湘教版九年级上学期期末复习---第三章图形的相似（2）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．在一幅地图上，用4cm表示哈尔滨工业大学到哈西客运站的地铁实际距离是8km，那么这幅地图的比例尺为（ ）
A．1：2
B．1：200
C．1：2000
D．1：200000
2．下列各组数中，不能组成比例的是（ ）
A．2、4、4和8
B．0.3、6、0.2和4
C．2、5、7和15
D．、、和
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，如果AD＝3，BD＝2，AC＝4，那么AE的长是（ ）
A．2
B．3
C．
D．
4．选项图形与如图所示图形相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
6．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ ）
A．36mm
B．80mm
C．40mm
D．72mm
7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）
D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ ）
A．AC2＝AD?AB
B．CD2＝CA?CB
C．CD2＝AD?DB
D．BC2＝BD?BA
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（ ）
A．6﹣3
B．6﹣6
C．3
D．
12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：
①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四边形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正确结论的个数是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．已知＝，求的值
．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是
．
15．如图是小孔成像原理示意图，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，物体AB的高度是9cm，则像CD的高度是
cm．
16．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝
．
17．如图1，在线段AB上有一点E，若＝，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连结ON，延长OP至点G，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ＝4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为
．
18．如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF?BH，FG＝，则S四边形EFKC＝
．
三．解答题（共16小题）
19．（满分6分）已知＝＝，且2x+y+3z≠0，求的值．
20．（满分6分）如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
21．（满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1，请写出点A的对应点A1的坐标；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2，写出点B的对应点B2的坐标；
（3）请在图中标出△OA1B1与△O2A2B2的位似中心M，并写出点M的坐标．
22．（满分8分）如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且＝4，＝．
（1）求的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长．
23．（满分8分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
24．（满分8分）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
25．（满分10分）已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
26．（满分12分）如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是
（直接写出答案）；
（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．湘教版九年级上学期期末复习---第三章图形的相似（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．在一幅地图上，用4cm表示哈尔滨工业大学到哈西客运站的地铁实际距离是8km，那么这幅地图的比例尺为（ D ）
A．1：2
B．1：200
C．1：2000
D．1：200000
2．下列各组数中，不能组成比例的是（ C ）
A．2、4、4和8
B．0.3、6、0.2和4
C．2、5、7和15
D．、、和
3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，如果AD＝3，BD＝2，AC＝4，那么AE的长是（ D ）
A．2
B．3
C．
D．
4．选项图形与如图所示图形相似的是（ D ）
A．
B．
C．D．
5．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，△OAB与△OCD的面积分别是S1与S2，周长分别是C1与C2，则下列说法正确的是（ A ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
6．如图，有一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝90mm，要把它加工成矩形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC，且EH＝2EF，则这个矩形零件的长为（ D ）
A．36mm
B．80mm
C．40mm
D．72mm
解析：设边宽为xmm，则长为2xmm，
∵四边形EFGH为矩形，
∴EH∥BC，EF∥AD，
∴，
∵BE+AE＝AB，
∴，
∴，
解得：x＝36mm，
∴EF＝36mm，EH＝72mm，
故选：D．
7．在三角形ABO中，已知点A（﹣6，3），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对称点A′的坐标是（ D ）
A．（﹣2，1）
B．（﹣8，4）
C．（﹣8，4）或（8，﹣4）
D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（ B ）
A．AC2＝AD?AB
B．CD2＝CA?CB
C．CD2＝AD?DB
D．BC2＝BD?BA
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为（ C ）
A．
B．
C．
D．
解析：连接DE，如图所示：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝AC＝4，
∵CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴CD＝AB＝2，
∵E为BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC＝2，
∴△DEF∽△CAF，
∴＝＝，
∴DF＝CD＝，
故选：C．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点D为边AC上的动点，作菱形DEFG，使点E、F在边AB上，点G在边BC上．若这样的菱形能作出2个，则AD的取值范围是（ B ）
A．
B．
C．
D．
解析：如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝＝3，
则CD＝x，AD＝x，
∵AD+CD＝AC，
∴x+x＝3，
∴x＝，
∴CD＝x＝，
观察图象可知：0≤CD＜时，菱形的个数为0．
如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得m＝，
∴CD＝3﹣＝，
如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．
∵DG∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴n＝，
∴CG＝4﹣＝，
∴CD＝＝，
观察图象可知：当0≤CD＜或＜CD≤3时，菱形的个数为0，当CD＝或＜CD≤时，菱形的个数为1，当＜CD≤时，菱形的个数为2．此时≤AD＜
故选：B．
11．如图，Rt△AOB∽Rt△DOC，∠ABO＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，M为OA的中点，OA＝6，将△COD绕点O旋转一周，直线AD，CB交于点P，连接MP，则MP的最小值是（ A ）
A．6﹣3
B．6﹣6
C．3
D．
解：取AB的中点S，连接MS、PS，
则PS﹣MS≤PM≤MS+PS，
∵∠AOB＝90°，OA＝6，∠ABO＝30°，
∴AB＝2OA＝12，OB＝6
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠COB＝∠DOA，
∵△AOB∽△DOC，
∴＝，
∴△COB∽△DOA，
∴∠OBC＝∠OAD，
∵∠OBC+∠PBO＝180°，
∴∠OAD+∠PBO＝180°，∠AOB+∠APB＝180°，
∴∠APB＝∠AOB＝90°，又S是AB的中点，
∴PS＝AB＝6，
∵M为OA的中点，S是AB的中点，
∴MS＝OB＝3，
∴MP的最小值为6﹣3，
故选：A．
12．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：
①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四边形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正确结论的个数是（ C ）
A．2
B．3
C．4
D．5
解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC＝∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DCB＝45°＝∠ABC，
∴BD＝DC，
∵∠BDC＝∠CEF＝90°，∠DFB＝∠EFC，
∴由三角形内角和定理得：∠DBF＝∠ACD，
∵在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF＝AC，∠BFD＝∠A，∴①正确；
∵∠DFB＝∠FBC+∠FCB＝∠FBC+45°，∠DGB＝∠GBD+45°，∠FBC＝∠GBD，
∴∠DFG＝∠DGF，
∴∠A＝∠DGE，故②正确，
过F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC＝45°，∠BDC＝90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中点，FM⊥BC，
∴FM是△CDH的中位线，
∴FM垂直平分HC，
则BG：BF＝1：＝2：3，CE：BF＝1：2，所以BG：CE＝4：3，故③正确；
作MN⊥CF于N，延长MG交BD于J，在JB上取一点K，使得JG＝JK．
易证△DJG，△GHM，△MNC，△MNF是全等的等腰直角三角形，四边形DGMF是菱形，
∵S△ADC＝S△BDF，S△DFG＝S△FMG，S△DGJ＝S△GHM，
∵BK＝KG＞JG，JG＝JD，
∴BJ＞2DJ，
∴S△BJG＞2S△DJG，
∴S△BDF＞S四边形CEGH，
∴S△ACD＞S四边形CEGH．故④错误．
∵△BDF∽△CEF，
∴＝，∵BD＝DC，CE＝AE，DF＝DG，
∴＝，
∴DG?AE＝DC?EF，故⑤正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题,共18分）
13．已知＝，求的值 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点B、E在第一象限，若点A的坐标为（4，0），则点E的坐标是 （6，6） ．
15．如图是小孔成像原理示意图，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，物体AB的高度是9cm，则像CD的高度是 3 cm．
16．如图，a∥b∥c，直线m分别交直线a、b、c于点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c于点D、E、F．若AB＝2，CB＝4，DE＝3，则EF＝ 6 ．
17．如图1，在线段AB上有一点E，若＝，则我们称E为AB的黄金分割点．如图2，正方形PQMN的边PQ上有一点O，连结ON，延长OP至点G，使得OG＝ON，以PG为边在正方形PQMN的上方作正方形PGKH，若PQ＝4，H是PN的黄金分割点，过点O作OI⊥ON交QM于点I，则S△NOI的值为 5 ．
解：①当PH＞NH时，由题意PH＝?PN＝2﹣2，
设ON＝OG＝x，则OP＝x﹣（2﹣2），
∵∠OPN＝90°，
∴[x﹣（2﹣2）]2+42＝x2，
∴x＝2，
∴OP＝2，OQ＝2，
∵∠OPN＝∠Q＝∠NQI＝90°，
∴∠NOP+∠QOI＝90°，∠NOP+∠PNO＝90°，
∴∠QOI＝∠PNO，
∴△OQI∽△NPO，
∴＝，
∴＝，
∴OI＝，
∴S△NOI＝?NO?OI＝×2×＝5．
②当NH＞PH中，则NH＝2﹣2，PH＝PG＝6﹣2，
设ON＝OG＝y，则OP＝y﹣（6﹣2），
∵∠OPN＝90°，
∴[y﹣（6﹣2）]2+42＝y2，
∴y＝8，
∴OP＝2+2＞4（不符合题意，舍弃）．
综上所述，△NOI的面积为5．
故答案为：5．
18．如图，在正方形ABCD中，以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE，点G在CD上，且CG＝3DG．连接BG并延长，与AE交于点F，与AD延长线交于点H．连接DE交BH于点K，连接CK．若AE2＝BF?BH，FG＝，则S四边形EFKC＝ ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵CG＝3DG，
∴可以假设DG＝3a，CG＝9a，
则AB＝AD＝BC＝CD＝12a，
∴DG∥AB，
∴＝＝＝，
∴DH＝4a，GH＝5a，BH＝20a，
∵AE2＝BF?BH，AE＝AB，
∴AB2＝BF?BH，
∴＝，∵∠ABF＝∠ABH，
∴△ABF∽HBA，
∴∠AFB＝∠BAH＝90°，
∴AF＝＝a，BF＝a，
∴FG＝BH﹣BF﹣GH＝a，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADE+∠GDK＝90°，∠KEF+∠EKF＝90°，∠EKF＝∠GKD，
∴∠GDK＝∠GKD，
∴GD＝GK＝3a，
作KM⊥CD于M，EN⊥AB于N，
∵＝，
∴KM＝a，
∵△AFB≌△ANE，
∴EN＝BF＝a，
∴S四边形EFKC＝S△EFK+S△ECK
＝s△EFK+（S△CDE﹣S△CDK）
＝×a×a+（×12a×a﹣×12a×a）
＝a2，
∵FG＝a＝，
∴a＝，
∴S四边形EFKC＝，
故答案为．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）已知＝＝，且2x+y+3z≠0，求的值．
解：∵＝＝，
∴x＝y，z＝y，
∴＝＝＝﹣．
20．（满分6分）如图，点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，若AC＝2，求AB、BC的长．
解：∵点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴AB＝×AC＝﹣1，
∴BC＝AC﹣AB＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
21．（满分8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）．
（1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出将△OAB放大为原来的2倍得到的△OA1B1，请写出点A的对应点A1的坐标；
（2）画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2，写出点B的对应点B2的坐标；
（3）请在图中标出△OA1B1与△O2A2B2的位似中心M，并写出点M的坐标．
解：（1）如图△OA1B1即为所求作，点A1的坐标（4，2）．
（2）如图，△O2A2B2即为所求作，点B2的坐标（﹣1，﹣1）．
（3）点M即为所求作．M（﹣4，2）．
22．（满分8分）如图，在△ABC中，AD与BE相交于点G，且＝4，＝．
（1）求的值；
（2）若CE＝5cm，则AC的长．
解：（1）过点D作DF∥BE交AC于点F，
∴＝＝4，
∴AE＝4EF，
∵DF∥BE，
∴＝＝，
∴CE＝EF，
∴＝＝；
（2）∵＝，
∴＝，
解得，AE＝8，
∴AC＝AE+CE＝8+5＝13（cm）．
23．（满分8分）如图，在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的延长线交于点F．
（1）求证：△AEF∽△DCE．
（2）若AB＝3，AE＝4，DE＝6，求线段BF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠F＝90°
∵EF⊥CE，
∴∠CED+∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CED＝∠F，又∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AFE∽△DEC．
（2）∵△AFE∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD＝3，AE＝4，DE＝6，
∴＝，
解得BF＝5．
答：线段BF的长为5．
24．（满分8分）如图，小华和同伴在春游期间，发现在某地小山坡的点E处有一颗盛开着桃花的小桃树，他想利用平面镜测量的方式计算一下小桃树到山脚下的距离，即DE的长度，小华站在点B的位置，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E，且BC＝3米，CD＝11.5米，∠CDE＝120°，已知小华的身高AB为2米，请你利用以上的数据求出DE的长度．（结果保留根号）
解：过E作EF⊥BC于F．
∵∠CDE＝120°，
∴∠EDF＝60°，
设DF为x米，DE＝2x米，EF＝x米，
∵∠B＝∠EFC＝90°，
∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△EFC，
∴＝，
∴＝，
∴x＝3+2，
∴DE＝（6+4）米
答：DE的长度为（6+4）米．
25．（满分10分）已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝2.4；
②当时，
即，
解得：t＝；
综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
26．（满分12分）如图，△ABC中，DE∥BC，G是AE上一点，连接BG交DE于F，作GH∥AB交DE于点H．
（1）如图1，与△GHE相似的三角形是 △ADE，△ABC （直接写出答案）；
（2）如图1，若AD＝3BD，BF＝FG，求的值；
（3）如图2，连接CH并延长交AB于P点，交BG于Q，连接PF，则一定有PF∥CE，请说明理由．
（1）解：如图1中，
∵GH∥AD，
∴△GHE∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△GHE∽△ADE∽△ABC，
故答案为△ADE，△ABC．
（2）解：∵GH∥BD，
∴∠FGH∠DBF，
∵BF＝FG，∠DFB＝∠GFH，
∴△BFD≌△GFH（ASA），
∴BD＝GH，
∵GH∥AD，
∴＝＝＝，
∴＝．
（3）证明：如图2中，
∵GH∥BD，
∴＝，
∵GH∥PA，
∴＝，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴PF∥AG，即PF∥AC．
