九年级数学期末考试二次函数专题复习（二）
一．二次函数图象与系数的关系（共15题）
（一）选择题部分（共15小题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）
A．a＞0，c＞0
B．a＞0，c＜0
C．a＜0，c＞0
D．a＜0，c＜0
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（ B ）
A．a＜0
B．b＞0
C．c＞0
D．a﹣b+c＞0
解析：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A正确，
∵对称轴在y轴的左边，∴b＜0；故B错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0，故C正确；
∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故D正确；
故选：B．
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ C ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
解：由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，
∴abc＞0，故B选项不合题意，
当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，
∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，
故选：C．
4．二次函数y＝3（x﹣h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（ D ）
A．h＜0，k＜0
B．h＜0，k＞0
C．h＞0，k＞0
D．h＞0，k＜0
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣2，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（ B ）
A．m＝n
B．m＜n
C．m＞n
D．n﹣m＜3
解：函数的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
解得：b＝4a，
m＝a+b＝5a，n＝a﹣b＝﹣3a，
∵a＜0，∴5a＜﹣3a，
故m＜n，
故选：B．
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ C ）
A．2
B．3
C．4
D．5
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，即2a+b＝0，所以①正确；
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，所以③错误；
∵b＝﹣2a，a﹣b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④正确；
∵ax12+bx1＝ax22+bx2，
∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，∴x1+x2＝2，所以⑤正确．
综上所述，正确的有①②④⑤共4个．
故选：C．
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ B ）
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，因为对称轴在y轴右侧，所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，所以c＞0，所以abc＜0，所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即﹣＝1，所以b＝﹣2a，所以b+2a＝0，所以②正确；
③因为b＝﹣2a，
由4a+b2＜4ac，得4a+4a2＜4ac，∵a＜0，∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，因为b＝﹣2a，所以3a+c＜0，所以④正确．
所以正确的是②④2个．
故选：B．
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，②b﹣2a＜0，③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），⑤2c＜3b．
正确的是（ D ）
A．①③
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
解析：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；
②由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故②错误；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故③错误；
④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，
所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故④正确；
⑤当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故⑤正确；
故④⑤正确．
故选：D．
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（ D ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故②正确；
③∵2a+b＝0，∴a＝﹣b，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴﹣b﹣b+c＞0，
∴3b﹣2c＜0，故③正确；
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，所以am2+bm≥a+b（m为实数）．故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个；
故选：D．
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ A ）
A．3
B．4
C．5
D．6
解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵﹣＝1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；
③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；
⑤当x＝1时，y取到值最小，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，
故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，
故选：A．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b＜a+c；④2c﹣3b＜0；⑤a+b＞an2+bn（n≠1），其中正确的个数有（D ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝﹣＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，且2a+b＝0，
抛物线与y轴的交点在正半轴，因此c＞0，所以：abc＜0，因此①正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，因此②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即，a+c＜b，因此③不正确；
∵a﹣b+c＜0，2a+b＝0，∴﹣b﹣b+c＜0，即2c﹣3b＜0，因此④正确；
当x＝1时，y最大值＝a+b+c，当x＝n（n≠1）时，y＝an2+bn+c＜y最大值，即：a+b+c＞an2+bn+c，也就是a+b＞an2+bn，因此⑤正确，
正确的结论有：①②④⑤，
故选：D．
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣，有下列结论：①abc＞0；
②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（ A ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的左侧，a、b同号，故b＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴，因此c＞0，
故abc＞0，因此①正确，
对称轴为x＝﹣，即﹣＝﹣，即2a＝3b，也就是a＝b，
由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即b﹣b+c＞0，
因此有b+2c＞0，所以②正确，
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，（1）当x＝1时，y＝a+b+c＜0，（2）
（1）+（2）得，5a﹣b+2c＜0，又2a＝3b，则4a＝6b，
∴5a﹣b+2c＝a+4a﹣b+2c＝a+5b+2c＜0，因此③正确，
故选：A．
13．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ D ）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝1时，y＝0，∴a+b+c＝0，∴c＝﹣a﹣2a＝﹣3a，
∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），∴当x＝﹣3时，y＝0，
即9a﹣3b+c＝0，所以③正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，∴a﹣b+c≤am2+bm+c（m为任意实数），
∴a﹣b≤m（am+b）（m为实数），所以④错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，所以⑤正确．
故选：D．
14．二次函数y＝ax2+4ax+1﹣a的图象只过三个象限，则a的取值范围为（ ）
A．＜a≤1
B．0＜a＜
C．﹣1＜a＜0
D．a＜﹣1
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，抛物线图象只过三个象限，
∴当a＞0，抛物线经过第一、二、三象限，当a＜0，抛物线经过第二、三、四象限
∴当a＞0时，，解得＜a≤1；
当a＜0时，，无解，
所以a的范围为＜a≤1；
故选：A．
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（A）
①对称轴为直线x＝﹣1；②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
A．4
B．3
C．2
D．1
解：∵抛物线经过点（﹣3，0），（1，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵x＝﹣3时，y＝0；x＝1时，y＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，所以③正确；
∵点（0，3）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，0），
∴当﹣2＜x＜0时，y＞3，
即不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0，所以④正确．
故选：A．
二．二次函数图象与几何变换（共15小题）
（一）选择题部分（共10小题）
1．把抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ B ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
B．y＝﹣3（x+2）2﹣3
C．y＝﹣3（x﹣3）2+2
D．y＝﹣3（x﹣3）2﹣2
2．将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3x2的图象，平移的方法可以是（ A ）
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
3．将抛物线（ A ）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
A．y＝﹣2（x﹣5）2+2
B．y＝﹣2（x﹣1）2
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
D．y＝﹣2（x﹣4）2+3
4．要得到抛物线y＝（x﹣2）2+1，可以将y＝x2（ C ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
5．将抛物线y＝2x2向左移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到如图所示的图象，则图中点A的坐标为（ A ）
A．（2，﹣1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，1）
6．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ C ）
A．x＝﹣3
B．x＝﹣1
C．x＝﹣2
D．x＝4
7．将抛物线y＝2x2经过平移后不可能得到的抛物线是（ D ）
A．y＝2x2﹣1
B．y＝2（x+1）2
C．y＝2（x+1）2﹣1
D．y＝x2
8．将函数y＝x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣5x+6的图象，则a的值（ C ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列判断正确的是（ C ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点是（﹣2，3）
C．对称轴为直线x＝2
D．它可由抛物线y＝﹣x2
向左平移2个单位再向上平移3个单位得到
10．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0），它关于点（0，12）对称的抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，22）对称的抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，n2）对称的抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．则A2020A2021的长为（ D ）
A．2020
B．2021
C．8080
D．8082
解析：抛物线y＝ax2+2ax﹣b的顶点坐标为（﹣1，﹣a﹣b），
∵点（﹣1，﹣a﹣b）关于点（0，n2）的对称点为（1，a+b+2n2），
∴抛物线yn的顶点坐标An为（1，a+b+2n2），
同理：An+1（1，a+b+2（n+1）2），
∴AnAn+1＝a+b+2（n+1）2﹣（a+b+2n2）＝4n+2．
∴A2020A2021的长为：4×2020+2＝8082，
故选：D．
（二）解答题部分（共5题）
11．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
（1）∵正方形OABC的边长为2，
∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点，
∴，
解得；
（2）由（1）可知抛物线为y＝﹣x2+2x+2，
∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3，
∴顶点为（1，3），
∵正方形边长为2，
∴将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），m的取值范围是1＜m＜3．
12．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3＝1，求x的值；
（2）求抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标；
（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．
解：（1）根据题意，得x2﹣3x+3＝1，
移项、合并同类项，得x2﹣3x+2＝0，
整理，得（x，﹣1）（x﹣2）＝0，
解得：x1＝1，x2＝2；
（2）根据题意知，y＝（2﹣x）2﹣（2﹣x）（﹣1）+（﹣1）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣．
所以，顶点坐标（）；
（3）根据题意知，新的抛物线解析式为y＝﹣（x+）2+．
13．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解：（1）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5），
所以原二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣5，
所以a＝，h＝1，k＝﹣5；
（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝（x﹣1）2﹣5的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）．
14．已知抛物线y＝x2﹣6x+9与直线y＝x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y＝x+3与x轴交于点D．
（Ⅰ）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；
（Ⅱ）将抛物线y＝x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；
（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y＝x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．
解：（I）∵y＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
∴顶点坐标为（3，0）
联立
解得：或
（II）由题意可知：新抛物线的顶点坐标为（3﹣t，1），
设直线AC的解析式为y＝kx+b
将A（1，4），C（3，0）代入y＝kx+b中，
∴
解得：
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6
当点E在直线AC上时，﹣2（3﹣t）+6＝1，解得t＝
当点E在直线AD上时，（3﹣t）+3＝1，解得t＝5，
∴当点E在△DAC内时，＜t＜5
（III）如图，直线AB与y轴交于点F，连接CF，
过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥x轴于点N，交DB于点G，
由直线y＝x+3与x轴交于点D，与y轴交于点F，
得D（﹣3，0），F（0，3）
∴OD＝OF＝3，
∵∠FOD＝90°，
∴∠OFD＝∠ODF＝45°，
∵OC＝OF＝3，∠FOC＝90°，
∴CF＝＝3
∠OFC＝∠OCF＝45°
∴∠DFC＝∠DFO+∠OFC＝45°+45°＝90°，
∴CF⊥AB，
∵△PAB的面积是△ABC面积的2倍，
∴AB?PM＝AB?CF
∴PM＝2CF＝6
∵PN⊥x轴，∠FDO＝45°，
∴∠DGN＝45°，
∴∠PGM＝45°，
在Rt△PGM中，sin∠PGM＝
∴PG＝＝＝12，
∵点G在直线y＝x+3上，P（m，n）
∴G（m，m+3）
∵﹣3＜m＜1，
∴点P在点G的上方，
∴PG＝n﹣（m+3）
∴n＝m+15，
∵P（m，n）在抛物线y＝x2﹣6x+9上，
∴m2﹣6m+9＝n，
∴m2﹣6m+9＝m+15，
解得：m＝
∵﹣3＜m＜1，
∴m＝不合题意，舍去，
∴m＝，
∴n＝m+15＝
15．已知二次函数y＝﹣2x2，y＝﹣2（x﹣2）2，y＝﹣2（x﹣2）2+2，请回答下列问题：
（1）写出抛物线y＝﹣2（x﹣2）2的顶点坐标，开口方向和对称轴；
（2）分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝﹣2x2得到抛物线y＝﹣2（x﹣2）2和y＝﹣2（x﹣2）2+2？
（3）如果要得到抛物线y＝﹣2（x﹣2017）2﹣2018，应将y＝﹣2x2怎样平移？
解：（1）抛物线y＝﹣2（x﹣2）2的顶点坐标（2，0），开口方向向下，对称轴为直线x＝2；
（2）y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），y＝﹣2（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），y＝﹣2（x﹣2）2+2的顶点坐标为（2，2），
所以，抛物线y＝﹣2x2向右平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x﹣2）2，
抛物线y＝﹣2x2向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+2；
（3）∵抛物线y＝﹣2（x﹣2017）2﹣2018的顶点坐标为（2017，﹣2018），
∴应将y＝﹣2x2向右平移2017个单位，向下平移2018个单位得到．
三．二次函数的最值（共10小题）
（一）选择题部分（共10小题）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+2的最小值为（ B ）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
2．二次函数y＝﹣x2+2x﹣5有（ C ）
A．最大值﹣5
B．最小值﹣5
C．最大值﹣4
D．最小值﹣4
3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（ D ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
4．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ C ）
A．m≥1
B．0≤m≤2
C．1≤m≤2
D．m≤2
解析：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），与y轴的交点为（0，3）
其大致图象如图所示：由对称性可知，当y＝3时，x＝0或x＝2，
∵二次函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，
∴1≤m≤2．
故选：C．
5．已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②不存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若z＝xy，则z的最大值为．其中正确的是（ C ）
A．①③
B．①②③④
C．①③④
D．①②③
解：①当k＝0时，方程组为
解这个方程组，得
把x＝﹣2，y＝1代入x﹣2y＝﹣4中，使方程左右两边相等，
所以当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；
②解方程组，得
当x+y＝0，即3k﹣2﹣k+1＝0，解得
k＝．
所以存在实数k，使得x+y＝0．
③x+3y＝3k﹣2+3（﹣k+1）
＝3k﹣2﹣3k+3
＝1
所以不论k取什么实数，x+3y的值始终不变．
④z＝xy＝（3k﹣2）（﹣k+1）
＝﹣k2+k﹣
＝﹣（k﹣）2+
∵a＝﹣1＜0，∴当k＝时，z有最大值为．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、c重合），且保持DE⊥DF，连接EF在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
③点C到线段EF的最大距离为；
其中正确结论的个数是（B）
A．3个
B．2个
C．1
个
D．0个
解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，
∴△ACB为等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝2，CD⊥AB，∠BCD＝45°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
∴△DFE是等腰直角三角形；所以①正确；
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形DECF＝S△DEC+S△DCF＝S△DEC+S△ADE＝S△ADC＝×2×2＝4，所以②错误；
当DE⊥AC时，DE的长度最小，此时EF最短，△DEF的面积最小，则△CEF的面积最大，所以C点到AB的距离最大，最大距离为CD＝，所以③正确．
故选：B．
7．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+4（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为（ A ）
A．﹣1和6
B．2和6
C．﹣1和3
D．2和3
解析：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤4，x＝1时，y取得最大值0，
可得：﹣（1﹣h）2+4＝0，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤4＜h，当x＝4时，y取得最大值0，
可得：﹣（4﹣h）2+4＝0，
解得：h＝6或h＝2（舍）．
综上，h的值为﹣1或6，
故选：A．
38．已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值、最小值分别是（ C ）
A．2，2
B．2，2
C．2，2
D．2，2
解析：∵点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线的图象上
∴y1＝t2，y2＝（t+2）2＝t2+2t+2
∴AB2＝（t+2﹣t）2+（y2﹣y1）2＝22+（t2+2t+2﹣t2）2＝4+（2t+2）2＝4（t+1）2+4
∴AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质可知：
当t＝﹣1时，AB2取得最小值，AB2＝4，AB＝2
当t＝2时，AB2取得最大值，AB2＝4×（2+1）2+4＝40，AB＝
故选：C．
39．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2m（m为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为4，则m的值为（ C ）
A．2
B．2或
C．2或﹣
D．2或或﹣
解析：二次函数y＝（x﹣m）2+2m（m为常数）的对称轴为x＝m，
∵当x＞m时，y随x的增大而增大，当x＜m时，y随x的增大而减小，
∴①若m＜1≤x≤3，x＝1时，函数值y的最小值为4，
可得：4＝（1﹣m）2+2m，
解得：（舍去）；；
②若1≤m≤3，x＝m时，函数值y有最小值为4，可得4＝2m，解得m＝2；
③若1≤x≤3＜m，x＝3时，函数值y的最小值为4，
可得：4＝（3﹣m）2+2m，此方程无解；
∴m的值为2或﹣．
故选：C．
40．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（ A ）
A．最小值﹣3
B．最小值3
C．最大值﹣3
D．最大值3九年级数学期末考试二次函数专题复习（二）
一．二次函数图象与系数的关系（共15题）
（一）选择题部分（共15小题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，c＞0
B．a＞0，c＜0
C．a＜0，c＞0
D．a＜0，c＜0
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．a＜0
B．b＞0
C．c＞0
D．a﹣b+c＞0
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．abc＞0
C．a﹣c＜0
D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）
4．二次函数y＝3（x﹣h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．h＜0，k＜0
B．h＜0，k＞0
C．h＞0，k＞0
D．h＞0，k＜0
5．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣2，记m＝a+b，n＝a﹣b，则下列选项中一定成立的是（ ）
A．m＝n
B．m＜n
C．m＞n
D．n﹣m＜3
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b＝0；②若m为任意实数，则a+b≥am2+bm；③a﹣b+c＞0；④3a+c＜0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
8．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：
①abc＞0，
②b﹣2a＜0，
③a﹣b+c＞0，④a+b＞n（an+b），（n≠1），
⑤2c＜3b．
正确的是（ ）
A．①③
B．②⑤
C．③④
D．④⑤
9．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b＜a+c；④2c﹣3b＜0；⑤a+b＞an2+bn（n≠1），其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣，有下列结论：①abc＞0；
②b+2c＞0；③a+5b+2c＜0．其中，正确结论的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
13．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：其中正确结论的个数有（ ）
①abc＜0；
②c+2a＜0；
③9a﹣3b+c＝0；
④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；
⑤4ac﹣b2＜0．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．二次函数y＝ax2+4ax+1﹣a的图象只过三个象限，则a的取值范围为（ ）
A．＜a≤1
B．0＜a＜
C．﹣1＜a＜0
D．a＜﹣1
15．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，下列结论正确的个数是（ ）
①对称轴为直线x＝﹣1；
②b2﹣4ac＞0；
③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1；
④不等式ax2+bx+c＞3的解为﹣2＜x＜0．
A．4
B．3
C．2
D．1
二次函数图象与几何变换（共15小题）
（一）选择题部分（共10小题）
1．把抛物线y＝﹣3x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣3（x﹣2）2﹣3
B．y＝﹣3（x+2）2﹣3
C．y＝﹣3（x﹣3）2+2
D．y＝﹣3（x﹣3）2﹣2
2．将二次函数y＝﹣3（x﹣1）2的图象平移后，得到二次函数y＝﹣3x2的图象，平移的方法可以是（ ）
A．向左平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度
D．向下平移1个单位长度
3．将抛物线（ ）先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝﹣2（x﹣3）2+1．
A．y＝﹣2（x﹣5）2+2
B．y＝﹣2（x﹣1）2
C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣1
D．y＝﹣2（x﹣4）2+3
4．要得到抛物线y＝（x﹣2）2+1，可以将y＝x2（ ）
A．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
5．将抛物线y＝2x2向左移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到如图所示的图象，则图中点A的坐标为（ ）
A．（2，﹣1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣2，﹣1）
D．（2，1）
6．抛物线y＝2（x﹣1）2﹣3向左平移3个单位长度，此时抛物线的对称轴是直线（ ）
A．x＝﹣3
B．x＝﹣1
C．x＝﹣2
D．x＝4
7．将抛物线y＝2x2经过平移后不可能得到的抛物线是（ ）
A．y＝2x2﹣1
B．y＝2（x+1）2
C．y＝2（x+1）2﹣1
D．y＝x2
8．将函数y＝x2+x的图象向右平移a（a＞0）个单位，得到函数y＝x2﹣5x+6的图象，则a的值（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．对于抛物线y＝﹣（x﹣2）2+3，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线开口向上
B．抛物线的顶点是（﹣2，3）
C．对称轴为直线x＝2
D．它可由抛物线y＝﹣x2
向左平移2个单位再向上平移3个单位得到
10．已知抛物线y＝ax2+2ax﹣b（a≠0），它关于点（0，12）对称的抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，22）对称的抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，n2）对称的抛物线为yn，其顶点为An…（n为正整数）．则A2020A2021的长为（ ）
A．2020
B．2021
C．8080
D．8082
（二）解答题部分（共5题）
11．如图，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过B，C两点．
（1）求b，c的值；
（2）若将该抛物线向下平移m个单位，使其顶点落在正方形OABC内（不包括边上），求m的取值范围．
12．定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m2﹣mn+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2﹣（﹣3）×2+2＝17．根据以上知识解决问题：
（1）若x☆3＝1，求x的值；
（2）求抛物线y＝（2﹣x）☆（﹣1）的顶点坐标；
（3）将（2）中的抛物线绕着原点旋转180°，写出得到的新的抛物线解析式．
13．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a、h、k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标．
14．已知抛物线y＝x2﹣6x+9与直线y＝x+3交于A，B两点（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线y＝x+3与x轴交于点D．
（Ⅰ）求抛物线的顶点C的坐标及A，B两点的坐标；
（Ⅱ）将抛物线y＝x2﹣6x+9向上平移1个单位长度，再向左平移t（t＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点E在△DAC内，求t的取值范围；
（Ⅲ）点P（m，n）（﹣3＜m＜1）是抛物线y＝x2﹣6x+9上一点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求m，n的值．
15．已知二次函数y＝﹣2x2，y＝﹣2（x﹣2）2，y＝﹣2（x﹣2）2+2，请回答下列问题：
（1）写出抛物线y＝﹣2（x﹣2）2的顶点坐标，开口方向和对称轴；
（2）分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝﹣2x2得到抛物线y＝﹣2（x﹣2）2和y＝﹣2（x﹣2）2+2？
（3）如果要得到抛物线y＝﹣2（x﹣2017）2﹣2018，应将y＝﹣2x2怎样平移？
二次函数的最值（共10题）
（一）选择题部分（共10小题）
1．抛物线y＝（x﹣3）2+2的最小值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
2．二次函数y＝﹣x2+2x﹣5有（ ）
A．最大值﹣5
B．最小值﹣5
C．最大值﹣4
D．最小值﹣4
3．若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k的值为（ ）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
4．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1
B．0≤m≤2
C．1≤m≤2
D．m≤2
5．已知关于x，y的方程组，以下结论：①当k＝0时，方程组的解也是方程x﹣2y＝﹣4的解；②不存在实数k，使得x+y＝0；③不论k取什么实数，x+3y的值始终不变；④若z＝xy，则z的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①③
B．①②③④
C．①③④
D．①②③
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、c重合），且保持DE⊥DF，连接EF在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
③点C到线段EF的最大距离为；
其中正确结论的个数是（ ）
A．3个
B．2个
C．1
个
D．0个
7．已知二次函数y＝﹣（x﹣h）2+4（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤4的情况下，与其对应的函数值y的最大值为0，则h的值为（ ）
A．﹣1和6
B．2和6
C．﹣1和3
D．2和3
8．已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值、最小值分别是（ ）
A．2，2
B．2，2
C．2，2
D．2，2
9．已知二次函数y＝（x﹣m）2+2m（m为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为4，则m的值为（ ）
A．2
B．2或
C．2或﹣
D．2或或﹣
10．已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（﹣1，﹣3），则代数式mn+1有（ ）
A．最小值﹣3
B．最小值3
C．最大值﹣3
D．最大值3
