北师版八年级数学下册1.1.1 等腰三角形的性质 课件(共28张PPT)

1.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
第1章 三角形的证明
北师版八年级数学下册
1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.
2.全等三角形的判定方法
（1）三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或
“SSS”）.
（2）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角
边角”或“ASA”）.
（3）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形
全等（简写成“角角边”或“AAS”）.
（4）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边
角边”或“SAS”）
复习导入
利用全等三角形的判定方法，当∠D＝∠B时，
两个三角形符合“边角边”，△ADF≌△CBE．
导引：
例1 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是( )
A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B
C．AD∥BC D．DF∥BE
B
例题精析
1．等腰三角形的相关概念回顾：
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
探究新知
2．议一议
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？
(2)请你选择等腰三角形的一条性质进行证明，并与
同伴交流.
探究新知
定理 等腰三角形的两底角相等.
这一定理可以简述为：等边对等角.
性质：等腰三角形的两底角相等
(简写成“等边对等角”)．
例2 已知：如图1-1，在△ABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C.
分析：我们曾经利用折叠的方法说明
了这两个底角相等(如图1-2).实际
上，折痕将等腰三角形分成了两
个全等三角形.这启发我们，可以
作一条辅助线，把原三角形分成
两个全等的三角形，从而证明这
两个底角相等.
图1-2
例题精析
证明：如图1-3，取BC的中点D，连接 AD.
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD ( SSS ).
∴ ∠B＝∠C (全等三角形的对应角相等）.
例题精析
例3 (1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
导引：给出的条件中，若底角、顶角已确定，可直接运用三
角形的内角和定理与等腰三角形的两底角相等的性质
求解；若给出的条件中底角、顶角不确定，则要分两
种情况求解．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
例题精析
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角
为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角
为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为 若底角为
90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形
内角和定理．因此顶角为90°.
例题精析
1．在等腰三角形中求角时，要看给出的角是否确定
为顶角或底角．若已确定，则直接利用三角形的
内角和定理求解；若没有指出所给的角是顶角还
是底角，要分两种情况讨论，并看是否符合三角
形内角和定理．
2．若等腰三角形中给出的一内角是直角或钝角，则
此角必为顶角．
方法总结
想一想
在图1 -3中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由
此你能得到什么结论?
探究新知
推论 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠BAC)
＝ (180°－50°)＝65°.
例4
(1)解：
例题精析
(2)求证：EF＝ED.
　证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC.
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，
∴EF＝ED.
例题精析
1. 【 中考·怀化】如图，AC＝DC，BC＝EC，请你添加一个适当的条件：_________________________________________，使得△ABC≌△DEC.
DE＝AB或∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE
课堂精练
2. 【中考·黔西南州】如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE
B．AC＝DF
C．∠A＝∠D
D．BF＝EC
C
课堂精练
3. 【中考·鄂州】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则△ABE的面积为(　　)
A. B.
C. D.
D
课堂精练
4. 在△ABC中，AB＝AC .
(1)若∠A＝50°，则∠C等于多少度？
(1)在△ABC中，因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C.
因为∠A＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以2∠C＝180°－∠A＝140°.
所以∠C＝70°.
解：
课堂精练
(2)若∠B＝72°，则∠A等于多少度?
(2)因为∠B＝72°，
所以由(1)可知：
∠A＝180°－2∠B
＝180°－2×72°
＝36°.
解：
课堂精练
5. 如图，在△ABD中，AC⊥BD ，垂足为C，AC＝BC＝CD.
(1)求证：△ABD是等腰三角形；
(1)在△ACB和△ACD中，
所以△ACB≌△ACD(SAS)．
所以AB＝AD(全等三角形的对应边相等)．
所以△ABD是等腰三角形．
证明：
A
课堂精练
(2)求∠BAD的度数.
因为AC＝BC，
所以∠B＝∠BAC.
因为∠ACB＝90°，
所以∠BAC＝45°.
同理∠DAC＝45°，
所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC
＝45°＋45°＝90°.
解：
课堂精练
6. 【中考·宁德】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC和AC上，若AD＝AE，则下列结论错误的是(　　)
A．∠ADB＝∠ACB＋∠CAD
B．∠ADE＝∠AED
C．∠CDE＝ ∠BAD
D．∠AED＝2∠ECD
D
课堂精练
7. 【中考·台州】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是(　　)
A．AE＝EC
B．AE＝BE
C．∠EBC＝∠BAC
D．∠EBC＝∠ABE
C
课堂精练
8. 【中考·苏州】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
课堂精练
9. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，BE＝CF，则下列说法正确的有(　　)
①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；
③BD＝CD；④AD⊥BC.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
课堂精练
10. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，若只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(　　)
A．BD＝CE　
B．AD＝AE
C．DA＝DE　
D．BE＝CD
C
课堂精练
已知等腰三角形的一个外角等于110°，这个等腰三
角形的一个底角的度数为(　　)
A．40°　 　 B．55°
C．70°　　 D．55°或70°
易错点：求等腰三角形的角时易出现漏解的错误
D
易错点拨
本题应用分类讨论思想，分顶角为70°和底角为70°两种情况，解题时易丢掉一种情况而漏解．
易错点拨
1．知识方面：
（1）等腰三角形的性质：等边对等角.
（2）等腰三角形性质的推论：三线合一，即等腰三角
形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线
互相重合.
2．思想方法：转化思想的应用，等腰三角形的性质是
证明角相等、边相等的重要方法.
课堂小结