九年级数学期末考试二次函数专题复习（三）
参考答案与试题解析
一．待定系数法求二次函数解析式（共8小题）
（一）解答题部分（共11题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（1，2），B（﹣3，2）两点，求该抛物线的函数关系式．
解：把A（1，2），B（﹣3，2）代入y＝ax2+bx﹣1得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2+2x﹣1．
2．二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过A（2，1），B（﹣1，﹣2），求这个二次函数的解析式．
解：把A（2，1），B（﹣1，﹣2）分别代入y＝ax2+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3．
3．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2+bx﹣3中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可；
（2）先把一般式化为顶点式，然后利用二次函数的性质解决问题．
解；（1）根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
∵a＞0，
∴当x＜1时，y随x增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
解：（1）由题意得，，
解得，，
则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，
∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上．
5．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
解：（1）把点（2，0），（﹣1，6）代入二次函数y＝ax2+bx得
，
解得，
因此二次函数的关系式y＝2x2﹣4x；
（2）∵y＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，
∴二次函数y＝2x2﹣4x的对称轴是直线x＝1，顶点坐标（1，﹣2）．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．
（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1 ＜ y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0），
∴
解得
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为
（2）因为，该抛物线开口向下．
顶点坐标为（3，）．
（3）∵x1＞x2＞4，对称轴为x＝3，a＝﹣
∴y1＜y2
故答案为：＜．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点P（x1，y），Q（x2，y），且满足x1＜x2，结合函数图象回答问题；
①当y＝3时，直接写出x2﹣x1的值；
②当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围．
解：（1）由图象知抛物线与x轴交于点（1，0）、（3，0），与y轴的交点为（0，3），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
将（0，3）代入，得：3a＝3，
解得：a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
（2）①当y＝3时，x2﹣4x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴x2﹣x1＝4；
②当x2﹣x1＝3时，易知x1＝，此时y＝﹣2+3＝
观察图象可知当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围0≤y≤．
8．已知x＝1+t，y＝2﹣t2．
（1）若点（x，y）恰为抛物线y＝mx2﹣2mx+1的顶点，求m
的值；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若﹣2≤t≤4，且x≥2，求y的取值范围．
解：（1）抛物线y＝mx2﹣2mx+1的顶点坐标：
x＝﹣＝﹣＝1，y＝＝＝1﹣m
∵x＝1+t，
∴1+t＝1，t＝0，
当t＝0时，y＝2﹣t2＝2．
∴1﹣m＝2，∴m＝﹣1．
（2）由于m＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+1
即y关于x的函数关系式为：y＝﹣x2+2x+1
（3）因为x≥2，
∴1+t≥2，
∴t≥1
∴1≤t≤4
由于y＝﹣t2+2
的对称轴是y轴，抛物线开口向下，
所以当1≤t≤4时，y随t的增大而减小．
当t＝4时，y＝﹣14，当t＝1时，y＝1．
所以y的取值范围为﹣14≤y≤1．
二．二次函数的三种形式（共3小题）
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点．
（1）求该函数解析式；
（2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式．
【分析】（1）直接把A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）代入y＝ax2+bx+c可得关于a、b、c的方程组，解可得a、b、c的值，进而可得函数解析式；
（2）利用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点，
∴，
解得，
∴该函数解析式为y＝﹣2x2﹣8x+10；
（2）y＝﹣2x2﹣8x+10＝﹣2（x2+4x）+10＝﹣2（x2+4x+4﹣4）+10＝﹣2（x+2）2+18．
10．已知二次函数y＝x2﹣4x+5．
（1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）利用（1）的解析式求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）根据二次函数的图象的单调性解答．
【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1，即y＝（x﹣2）2+1；
（2）根据（1）的函数解析式知，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）；
（3）根据（1）、（2）的结论画出二次函数的大致图象（如图所示），从图象中可知，当x≥2时，y随x的增大而增大．
11．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）运用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，函数y有最值，最值是多少？
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；
（2）对于二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），当a＞0时，抛物线开口向上，它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）；
（3）根据二次函数的性质，抛物线y＝a（x﹣h）2+k，当x＝h时，函数y有最值k．
【解答】解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6
＝2（x2﹣2x）﹣6
＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6，
即y＝2（x﹣1）2﹣8；
（2）y＝2（x﹣1）2﹣8，
a＝2＞0，抛物线的开口向上，
顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为x＝1；
（3）∵y＝2（x﹣1）2﹣8，
∴当x＝1时，函数y有最小值是﹣8．
二次函数的应用（共15题）
解答题部分（共15题）
1.二次函数与实际面积问题（共5题）
1．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了29m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个矩形养鸡舍，门MN宽1m，如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡舍面积为100m2，求AB的长；
（2）该鸡舍的最大面积可以达到 m2．
解：（1）设AB＝xm，则BC＝（29+1﹣2x）m＝（30﹣x）m，
根据题意得：x（30﹣2x）＝100，
解之得：x1＝5，x2＝10，
当x＝5时，BC＝20＞15
（舍去），
当x＝10时，BC＝10＜15，符合题意；
答：AB的长为10m；
（2）设AB＝xm，鸡舍的面积为Sm2，
∴S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x2﹣15x+﹣）＝﹣2（x﹣）2+；
∴该鸡舍的最大面积可以达到m2．
2．如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，
（1）求出s关于x的函数关系式；
（2）求s的最大值与最小值．
解：（1）平行于墙的边为xm，矩形菜园的面积为ym2．
则垂直于墙的一面长为（45﹣x）m，
根据题意得：S＝x（45﹣x）＝﹣x2+x（17≤x≤27）；
（2）∵S＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣45x）＝﹣（x﹣）2+（17≤x≤27），
∵17≤x≤27，a＝﹣＜0，
∴当x＝m时，S取得最大值，此时S＝m2，
∵|27﹣|＜|17﹣|，
∴x＝17m时，S取得最小值，此时S＝m2，
答：s的最大值是m2，最小值是m2．
3．某矩形工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为768cm2，求丝绸花边的宽度．
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，如果将销售单价每降低1元，每天可多售出20件，不考虑其他情况，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？
解：（1）设丝绸花边的宽度为xcm，由题意得：
（60﹣2x）（40﹣x）＝60×40﹣768，
整理得：x2﹣70x+384＝0，
解得：x1＝6，x2＝64（舍去）．
∴丝绸花边的宽度为6
cm．
（2）设销售单价降低x元，利润为w，由题意得：
w＝（100﹣x﹣40）（200+20x）
＝（60﹣x）（200+20x）
＝﹣20x2+1000x+12000
＝﹣20（x﹣25）2+24500，
∴当x＝25时，w取得最大值，最大值为24500元．
销售单价为：100﹣25＝75（元）．
∴应该把销售单价定为75元，能使每天所获利润最大，最大利润是24500元．
4．如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym．
（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围 y＝60﹣2x（16≤x＜30） ；
（2）求菜园面积S的最大值；
（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为 0＜a≤ ．
解：（1）由题意得：y＝60﹣2x，
∵墙长为28m，篱笆长为60m，
∴0＜y≤28，
∴0＜60﹣2x≤28，
∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，
∴16≤x＜30，
∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；
（2）∵y＝60﹣2x，
∴S＝xy
＝x（60﹣2x）
＝﹣2x2+60x
＝﹣2（x﹣15）2+450，
∵a＝﹣2＜0
∴开口向下，
∵对称轴为x＝15，
∴当16≤x＜30时，S随x增大而减小．
∴当x＝16时，S有最大值，最大值为448m2；
（3）由题意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，
∴S种＝S﹣S路
＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]
＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2
＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，
∵种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤x＜30，
∴﹣≤16，
∴3a+60≤64，
∴3a≤4，
∴a≤，
又∵a＞0，
∴0＜a≤．
5．如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与道路面积比为7：3．
（1）求道路的宽度．
（2）养植区域内月季盆裁要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？
解：（1）设道路宽x米，则
（32﹣4x）（20﹣4x）＝32×20×，
解得：x1＝1，x2＝12（不合题意舍去），
故x＝1，
答：道路宽为1米；
（2）∵5：0.5＝10：1，
故设每平方米增加10z盆，则每盆售价降低z元，出售总额为w元/m2，则：
w＝（10+10z）（5﹣z）
＝﹣10（z﹣2）2+90，
∵10z≤36﹣10，
∴z≤2.6，
∴0≤z≤2.6，
又∵a＝﹣10＜0，且z＝2在0≤z≤2.6内，
∴每平米应该养植20盆月季小盆栽才能使出售总额最多．
2.二次函数与利润问题（共6题）
1．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得，
故y与x的关系式为y＝﹣x+120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣x+120）＝﹣（x﹣70）2+2500，
∵x﹣2＝≥0，﹣x+120≥0，x﹣20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵﹣1＜0，
故抛物线开口向下，
故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）由题意得：w＝（x﹣20×2）（﹣x+120）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，
当w最大＝1500时，﹣（x﹣80）2+1600＝1500，
解得x1＝70，x2＝90，
∵20≤x≤a，
∴有两种情况，
①a＜80时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
∴a＝70．
2．为做好扶贫帮扶工作，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给被帮扶对象，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李师傅按照政策投资销售本市生产的一品牌牛奶．已知这种品牌牛奶的成本价为每箱12元，出厂价为每箱16元，每天销售y（箱）与销售单价x（元）之间满足如图所示函数的关系．
（1）求y与x之间的一次函数关系式
（2）如果李师傅想要每天获得的利润是216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？
（3）设李师傅每天获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设y＝kx+b，
根据题意，得：，
解得，
∴y＝﹣3x+90；
（2）根据题意，得：（x﹣12）（﹣3x+90）＝216，
解得：x1＝24，x2＝18，
当x＝24时，y＝﹣3×24+90＝18，此时政府承担的总差价为18×（16﹣12）＝72（元）；
当x＝18时，y＝﹣3×18+90＝36，此时政府承担的总差价为36×（16﹣12）＝144（元）；
答：政府每天为他承担的总差价最少为72元；
（3）w＝（x﹣12）（﹣3x+90）
＝﹣3x2+126x﹣1080
＝﹣3（x﹣21）2+243，
∴当x＝21时，w取得最大值243，
答：当销售单价为21元时，每天可获得最大利润，最大利润是243元．
3．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价﹣进货价）
（1）求y与x的函数关系式：在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？
解：（1）由题意得：y＝29﹣25﹣x，
∴y＝﹣x+4（0≤x≤4）；
（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，
则S＝（x÷0.5×4+8）（﹣x+4）
＝﹣8x2+24x+32
＝﹣8（x﹣1.5）2+50，
∴x＝1.5时，S最大为50．
∵29﹣1.5＝27.5（万元），
∴每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；
（3）当S＝48时，
﹣8x2+24x+32＝48，
解得：x1＝1
x2＝2，
∵S＝﹣8（x﹣1.5）2+50，二次项系数为﹣8＜0，
∴S为开口向下的二次函数，
∵对称轴为直线x＝1.5，
∴当1≤x≤1.5时，S随x的增大而增大；当1.5＜x≤2时，S随x的增大而减小，
∴当1≤x≤2时，S≥48．
∵实际售价等于（29﹣x）万元，
∴27≤x﹣29≤28时，S≥48．
∴销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．
4．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y＝20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数关系式．
（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润＝年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利＝两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
∵函数图象经过点（50，10），（70，8），
∴，
解得，
所以，y＝﹣0.1x+15；
（2）∵乙种产品的销售单价在25元（含）到45元（含）之间，
∴，
解之得45≤x≤65，
①45≤x＜50时，W＝（x﹣30）（20﹣0.2x）+10（90﹣x﹣20），
＝﹣0.2x2+16x+100，
＝﹣0.2（x2﹣80x+1600）+320+100，
＝﹣0.2（x﹣40）2+420，
∵﹣0.2＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x＝45时，W有最大值，W最大＝﹣0.2（45﹣40）2+420＝415万元；
②50≤x≤65时，W＝（x﹣30）（﹣0.1x+15）+10（90﹣x﹣20），
＝﹣0.1x2+8x+250，
＝﹣0.1（x2﹣80x+1600）+160+250，
＝﹣0.1（x﹣40）2+410，
∵﹣0.1＜0，
∴x＞40时，W随x的增大而减小，
∴当x＝50时，W有最大值，W最大＝﹣0.1（50﹣40）2+410＝400万元．
综上所述，当x＝45，即甲、乙两种产品定价均为45元时，第一年的年销售利润最大，最大年销售利润是415万元；
（3）根据题意得，W＝﹣0.1x2+8x+250+415﹣700＝﹣0.1x2+8x﹣35，
令W＝85，则﹣0.1x2+8x﹣35＝85，解得x1＝20，x2＝60．
又由题意知，50≤x≤65，根据函数与x轴的交点可知50≤x≤60，
即50≤90﹣m≤60，
∴30≤m≤40．
5．某工厂A车间接到生产一批自行车的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每辆自行车的成本价为800元．该车间平时每天能生产自行车20辆．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆．由于机器损耗等原因，当每天生产的自行车达到30辆后，每增加1辆自行车，当天生产的所有自行车平均每辆的成本就增加20元．设生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若这批自行车的订购价格为每辆1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？
解：（1）∵该车间平时每天能生产自行车20辆，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆，
∴由题意可得出，生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆之间的函数关系式为：y＝2x+20（1≤x≤12）；
（2）当1≤x≤5时，W＝（1200﹣800）×（2x+20）＝800x+8000，
此时W随着x的增大而增大，
∴当x＝5时，W最大值＝12000；
当5＜x≤12时，
W＝[1200﹣800﹣20×（2x+20﹣30）]×（2x+20）
＝﹣80（x﹣2.5）2+12500，
此时函数图象开口向下，在对称右侧，W随着x的增大而减小，又天数x为整数，
∴当x＝6时，W最大值＝11520元．
∵12000＞11520，
∴当x＝5时，W最大，且W最大值＝12000元．
综上所述：
W＝．
∴该车间捐献给灾区12000元．
6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
解：（1）由题意得出：
w＝（x﹣20）?y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．
（3）当w＝150时，可得方程﹣2（x﹣30）2+200＝150．
解得
x1＝25，x2＝35．
∵35＞28，
∴x2＝35不符合题意，应舍去．
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
3.二次函数与桥梁问题（共4题）
1．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 方案二 （填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是 （10，0） ，求出你所选方案中的抛物线的解析式．
解：（答案不唯一）方案二；
∵水面的宽度为10m，
∴B点坐标是（10，0）．
选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，0），抛物线的顶点A的坐标为（5，5），且经过点O（0，0），B（10，0），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣5）2
+5（a≠0）．
把点（0，0）代入得：0＝a（0﹣5）2
+5，
解得a＝﹣；
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2
+5．
故答案为：方案二；（10，0）．
2．有一个抛物线形拱桥，其最大高度AD为8m，跨度AB为20m，为了对拱桥进行加固，需要在拱桥内安装矩形脚手架EFHG，已知脚手架的高EF为5m．
（1）请建立合适直角坐标系，并求抛物线的解析式；
（2）求出矩形脚手架EG的长．（参考数据：≈2.45，计算结果精确到0.1m）
解：（1）以抛物线的顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴建立平面直角坐标系，
则C（0，0），B（10，﹣8），
设抛物线的解析式为y＝ax2，由题意，得
﹣8＝100a，
解得a＝﹣，
故抛物线的解析式为：y＝﹣x2；
（2）∵四边形EFHG是矩形，
∴EF＝GH＝5，
∴E、G的纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣x2，
x＝±，
∴E（﹣，﹣3），G（，﹣3），
∴EG＝﹣（﹣）＝5．
∵≈2.45，
∴EG＝5×2.45＝12.3（m）．
3．如图，一个隧道的横截面成抛物线形，它的底部宽12米、高6米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的空隙不少于米．
（1）画出以抛物线的顶点为原点的直角坐标系；
（2）在第（1）小题的基础上，求该隧道横截面的抛物线的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）你能否根据题中的要求，应用已有的二次函数知识，确定通过隧道车辆的高度不能超过多少米？
解：（1）画出以抛物线的顶点O为原点的直角坐标系如图示：
（2）可设抛物线的函数关系式为y＝ax2
（a＜0），
把点B（6，﹣6）坐标代入上式，得﹣6＝a×62，
解得：a＝﹣，
故y＝﹣x2
（﹣6≤x≤6）．
（3）如图示，用线段EF表示通过隧道车辆的高度h米，延长FE交抛物线于点C，交x轴于点D，
根据题意，则CE＝DF﹣EF﹣CD＝6﹣h﹣|y|＝6﹣h﹣x2≥，
整理得：h≤﹣x2+（﹣4≤x≤4，且
x≠0
）．
∵a＝﹣＜0，
∴当0＜x≤4时，二次函数h随x的增大而减小；
当x＝4时，函数h取得最小值，最小值为
h＝﹣×42+＝3，
∴h≤3．
所以，通过隧道车辆的高度不能超过3米．
4．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米．
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．
解：（1）根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O．
如图，以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
问题转化为求点C的纵坐标．
|OF|＝40（米），故B（50，0），E（﹣40，3.6）
设抛物线的解析式为y＝ax2+c
∴解得：
∴y＝﹣x2+10，当x＝0时，y＝10
即正中间的立柱OC的高度是10（米）；
（2）设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5米．
则有﹣x2+10＝5．解得：x＝±25
∵相邻立柱之间的间距为10米．最中间的立柱OC在y轴上，
根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍，
∴x＝±25与题意不符，
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．九年级数学期末考试二次函数专题复习（三）
一．待定系数法求二次函数解析式（共11题）
（一）解答题部分（共11题）
1．已知抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（1，2），B（﹣3，2）两点，求该抛物线的函数关系式．
2．二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过A（2，1），B（﹣1，﹣2），求这个二次函数的解析式．
3．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）x在什么范围内，y随x增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）．
（1）试确定此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？
5．已知二次函数y＝ax2+bx的图象过点（2，0），（﹣1，6）．
（1）求二次函数的关系式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标．
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（2，4）和点B（6，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出它的开口方向、顶点坐标．
（3）点（x1，y1）、（x2，y2）均在此抛物线上，若x1＞x2＞4，则y1
y2（填“＞”、“＝”或“＜”）．
7．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点P（x1，y），Q（x2，y），且满足x1＜x2，结合函数图象回答问题；
①当y＝3时，直接写出x2﹣x1的值；
②当2≤x2﹣x1≤3，求y的取值范围．
8．已知x＝1+t，y＝2﹣t2．
（1）若点（x，y）恰为抛物线y＝mx2﹣2mx+1的顶点，求m
的值；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，若﹣2≤t≤4，且x≥2，求y的取值范围．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（﹣1，16），C（0，10）三点．
（1）求该函数解析式；
（2）用配方法将该函数解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式．
10．已知二次函数y＝x2﹣4x+5．
（1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？
11．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．
（1）运用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，函数y有最值，最值是多少？
二次函数的应用（共15题）
解答题部分（共15题）
1.二次函数与实际面积问题（共5题）
1．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了29m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个矩形养鸡舍，门MN宽1m，如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡舍面积为100m2，求AB的长；
（2）该鸡舍的最大面积可以达到
m2．
2．如图，一段长为45m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长为27m，设花园的面积为sm2，平行于墙的边为xm．若x不小于17m，
（1）求出s关于x的函数关系式；
（2）求s的最大值与最小值．
3．某矩形工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为768cm2，求丝绸花边的宽度．
（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，根据销售经验，如果将销售单价每降低1元，每天可多售出20件，不考虑其他情况，请问应该把销售单价定为多少元，能使每天所获利润最大？最大利润是多少元？
4．如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym．
（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围
；
（2）求菜园面积S的最大值；
（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为
．
5．如图，游仙怡心月季养植园是一个矩形ABCD，AD＝32米，AB＝20米．为了便于养护与运输，养植园内留有四横四纵等宽道路，养植面积与道路面积比为7：3．
（1）求道路的宽度．
（2）养植区域内月季盆裁要均匀摆放，即每平方米摆放的盆数一样．每平方米最多能摆放36盆，密度越大，花的品质会下降，每盆月季的出售价也会随之降低．大棚内现在每平米有月季小盆栽10盆，每盆的出售价为5元．分析发现：每平方米每增加5盆，每盆的出售价会下降0.5元．老板准备增加养植数量，以获得最多的出售总额，那么每平米应该养植多少盆月季小盆栽才能使出售总额最多？
2.二次函数与利润问题（共6题）
1．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
2．为做好扶贫帮扶工作，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给被帮扶对象，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李师傅按照政策投资销售本市生产的一品牌牛奶．已知这种品牌牛奶的成本价为每箱12元，出厂价为每箱16元，每天销售y（箱）与销售单价x（元）之间满足如图所示函数的关系．
（1）求y与x之间的一次函数关系式
（2）如果李师傅想要每天获得的利润是216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？
（3）设李师傅每天获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
3．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．（销售利润＝销售价﹣进货价）
（1）求y与x的函数关系式：在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
（2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？
4．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y＝20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．
（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数关系式．
（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润＝年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？
（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利＝两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围．
5．某工厂A车间接到生产一批自行车的订单，要求必须在12天（含12天）内完成．已知每辆自行车的成本价为800元．该车间平时每天能生产自行车20辆．为了加快进度，车间采取工人分批日夜加班，机器满负荷运转的生产方式，生产效率得到了提高．这样，第一天生产了22辆，以后每天生产的自行车都比前一天多2辆．由于机器损耗等原因，当每天生产的自行车达到30辆后，每增加1辆自行车，当天生产的所有自行车平均每辆的成本就增加20元．设生产这批自行车的时间为x天，每天生产的自行车为y辆．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若这批自行车的订购价格为每辆1200元，该车间决定把获得最高利润的那一天的全部利润捐献给灾区．设该车间每天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出该车间捐献给灾区多少钱？
6．为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
3.二次函数与桥梁问题（共4题）
1．如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是
（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是
，求出你所选方案中的抛物线的解析式．
2．有一个抛物线形拱桥，其最大高度AD为8m，跨度AB为20m，为了对拱桥进行加固，需要在拱桥内安装矩形脚手架EFHG，已知脚手架的高EF为5m．
（1）请建立合适直角坐标系，并求抛物线的解析式；
（2）求出矩形脚手架EG的长．（参考数据：≈2.45，计算结果精确到0.1m）
3．如图，一个隧道的横截面成抛物线形，它的底部宽12米、高6米．车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道的空隙不少于米．
（1）画出以抛物线的顶点为原点的直角坐标系；
（2）在第（1）小题的基础上，求该隧道横截面的抛物线的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；
（3）你能否根据题中的要求，应用已有的二次函数知识，确定通过隧道车辆的高度不能超过多少米？
4．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米．
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．
