2020年秋季学期湘教版九年级期末复习---第二章圆（1）
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：2：3
B．1：：
C．：：1
D．无法确定
2．下列说法正确的是（ ）
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦
D．半圆是圆中最长的弧
3．如图⊙O的半径OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．
4．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ ）
A．1
B．
C．2
D．2
5．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ ）
A．3
B．
C．
D．
7．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（ ）
A．
B．5
C．+1
D．
8．⊙O的直径为10cm，圆心O到点A的距离为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．无法确定
9．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依次A、B、C、D、E、F、C、G、A这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ ）
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
11．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝（ ）度．
A．30
B．60
C．50
D．75
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与⊙O的位置关系是
．
14．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为
m．
15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝
cm．
16．如图，⊙O中，∠ACB＝110°，则∠AOB＝
．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点E；再以点B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点F，交前弧于点G．则图中两个阴影部分的面积之差的绝对值是
．
18．如图：⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为3和1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD的长为
．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）23．定义，如果一个锐角等腰三角形满足一个角的2倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．
（1）“智慧三角形”顶角的度数为 ；
（2）如图1，正五边形ABCDE中，对角线AC，BE交于点P．求证：△APE为智慧三角形；
（3）如图2，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且∠A＝108°，∠B＝144°，
①求∠D的度数；
②求证：AB+BC＝DE+EF．
20．（8分）如图：，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE．
21．（8分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，现在准备用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，求需要毛毡的面积是多少？
22．（8分）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
23．（8分）如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．
（1）求证：∠PEB＝60°；
（2）求∠PAC的度数；
24．（8分）如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于点P．若PC＝2，DB＝6，∠APB＝90°．
（1）求△PAB的周长．
（2）求△PAB与△PCD的面积之比．
25．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
26．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，且BC2＝CD?CA，，BE交AC于F，
（1）求证：BC为⊙O切线．
（2）判断△BCF形状并证明．
（3）已知BC＝15，CD＝9，求tan∠ADE的值．2020年秋季学期湘教版九年级期末复习---第二章圆（1）
参考答案与解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ C ）
A．1：2：3
B．1：：
C．：：1
D．无法确定
2．下列说法正确的是（ C ）
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦
D．半圆是圆中最长的弧
3．如图⊙O的半径OD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点M，OM：OC＝3：5，则AB长为（ C ）
A．8
B．12
C．16
D．
4．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD．且AC⊥BD于E，连结AB，AD，若AD＝2，则半径R的长为（ C ）
A．1
B．
C．2
D．2
5．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连结AB、AD，若AD＝，则半径R的长为（ A ）
A．1
B．
C．
D．
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝7，CE＝5，则AE＝（ C ）
A．3
B．
C．
D．
7．如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝2，BC＝3，点E为BC上一点，且BE＝1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为（ A ）
A．
B．5
C．+1
D．
8．⊙O的直径为10cm，圆心O到点A的距离为6cm，则点A与⊙O的位置关系是（ A ）
A．点A在⊙O外
B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O内
D．无法确定
9．下列有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ C ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
10．如图，两个半径都是4cm的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依次A、B、C、D、E、F、C、G、A这8段路径上不断爬行，直到行走2006πcm后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（ A ）
A．D点
B．E点
C．F点
D．G点
11．以半圆中的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若，且AB＝10，则CB的长为（ A ）
A．
B．
C．
D．4
12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC＝25°，则∠P＝（ C ）度．
A．30
B．60
C．50
D．75
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．已知⊙O的半径是4，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与⊙O的位置关系是 相交 ．
14．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝12m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 2 m．
15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA＝ 5 cm．
16．如图，⊙O中，∠ACB＝110°，则∠AOB＝ 140° ．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝2，以点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点E；再以点B为圆心，以AB为半径画弧，交BC于点F，交前弧于点G．则图中两个阴影部分的面积之差的绝对值是 ．
解析：如图，设△ABE的面积为a，上面的阴影部分的面积为x，下面的阴影部分的面积为y，线段AE，H弧AG，弧EG围成的面积为z．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，
∵AE＝AD＝2，AB＝，
∴BE＝＝＝1，
∴tan∠BAE＝＝，
∴∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝60°，
∴S扇形ADE＝＝，S扇形ABF＝＝，
∴S扇形ADE﹣S扇形ABF＝（x+z）﹣（a+z+y）＝x﹣y﹣a，
∴x﹣y＝a+﹣＝×1×﹣＝﹣，
∴图中两个阴影部分的面积之差的绝对值＝﹣．
18．（3分）如图：⊙O1与⊙O2外切于P，⊙O1，⊙O2的半径分别为3和1．O1A为⊙O2的切线，AB为⊙O2的直径，O1B分别交⊙O1，⊙O2于C，D，则CD的长为 ．
解析：连接O1O2，
∵AO1是⊙O的切线，
∴∠O1AO2＝90°，
∵AO2＝1，O1O2＝4，
∴AO1＝＝＝，
∴BO1＝＝＝，
∴由切割线定理O1A2＝O1D?O1B，得O1D＝＝，
∴CD＝O1D﹣O1C＝﹣2．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）定义，如果一个锐角等腰三角形满足一个角的2倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．
（1）“智慧三角形”顶角的度数为 36° ；
（2）如图1，正五边形ABCDE中，对角线AC，BE交于点P．求证：△APE为智慧三角形；
（3）如图2，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，且∠A＝108°，∠B＝144°，
①求∠D的度数；
②求证：AB+BC＝DE+EF．
（1）解：分两种情况：
①底角度数是顶角度数的2倍时，
设顶角度数为x，则底角度数为2x，
由三角形内角和定理得：x+2x+2x＝180°，
解得：x＝36°，即顶角度数为36°；
②顶角度数是底角度数的2倍时，
设底角度数为x，则顶角度数为2x，
由三角形内角和定理得：x+x+2x＝180°，
解得：x＝45°，2x＝90°（不合题意）；
综上所述：“智慧三角形”顶角的度数为36°；
故答案为：36°；
（2）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE＝BC，∠ABC＝∠BAE＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠ACB＝36°，
∴∠PAE＝108°﹣36°＝72°，
∴∠APE＝72°，
∴∠APE＝∠PAE＝2∠AEB，
∴AE＝PE，
∴△APE为智慧三角形；
（3）①解：延长FA、CB交于点G，延长AB、DC交于点H，延长CD、FE交于M，如图所示：
∵∠BAF＝108°，∠ABC＝144°，
∴∠BAG＝72°，∠ABG＝36°，
∴∠G＝72°，
同理：∠H＝72°，
∵AB∥DE，
∴∠CDE＝180°﹣72°＝108°；
②证明：∵∠G＝∠BAG，
∴BG＝AB，
同理：EM＝DE，
∵BC∥EF，CD∥AF，
∴四边形GCMF是平行四边形，
∴GC＝FM，
即BG+BC＝EM+EF，
∴AB+BC＝DE+EF．
20．（8分）如图：，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：CD＝CE．
证明：∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE．
21．（8分）如图，蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成，现在准备用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，求需要毛毡的面积是多少？
解：设底面圆的半径为R，
则πR2＝25π，
解得，R＝5，
由勾股定理得，圆锥的母线长＝＝，
所以圆锥的侧面积＝×2π×5×＝5π；
圆柱的侧面积＝2π×5×3＝30π，
所以需要毛毡的面积为（30π+5π）m2．
22．（8分）如图，某地新建的一座圆弧形的拱桥，正常水位时，水面宽40米，拱高10米，今年夏季汛期受上游涨水影响，水位持续上涨5米达到警戒水位，求此时水面的宽度．
解：如图，设桥拱所在的圆心为O，正常水位时的水面为AB，上涨后的水面为CD，
过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA、OD，
则OF⊥AB，
∴AF＝BF＝AB＝20（米），CE＝DE，
设OA＝r米，则OF＝（r﹣10）米，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得r2＝202+（r﹣10）2，
解得：r＝25，则OF＝15米，
在Rt△OED中，OE＝OF+EF＝15+5＝20（米），
∴DE＝＝＝15（米），
∴CD＝2DE＝30（米），
即水位到达警戒水位时水面宽30米．
23．（8分）如图，P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC中点，BD与PC相交于点E，已知P为△ABE的内心．
（1）求证：∠PEB＝60°；
（2）求∠PAC的度数；
解：（1）因点P为△ABE内心，
所以PB、PE、PA分别是∠ABE、∠AEB、∠BAE角平分线，
即：∠PBE+∠PEB+∠PAE＝90°，
又∠BPC＝108°，
所以∠PBE+∠PEB＝72°，
所以∠PAE＝18°，∠BAE＝36°，
因为AB＝BC，且D是AC中点，
所以∠ABE＝∠CBE，
又BE＝BE，AB＝CB，
所以△ABE≌△CBE，
即∠BCE＝36°，
又∠BPC＝108°，
所以∠CBP＝36°，
又∠CBE＝∠ABE＝2∠PBE，
所以∠CBE＝24°，
所以∠PEB＝∠BCE+∠CBE＝60°，
（2）由（1）△ABE≌△CBE，
所以∠BEC＝∠BEA，
易知∠CED＝∠AED＝∠PEB＝60°，
所以∠EAD＝30°，
所以∠PAC＝30°+18°＝48°．
24．（8分）如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于点P．若PC＝2，DB＝6，∠APB＝90°．
（1）求△PAB的周长．
（2）求△PAB与△PCD的面积之比．
解：（1）依题意得：∵AB、BD为两圆的公切线，
∴PC＝PD，PA＝PB，
又∵PC＝2，DB＝6
且DB＝PD+PB，
∴PB＝PA＝4，
又∵∠APB＝90°，
∴△APB
是直角三角形，
∴AB＝4，
∴△PAB的周长＝8+4；
（2）∵∠APB
与∠DPC
是对顶角，且∠APB＝90°
∴△APB和△DPC都是直角三角形，
∴△PAB的面积为：＝8，△PCD的面积为＝2，
∴△PAB与△PCD的面积之比是4：1．
25．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
26．（12分）已知：如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，且BC2＝CD?CA，，BE交AC于F，
（1）求证：BC为⊙O切线．
（2）判断△BCF形状并证明．
（3）已知BC＝15，CD＝9，求tan∠ADE的值．
（1）证明：∵BC2＝CD?CA，即BC：CA＝CD：BC，
而∠C公共，
∴△CBD∽△CAB，
∴∠CBD＝∠BAC，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠BAC+∠ABD＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，即AB⊥BC，
∴BC为⊙O切线；
（2）△BCF为等腰三角形．证明如下：
∵，
∴∠DAE＝∠BAC，
而△CBD∽△CAB，
∴∠BAC＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠DAE，
而∠DAE＝∠DBF，
∴∠DBF＝∠CBD，
而∠BDF＝90°，
∴△BCF为等腰三角形；
（3）解：∵BC2＝CD?CA，BC＝15，CD＝9，
∴CA＝25，BF＝BC＝15，DF＝DC＝9，
∴BD＝＝12，
∴AF＝25﹣18＝7，
∴S△ABF＝?AE?BF＝?AF?BD，
∴AE＝＝，
易证Rt△AEF∽Rt△BDF，
∴EF：DF＝AF：BF，即EF：9＝7：15，
∴EF＝，
∴BE＝15+＝，
∵∠ADE＝∠ABE，
∴tan∠ADE＝tan∠ABE＝＝．
