湘教版九年级上学期期末复习---第三章图形的相似（1）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1.．若，则的值为（ C ）
A．
B．
C．
D．﹣
2．在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ A ）
A．8km
B．5km
C．80km
D．0.5km
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ A ）
A．
B．
C．
D．
4．下列说法不正确的是（ B ）
A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
5．如图，D是△ABC的边BC上的点，△ABC∽△DBA，则下列各式中正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵△ABC∽△DBA，
∴＝，A选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC∽△DBA，
∴＝，B选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC∽△DBA，
∴＝，C选项结论错误，不符合题意；
∵△ABC∽△DBA，
∴＝，D选项结论正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ B ）m．
A．3.4
B．5.1
C．6.8
D．8.5
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（ A ）
A．CD?AC＝AB?BC
B．AC2＝AD?AB
C．BC2＝BD?AB
D．AC?BC＝AB?CD
解析：由三角形的面积公式可知，CD?AB＝AC?BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB，B、C正确，不符合题意；
故选：A．
8．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标为（ D ）
A．（4，3）
B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（4，3）
D．（4，3）或（﹣4，﹣3）
解析：∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA1B1C1O与矩形OABC的位似比为1：，
∵矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为为（8×，6×）或（﹣8×，﹣6×），即（4，3）或（4，3），
故选：D．
9．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16；
④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ B ）
A．①②③④
B．①②
C．②③④
D．①②③
解析：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，AD＝BC，
∵点E是OA的中点，
∴CE＝3AE，
∵AF∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝＝3，
∴BC＝3AF，
∴FD＝2AF，
所以结论①正确；
②∵△AEF∽△CEB，
CE＝3AE，
∴＝32，
∴S△BCE＝9S△FAE＝36，
所以结论②正确；
③∵△ABE和△CBE等高，且BE＝3EF，
∴S△BCE＝3S△ABE，
∴S△ABE＝12，
所以结论③错误；
④假设△AEF∽△ACD，
∴EF∥CD，即BF∥CD，
∵AB∥CD，
∴BF和AB共线，
∵点E是OA的中点，即BE与AB不共线，
∴假设不成立，即△AEF和△ACD不相似，
所以结论④错误．
综上所述：正确的结论有①②．
故选：B．
10．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ B ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠AEB+∠FED＝90°，∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠AEB＝∠EFD，
∴△ABE∽△DEF，
∴＝＝，
设AE＝a，
∵点E是AD中点，
∴AE＝DE＝a，
∵＝，
∴＝＝，
∴AB＝a，DF＝a，
∴FC＝DC﹣DF＝AB﹣DF＝a﹣a＝a，
∵BC＝AD＝2AE＝2a，
∴＝＝，
故选：B．
11．如图所示，给出下列条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD?AB；⑤
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ B ）
A．2
B．3
C．4
D．5
12．如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（ B ）
A．（）2018
B．（）2019
C．（）2018
D．（）2019
解：∵AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC是第一个黄金三角形，
∴底边与腰之比等于，
即＝，
∴BC＝AB＝，
同理：△BCD是第二个黄金三角形，△CDE是第三个黄金三角形，
则CD＝BC＝（）2，
即第一个黄金三角形的腰长为1＝（）0，第二个黄金三角形的腰长为第一个黄金三角形的腰长为（）1，第三个黄金三角形的腰长为（）2，…，
∴第2020个黄金三角形的腰长是（）2020﹣1，
即（）2019，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．若7a＝5b，则a：b＝ 5 ： 7 ．
14．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：ab＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x
（24）＝5，则x的值为 ．
15．如图，已知直线l1∥l2∥l3，AB＝10cm，BG＝6cm，CD＝8cm，那么CH＝ 3.2 cm．
16．在平面中：①任何旋转对称图形都有最小旋转角；②任意两个大小相等、形状相同的图形无论怎样放置，都可以通过平移、旋转或翻折这三种运动，使得其中一个图形与另一个图形完全重合；③等边三角形是轴对称图形，也是旋转对称图形；④线段有两条对称轴．
以上说法正确的序号有 ①②③④ ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长 ．
解析：作EH⊥BC于H，如图，
∵∠A＝90°，AB＝AC＝8，
∴BC＝AB＝16，∠C＝45°，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝CE＝4，
∵△CEH为等腰直角三角形，
∴EH＝CH＝＝4，∴BH＝12
在Rt△ABE中，BE＝＝4，
在Rt△BEF中，∵EH⊥BF，
∴BE2＝BH?BF，
即BF＝＝，
∴CF＝BC﹣BF＝16﹣＝．
故答案为．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点P（3，1）和Q（1，3），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．当1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，点M的坐标 （2，） ．
解：设直线PQ的解析式为y＝kx+b，
则有，
解得，
∴y＝﹣x+4，
∴C（4，0），
设M（a，），
∵△OPM∽△OCP，
∴＝＝，
∴OP2＝OC?OM，
∵P（3，1），C（4，0），
OP2＝32+12＝10，OC＝4，OM＝，
∴＝，
∴10＝4×，
∴4a4﹣25a2+36＝0，
（4a2﹣9）（a2﹣4）＝0，
∴a＝±，a＝±2，
∵1＜a＜3，
∴a＝或2，
当a＝时，M（，2），
∴PM＝，CP＝，
∴＝≠（舍去），
当a＝2时，M（2，），PM＝，CP＝，
∴＝＝，成立，
∴M（2，）．
故答案为：（2，）．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求4a﹣3b+c的值．
解：由题意设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a+3b﹣2c＝15，
∴2k+9k﹣8k＝15，
∴k＝5，
∴a＝10，b＝15，c＝20；
∴4a﹣3b+c
＝4×10﹣3×15+20
＝15．
20．（满分6分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
解：（1）∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
则CE＝AC﹣AE＝﹣4＝；
（2）∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
21．（满分8分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD．
解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，
∵BO＝6，
∴AO＝10；
（2）∵△OBD∽△OAC，＝，
∴＝，
∵S△AOC＝50，
∴S△BOD＝18．
22．（满分8分）如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'刚好在BC上，连接CC'，AC，B'C'交AC于点E．
（1）请写出图中所有的相似三角形 △AB′E∽△C′CE，△ABB′∽△ACC′，△AEC′∽△B'EC （不包括全等）；
（2）求证：∠B＝∠ACC'．
解：（1）由旋转的性质可知：∠B＝∠AB′C′，∠AC′B′＝∠ACB，AB＝AB′，AC′＝AC，
∴∠CAC′＝∠C′B′C，
∵∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，
∴∠B＝∠AB′B＝∠AB′C′＝∠ACC′，
∠B′AC＝∠B′C′C，
∴△AB′E∽△C′CE，△ABB′∽△ACC′，
故答案为：△AB′E∽△C′CE，△ABB′∽△ACC′，△AEC′∽△B'EC；
（2）由题意可知：AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAC＝∠B′AC′，
∴∠BAB′＝∠CAC′，∠B＝∠AB′B，∠ACC′＝∠AC′C，
∴＝，
即∠B＝∠ACC′．
23．（满分8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB．
解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
∵DF＝50cm＝0.5m，EF＝30cm＝0.3m，AC＝1.5m，CD＝20m，
由勾股定理得DE＝＝40cm，
∴，
∴BC＝15米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+15＝16.5（米），
答：树高AB是16.5米．
24．（满分8分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（3）若图中每个小方格的面积为1，请直接写出△A2B2C2的面积．
解：（1）如图，△AB1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；点C2的坐标为（2，10）．
（3）△A2B2C2的面积＝4S△ABC＝4（4×3﹣×1×3﹣×3×2﹣×1×4）＝22．
25．（满分10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）．
解：（1）如图1中，
在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10．
∵D、E分别是AC、AB的中点．
AD＝DC＝3，AE＝EB＝5，DE∥BC且DE＝BC＝4，
①PQ⊥AB时，
∵∠PQB＝∠ADE＝90°，∠AED＝∠PEQ，
∴△PQE∽△ADE，
，由题意得：PE＝4﹣t，QE＝2t﹣5，
即
，
解得t＝；
②如图2中，当PQ⊥DE时，△PQE∽△DAE，
∴，
∴，
∴t＝，
∴当t为s或s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似．
（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EP＝EQ，可得4﹣t＝5﹣2t，t＝1．
如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝EP，可得4﹣t＝2t﹣5，解得t＝3．
如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQ＝QP，可得（4﹣t）：（2t﹣5）＝4：5，解得t＝．
如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQ＝EP，可得（2t﹣5）：（4﹣t）＝4：5，解得t＝．
综上所述，t＝1或3或或秒时，△PQE是等腰三角形．
26．（满分12分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．
∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，
∴DE∥AC∥GF，
∴∠EDM＝∠FHM，
∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，
∴△EDM≌△FHM（AAS），
∴DE＝FH，DM＝MH，
∵DE＝2FG，BG＝DG，
∴HG＝DG，
∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，
∴GM⊥DM，DM＝MG，
连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BF＝a，
∵∠EBD＝∠DBF＝45°，
∴∠EBF＝90°，
∴EF＝＝a，
∵EM＝MF，
∴BM＝EF＝a，
∵HM＝DM，GH＝FG，
∴MG＝DF＝a，
∴＝＝．
（2）解：（1）中的值有变化．
理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．
∵DO＝OA，DG＝GB，
∴GO∥AB，OG＝AB，
∵GF∥AC，
∴O，G，F共线，
∵FG＝AB，
∴OF＝AB＝DF，
∵GF∥AC，AC∥OF，
∴DE∥OF，
∴OD与EF互相平分，
∵EM＝MF，
∴点M在直线AD上，
∵GD＝GB＝GO＝GF，
∴四边形OBFD是矩形，
∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，
∵OM＝MD，OG＝GF，
∴MG＝DF，设BC＝m，则AB＝2m，
易知BE＝2OB＝2?2m?sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m?cosα，DF＝OB＝2m?sinα，
∵BM＝EF＝＝，GM＝DF＝m?sinα，
∴＝＝．湘教版九年级上学期期末复习---第三章图形的相似（1）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．﹣
2．在比例尺是1：200000的地图上，A、B两地间的距离为4cm，则A、B两地的实际距离是（ ）
A．8km
B．5km
C．80km
D．0.5km
3．如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．含30°角的直角三角形与含60°角的直角三角形是相似的
B．所有的矩形是相似的
C．所有边数相等的正多边形是相似的
D．所有的等边三角形都是相似的
5．如图，D是△ABC的边BC上的点，△ABC∽△DBA，则下列各式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，一同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为20m，树的顶端在水中的倒影距自己5m远，该同学的身高为1.7m，则树高为（ ）m．
A．3.4
B．5.1
C．6.8
D．8.5
7．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（ ）
A．CD?AC＝AB?BC
B．AC2＝AD?AB
C．BC2＝BD?AB
D．AC?BC＝AB?CD
8．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（8，0），B（8，6），C（0，6）．已知矩形OA1B1C1O与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标为（ ）
A．（4，3）
B．（4，3）或（﹣4，﹣3）
C．（4，3）
D．（4，3）或（﹣4，﹣3）
9．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，S△AEF＝4，则下列结论：①FD＝2AF；②S△BCE＝36；③S△ABE＝16；
④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②
C．②③④
D．①②③
10．如图，矩形ABCD中，∠BEF＝90°，点E是AD中点，＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图所示，给出下列条件：
①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD?AB；⑤
其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
12．如果一个等腰三角形的顶角为36°，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，△ABC看作第一个黄金三角形；作∠ABC的平分线BD，交AC于点D，△BCD看作第二个黄金三角形；作∠BCD的平分线CE，交BD于点E，△CDE看作第三个黄金三角形；……以此类推，第2020个黄金三角形的腰长是（ ）
A．（）2018
B．（）2019
C．（）2018
D．（）2019
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．若7a＝5b，则a：b＝
：
．
14．我们知道黄金比例是，利用这个比例，我们规定一种“黄金算法”即：ab＝a+b，比如12＝1+×2＝．若x
（24）＝5，则x的值为
．
15．如图，已知直线l1∥l2∥l3，AB＝10cm，BG＝6cm，CD＝8cm，那么CH＝
cm．
16．在平面中：①任何旋转对称图形都有最小旋转角；②任意两个大小相等、形状相同的图形无论怎样放置，都可以通过平移、旋转或翻折这三种运动，使得其中一个图形与另一个图形完全重合；③等边三角形是轴对称图形，也是旋转对称图形；④线段有两条对称轴．
以上说法正确的序号有
．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则CF长
．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点P（3，1）和Q（1，3），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．当1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，点M的坐标
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）已知a：b：c＝2：3：4，且a+3b﹣2c＝15，求4a﹣3b+c的值．
20．（满分6分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．
（1）求CE的长；
（2）求AB的长．
21．（满分8分）如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝6，S△AOC＝50，
求：（1）AO的长；
（2）求S△BOD．
22．（满分8分）如图，将△ABC绕点A旋转至△AB'C'的位置，点B'刚好在BC上，连接CC'，AC，B'C'交AC于点E．
（1）请写出图中所有的相似三角形
（不包括全等）；
（2）求证：∠B＝∠ACC'．
23．（满分8分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF＝50cm，EF＝30cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝20m，求树高AB．
24．（满分8分）已知：△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）画出将△ABC绕点A逆时针旋转90°的△AB1C1；
（2）以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，请在网格纸中画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
（3）若图中每个小方格的面积为1，请直接写出△A2B2C2的面积．
25．（满分10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s．解答下列问题：
（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与△ADE相似？
（2）当t为何值时，△EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）．
26．（满分12分）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．
（1）试证明DM⊥MG，并求的值．
（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．
