湘教版九年级上学期期末复习---第四章锐角三角函数（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB长是（ D ）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ C ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58°
B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28°
D．sin58°＜cos58°＜cos28°
3．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么tanA等于（ D ）
A．
B．
C．
D．
4．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ B ）
A．
B．﹣
C．
D．±
5．若sin（75°﹣θ）的值是，则θ＝（ C ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
6．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（ B ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠CAB等于（ B ）
A．
B．
C．
D．2
解析：作CD⊥AB，交AB于点D，
由图可得，
AC＝＝，BC＝2，AB＝＝3，
∵，
∴，
解得，CD＝，
∴sin∠CAB＝＝＝，
故选：B．
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ B ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴＝＝，
设AD＝2a，则AC＝5a，
根据勾股定理得到CD＝a，
因而sinA＝＝．
故选：B．
9．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶弦杆AB的长为（ D ）
A．
B．
C．
D．
解析：过A点作AD⊥BC于点D，
∵BC＝3+0.3×2＝3.6（m），AB＝AC，
∴BD＝BC＝1.8m，
∴AB＝＝＝（m）．
故选：D．
10．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ A ）
A．3
B．2
C．
D．
解析：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．
则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，
∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．
∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，
∴△NAB≌△EAB．
设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，
∴x＝a．
∴tan∠AEB＝tan∠BNM＝＝3．
故选：A．
11．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ B ）
A．
B．
C．
D．
解析：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，
故选：B．
12．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（ C ）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A．60分钟
B．70分钟
C．80分钟
D．90分钟
解析：如图，作AP⊥BC于P，延长AH交BC于Q，延长EF交AQ于T．
由题意：＝2，AQ＝AH+FG+DE，CQ＝CD+EF+GH，∠AQP＝45°，
∵∠APB＝90°，AB＝900，
∴PB＝900，PA＝1800，
∵∠PQA＝∠PAQ＝45°，
∴PA＝PQ＝1800，AQ＝PA＝1800，
∵∠C＝30°，
∴PC＝PA＝1800，
∴CQ＝1800﹣1800，
∴小伟从C出发到坡顶A的时间＝+≈80（分钟），
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为 8 ．
14．比较大小：sin81° ＜ tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．计算tan1°?tan2°?tan3°?…?tan88°?tan89°＝ 1 ．
16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ 72° ．
17．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为 19.2 米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是 ．
解析：设直线AB交CE于点H，BD交CE于点N，
设∠E＝α，则cos∠E＝＝cosα，则sinα＝，tanα＝4，
∵tan∠ABD＝，则tan∠BHN＝2，
∵AE⊥AC，BC⊥AC，
∴AE∥BC，
∴∠E＝∠ECB＝α，
∵∠NDC+∠NCD＝90°，∠NCB+∠NCD＝90°，
∴∠NCB＝∠NDC＝α，
在△AHE中，设AE＝a，则AG＝AEsinα＝asinα，GE＝acosα，
则GH＝＝＝AG＝asinα，则EH＝GE+GH＝acosα+asinα，
在Rt△AEC中，EC＝＝，
则HC＝EC﹣EH＝﹣（acosα+asinα）；
在△BHC中，tan∠BHN＝2，tanα＝4，HC＝﹣（acosα+asinα），
同理可得：BC＝×，
在Rt△BCD中，CD＝＝×＝a（﹣﹣）＝，
AD＝AC﹣CD＝4a﹣＝，
则＝，
故答案为．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝．求AB的长和sinB的值．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝＝，
∴AC＝12，
∴AB＝＝＝6，
∴sinB＝＝＝．
20．（满分6分）计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝+（）2
＝+3
＝．
21．（满分6分）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°．
解：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°＝sin21°+sin22°+sin23°+…+cos23°+cos22°+cos21°＝44.5．
22．（满分8分）已知tanα＝2，试求下列代数式的值
（1）
（2）．
解：（1）＝，
当tanα＝2时，原式＝＝＝；
（2）
＝
＝，
当tanα＝2时，原式＝＝．
23．（满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，点D在AB边上，且∠BDC＝45°，BC＝5．
（1）求AD长；
（2）求∠ACD的正弦值．
解：（1）∵∠B＝90°，∠BDC＝45°，
∴BC＝BD＝5，
∵sinA＝，
∴AB＝12，
∴AD＝AB﹣BD＝12﹣5＝7；
（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝DE＝，
则sin∠ACD＝．
24．（满分10分）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．
（1）求l2和l3之间的距离；
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
解：（1）过点M作MD⊥NC于点D，
∵cosα＝，MN＝2千米，
∴cosα＝＝＝，
解得：DM＝2（km），
答：l2和l3之间的距离为2km；
（2）∵点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，
∴tan30°＝＝＝，
解得：AB＝3（km），
可得：AC＝3+2＝5（km），
∵MN＝2km，DM＝2km，
∴DN＝＝4（km），
则NC＝DN+BM＝5（km），
∴AN＝＝＝10（km），
∵城际火车平均时速为150千米/小时，
∴市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要＝小时．
25．（满分10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
Rt△ADB中，AB＝13，cos∠BAC＝，
∴AD＝5，
由勾股定理得：BD＝＝＝12，
∵E是BD的中点，
∴ED＝6，
∴∠EAD的正切＝＝；
（2）过D作DG∥AF交BC于G，
∵AC＝8，AD＝5，
∴CD＝3，
∵DG∥AF，
∴＝，
设CG＝3x，FG＝5x，
∵EF∥DG，BE＝ED，
∴BF＝FG＝5x，
∴．
26．（满分12分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？
问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．
建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：
如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA＝a，BC＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．
解：如图2，作AM⊥BC于点M，
∴△AOM为直角三角形．
又∵∠AOB＝α，∴sinα＝即AM＝OA?sinα
∴△ABC的面积＝?BC?AM＝?BC?OA?sinα＝absinα．
问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．
如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝20m，BD＝30m，∠AOB＝60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）
新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积＝ absinα ．
模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝60°，已知AC＝a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）
解：问题解决，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝?BD?AE+?BD?CF＝?BD?（AE+CF）＝?BD?（OA?sin60°+OC?sin60°）＝?BD?AC＝150．
新建模型，如图5中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．
S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝?BD?AE+?BD?CF＝?BD?（AE+CF）＝?BD?（OA?sinα+OC?sinα）＝?BD?AC?sinα＝absinα，
故答案为absinα．
模型应用，如图4中，在CB上取CE＝CD，连接DE，AE，BD．
∵AB+DC＝BC，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝∠BCD＝60°，
∴△ABE与△CDE均为等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝CE，
∴∠AEB＝∠CED＝60°，
∴∠BED＝∠AEC＝120°，
在△BED与△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴AC＝BD，∠EAC＝∠EBD，
∵∠AOP＝∠BOE，
∴∠APO＝∠AEB＝60°，
∴S四边形ABCD＝?a?a?sin60°＝a2．湘教版九年级上学期期末复习---第四章锐角三角函数（2）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝6，则AB长是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（ ）
A．cos28°＜cos58°＜sin58°
B．sin58°＜cos28°＜cos58°
C．cos58°＜sin58°＜cos28°
D．sin58°＜cos58°＜cos28°
3．在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，那么tanA等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知sinαcosα＝，且0°＜α＜45°，则sinα﹣cosα的值为（ ）
A．
B．﹣
C．
D．±
5．若sin（75°﹣θ）的值是，则θ＝（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
6．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠CAB等于（ ）
A．
B．
C．
D．2
8．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sinA的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶弦杆AB的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（ ）
A．3
B．2
C．
D．
11．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．我校小伟同学酷爱健身，一天去爬山锻炼，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在山的另一边有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为900，其中小伟走平路的速度为65.7米/分，走上坡路的速度为42.3米/分．则小伟从C出发到坡顶A的时间为（ ）（图中所有点在同一平面内≈1.41，≈1.73）
A．60分钟
B．70分钟
C．80分钟
D．90分钟
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为
．
14．比较大小：sin81°
tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．计算tan1°?tan2°?tan3°?…?tan88°?tan89°＝
．
16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝
．
17．如图，在市区A道路上建造一座立交桥，要求桥面的高度h为4.8米，引桥的坡角为14°，则引桥的水平距离l为
米（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）．
18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AC边上一点，连BD，过C点作BD的垂线与过A点作AC的垂线交于点E．当tan∠ABD＝，cos∠E＝，则的值是
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（满分6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝．求AB的长和sinB的值．
20．（满分8分）计算：
（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°
（2）+tan260°
21．（满分8分）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°．
22．（满分8分）已知tanα＝2，试求下列代数式的值
（1）
（2）．
23．（满分8分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，sinA＝，点D在AB边上，且∠BDC＝45°，BC＝5．
（1）求AD长；
（2）求∠ACD的正弦值．
24．（满分8分）如图为某区域部分交通线路图，其中直线l1∥l2∥l3，直线l与直线l1、l2、l3都垂直，垂足分别为点A、点B和点C，（高速路右侧边缘），l2上的点M位于点A的北偏东30°方向上，且BM＝千米，l3上的点N位于点M的北偏东α方向上，且cosα＝，MN＝2千米，点A和点N是城际线L上的两个相邻的站点．
（1）求l2和l3之间的距离；
（2）若城际火车平均时速为150千米/小时，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要多少小时？（结果用分数表示）
25．（满分8分）已知：如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，联结AE并延长，交边BC于点F．
（1）求∠EAD的正切值；
（2）求的值．
26．（满分12分）问题提出：某物业公司接收管理某小区后，准备进行绿化建设，现要将一块四边形的空地（如图5，四边形ABCD）铺上草皮，但由于年代久远，小区规划书上该空地的面积数据看不清了，仅仅留下两条对角线AC，BD的长度分别为20cm，30cm及夹角∠AOB为60°，你能利用这些数据，帮助物业人员求出这块空地的面积吗？
问题分析：显然，要求四边形ABCD的面积，只要求出△ABD与△BCD（也可以是△ABC与△ACD）的面积，再相加就可以了．
建立模型：我们先来解决较简单的三角形的情况：
如图1，△ABC中，O为BC上任意一点（不与B，C两点重合），连接OA，OA＝a，BC＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），试用a，b，α表示△ABC的面积．
解：如图2，作AM⊥BC于点M，
∴△AOM为直角三角形．
又∵∠AOB＝α，∴sinα＝即AM＝OA?sinα
∴△ABC的面积＝?BC?AM＝?BC?OA?sinα＝absinα．
问题解决：请你利用上面的方法，解决物业公司的问题．
如图3，四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝20m，BD＝30m，∠AOB＝60°，求四边形ABCD的面积．（写出辅助线作法和必要的解答过程）
新建模型：若四边形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，已知AC＝a，BD＝b，∠AOB＝α（α为OA与BC所夹较小的角），直接写出四边形ABCD的面积＝
．
模型应用：如图4，四边形ABCD中，AB+CD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝60°，已知AC＝a，则四边形ABCD的面积为多少？（“新建模型”中的结论可直接利用）
