湘教版九年级上学期期末复习---第二章一元二次方程（2）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．关于x的一元二次方程（3﹣a）x2﹣x+4＝0，则a的条件是（ ）
A．a≠1
B．a≠2
C．a≠3
D．a≠4
2．把一元二次方程（x+3）2＝x（3x﹣1）化成一般形式，正确的是（ ）
A．2x2﹣7x﹣9＝0
B．2x2﹣5x﹣9＝0
C．4x2+7x+9＝0
D．2x2﹣6x﹣10＝0
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ ）
A．2012
B．2016
C．2020
D．2021
4．如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（ ）
A．（40+2x）（26+x）＝40×26
B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26
D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
5．方程x2﹣36＝0的解是（ ）
A．x1＝6，x2＝﹣6
B．x＝0
C．x1＝x2＝6
D．x1＝x2＝﹣6
6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．2x2+4x+1＝0
B．2x2﹣4x+1＝0
C．2x2﹣4x﹣1＝0
D．2x2+4x﹣1＝0
7．阅读理解：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：（1）当x≥0时，原方程可以化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1＜0（不合题意，舍去）；（2）当x＜0时，原方程可以化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1＞0（舍去）．∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．那么方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为（ ）
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝﹣2
D．x1＝1，x2＝2
8．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（ ）
A．y﹣﹣2＝0
B．y﹣﹣1＝0
C．y2﹣2y﹣1＝0
D．y2﹣y﹣2＝0
9．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ ）
A．t＜
B．t＞
C．t＜
D．t＞
10．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+2b）x+4b+2＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．以上都可能
11．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）的值是（ ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
12．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ ）
A．6
B．﹣
C．﹣2
D．5﹣5
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．已知方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根分别为m，n，则m+n的值为
．
14．某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg，2020年平均每公顷产5000kg，则水稻每公顷产量的年平均增长率为
．
15．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝
．
16．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为
．
17．若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，则xy＝
．
18．如果，那么＝
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）当m为何值时，方程（m+1）x|4m|﹣2+27mx+5＝0关于x的一元二次方程．
20．（满分8分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x．
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x．
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．
21．（满分8分）解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）（20﹣x）（4x+20）＝600．
22．（满分8分）列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
23．（满分8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+（m+1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是非负整数，且该方程的根是整数，求m的值．
24．（满分8分）若一个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，因为x1是x2的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．
（1）说明x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）若存在正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，求m的值．
25．（满分8分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：对于a2+6a+8．
（1）用配方法分解因式；
（2）当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式＝a2+6a+8+1﹣1
＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]
＝（a+4）（a+2）．
（2）对于（a+3）2﹣1，（a+3）2≥0．
所以，当a＝3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2+2x﹣3；
（2）对于代数式，有最大值还是最小值？并求出的最大值或最小值．
26．（满分12分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？湘教版九年级上学期期末复习---第二章一元二次方程（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．关于x的一元二次方程（3﹣a）x2﹣x+4＝0，则a的条件是（ C ）
A．a≠1
B．a≠2
C．a≠3
D．a≠4
2．把一元二次方程（x+3）2＝x（3x﹣1）化成一般形式，正确的是（ A ）
A．2x2﹣7x﹣9＝0
B．2x2﹣5x﹣9＝0
C．4x2+7x+9＝0
D．2x2﹣6x﹣10＝0
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（ C ）
A．2012
B．2016
C．2020
D．2021
解析：把x＝﹣1代入方程ax2+bx+5＝0得a﹣b+5＝0，
所以a﹣b＝﹣5，
所以2015﹣a+b＝2015﹣（a﹣b）＝2015﹣（﹣5）＝2020．
故选：C．
4．如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块草坪的面积都为144m2，那么通道的宽x应该满足的方程为（ D ）
A．（40+2x）（26+x）＝40×26
B．（40﹣x）（26﹣2x）＝144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x2＝40×26
D．（40﹣2x）（26﹣x）＝144×6
5．方程x2﹣36＝0的解是（ A ）
A．x1＝6，x2＝﹣6
B．x＝0
C．x1＝x2＝6
D．x1＝x2＝﹣6
6．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ A ）
A．2x2+4x+1＝0
B．2x2﹣4x+1＝0
C．2x2﹣4x﹣1＝0
D．2x2+4x﹣1＝0
7．阅读理解：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：（1）当x≥0时，原方程可以化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1＜0（不合题意，舍去）；（2）当x＜0时，原方程可以化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝﹣2，x2＝1＞0（舍去）．∴原方程的解为x1＝2，x2＝﹣2．那么方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0的解为（ B ）
A．x1＝0，x2＝1
B．x1＝﹣2，x2＝1
C．x1＝﹣1，x2＝﹣2
D．x1＝1，x2＝2
解析：当x≥1时，方程为x2﹣x+1﹣1＝0，
∴x1＝0（舍去），x2＝1；
当x＜1时，方程为x2+x﹣1﹣1＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝1（舍去），
∴方程的解是x1＝﹣2，x2＝1．
故选：B．
8．用换元法解方程：﹣2＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后表示为一元二次方程一般形式的是（ C ）
A．y﹣﹣2＝0
B．y﹣﹣1＝0
C．y2﹣2y﹣1＝0
D．y2﹣y﹣2＝0
9．对于实数a、b，定义运算“★”：a★b＝，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（ D ）
A．t＜
B．t＞
C．t＜
D．t＞
解：①当2x+1≤2x﹣3成立时，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b时不成立；
②当2x+1＞2x﹣3成立时，即1＞﹣3，所以a＞b时成立；
则（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，
化简得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，
该一元二次方程有两个不相等的实数根，
△＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0；
解得：t＞．
故选：D．
10．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+2b）x+4b+2＝0根的情况是（ A ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．以上都可能
11．m、n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）的值是（ D ）
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
解析：∵m，n是方程x2﹣2019x+2020＝0的两根，
∴m2﹣2019m+2020＝0，n2﹣2019n+2020＝0，mn＝2020，
∴（m2﹣2020m+2020）?（n2﹣2020n+2020）
＝（﹣m）（﹣n）
＝mn
＝2020．
故选：D．
12．《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为7﹣4＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+10x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为50，则该方程的正数解为（ D ）
A．6
B．﹣
C．﹣2
D．5﹣5
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．已知方程x2﹣x﹣7＝0的两个实数根分别为m，n，则m+n的值为 1 ．
14．某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg，2020年平均每公顷产5000kg，则水稻每公顷产量的年平均增长率为 25% ．
15．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0有一个根是1，则a＝ 1 ．
16．一元二次方程x2+3x﹣1＝0根的判别式的值为 13 ．
17．若x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，则xy＝ 6 ．
解析：∵x2+y2﹣6x﹣4y+13＝0，
∴x2﹣6x+9+y2﹣4y+4＝0，
∴（x﹣3）2+（y﹣2）2＝0，
∵（x﹣3）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴x﹣3＝0，y﹣2＝0，
解得，x＝3，y＝2，
∴xy＝6，
故答案为：6．
18．如果，那么＝ 2 ．
解析：设＝t（t≥1）．则
t2﹣t﹣2＝0，即（t+1）（t﹣2）＝0，
∴t+1＝0，或t﹣2＝0，
∴t＝﹣1（不合题意，舍去），或t＝2；
即＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（6分）当m为何值时，方程（m+1）x|4m|﹣2+27mx+5＝0关于x的一元二次方程．
解：∵方程（m+1）x|4m|﹣2+27mx+5＝0关于x的一元二次方程，
∴m+1≠0，|4m|﹣2＝2．
解得：m＝1．
20．（8分）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x．
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x．
（3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x．
解：（1）依题意得，4x2＝25，
化为一元二次方程的一般形式得，4x2﹣25＝0．
（2）依题意得，x（x﹣2）＝100，
化为一元二次方程的一般形式得，x2﹣2x﹣100＝0．
（3）依题意得，x2+（x﹣2）2＝102，
化为一元二次方程的一般形式得，x2﹣2x﹣48＝0．
21．（8分）解下列方程：
（1）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（2）（20﹣x）（4x+20）＝600．
解：（1）∵3x（x﹣1）＝2﹣2x，
∴3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（3x+2）＝0，
∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣；
（2）∵（20﹣x）（4x+20）＝600，
∴80x+400﹣4x2﹣20x﹣600＝0，
∴﹣4x2+60x﹣200＝0，
∴x2﹣15x+50＝0，
∵a＝1，b＝﹣15，c＝50，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣15）2﹣4×1×50
＝225﹣200
＝25＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝5，x2＝10．
22．（8分）列方程（组）解应用题
某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．
解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得
x（69+1﹣2x）＝600，
整理，得
x2﹣35x+300＝0，
解得x1＝15，x2＝20，
当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；
当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．
答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．
23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+（m+1）＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是非负整数，且该方程的根是整数，求m的值．
解：（1）∵一元二次方程x2﹣3x+（m+1）＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝9﹣4m﹣4＝5﹣4m＞0，
解得，m＜；
（2）∵m＜，m是非负整数，
∴m＝0或1，
当m＝0时，原方程化为x2﹣3x+1＝0，该方程的根不是整数，
当m＝1时，原方程化为x2﹣3x+2＝0，
解方程得，x1＝1，x2＝2，该方程的根是整数，
∴m＝1．
24．（8分）若一个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程是倍根方程．例如x2﹣x﹣2＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣1，因为x1是x2的﹣2倍，所以x2﹣x﹣2＝0是倍根方程．
（1）说明x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）若存在正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，且关于x的一元二次方程x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，求m的值．
解：（1）∵x2+10x﹣75＝0，
（x﹣5）（x+15）＝0，
x1＝5，x2＝﹣15，
∵﹣15是5的﹣3倍，
∴x2+10x﹣75＝0是倍根方程；
（2）x2﹣（m+3）x+2m+2＝0
x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0
（x﹣2）（x﹣m﹣1）＝0
x1＝2，x2＝m+1，
∵x2﹣6x+3m＝0总有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×3m＝36﹣12m≥0，
解得m≤3，
∵正整数m，使得关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+2m+2＝0是倍根方程，
∴m＝1或3．
25．（8分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：对于a2+6a+8．
（1）用配方法分解因式；
（2）当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：（1）原式＝a2+6a+8+1﹣1
＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣1
＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]
＝（a+4）（a+2）．
（2）对于（a+3）2﹣1，（a+3）2≥0．
所以，当a＝3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：x2+2x﹣3；
（2）对于代数式，有最大值还是最小值？并求出的最大值或最小值．
解：（1）x2+2x﹣3
＝x2+2x+1﹣4
＝（x+1）2﹣4
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）；
（2）∵2x2﹣8x
＝2（x2﹣4x）
＝2（x2﹣4x+4﹣4）
＝2[（x﹣2）2﹣4]
＝2（x﹣2）2﹣8，
∴当x＝2时，2（x﹣2）2﹣8即2x2﹣8x有最小值﹣8，
∴代数式有最大值，最大值为﹣．
26.（12分）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
（1）求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率．
（2）东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
解：（1）设年平均增长率为x，由题意得：
20（1+x）2＝28.8，
解得：x1＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的平均增长率为20%．
（2）设每杯售价定为a元，由题意得：
（a﹣6）[300+30（25﹣a）]＝6300，
解得：a1＝21，a2＝20．
∴为了能让顾客获得最大优惠，故a取20．
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
