是（4，2）；
（2）S△BOB'＝×8＝4；
（3）在y＝中，当x＝2时，y＝＝4，则B的坐标是（2，4），
根据反比例函数的解析式，知三角形OAA1的面积和三角形OBB1的面积相等，都是4，
则直角梯形ABB1A1的面积是×（2+4）×2＝6．
25．（12分）模型学习：
如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得△ABP∽△PDC．
模型应用：
如图2，已知在ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB＝3，CD＝2，BC＝5，若以AD为直径的圆与边BC相交于点P，则BP的长为 2或3 ．
模型拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+2与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转45°后得到直线l'，求直线l'的函数关系式．
模型延伸：
如图4，反比例函数的图象经过点A（4，6），在OA的右侧该图象上找一点B，使tan∠AOB＝，求点B的坐标．
解：模型应用：如图2中，设BP＝x．
∵AD是⊙O的直径，
∴∠APD＝90°，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴△ABP∽△PCD，
∴＝，
∴＝，
解得x＝2或3，
∴BP＝2或3．
故答案为2或3．
模型拓展：如图3中，过点A作AC⊥直线l于C，过点C作CE⊥y则于E，AF⊥EC交EC的延长线于F．
∵y＝x+2与x、y轴分别相交于点A、B，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∴OA＝4，OB＝2，
∵∠ACB＝90°AF⊥EF，BF⊥EF，
∴△AFC∽△CEB，
∵∠ABE＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴CA＝CB，
∵∠AFC＝∠CEB＝90°，∠ACF＝∠CBE，
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴AF＝EC，CF＝BE，
∴4﹣CE＝2+EC，
∴EC＝1，
∴C（﹣1，﹣1），
设直线l的解析式为y＝mx+n，
则有，
解得，
∴直线l的解析式为y＝3x+2．
模型延伸：如图3中，当tan∠AOB＝时，过点A作AE⊥AB于E，作EM⊥x轴于M，作AN⊥ME交ME的延长线于N．设AN＝a，
∵tan∠AOE＝＝，
由△ANE∽△EMO，得到＝＝＝，
∵OM＝4+a，AN＝a，
∴EM＝2a，EN＝，
∵MN＝6，
∴2a+＝6，
解得a＝，
可得E（，），
∴直线OE的解析式为y＝x，
由，解得，或，
∵点B在第一象限，
∴B（，）．
