2020年秋季学期湘教版九年级期末复习---第二章圆（3）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ B ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
2．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ C ）
A．2cm
B．4cm
C．2cm或4cm
D．2cm或4cm
3．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（ C ）
A．13
B．24
C．26
D．28
4．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（ B ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ A ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝150°，则∠AOC的大小是（ C ）
A．75°
B．100°
C．60°
D．30°
7．边长为2的正六边形的边心距为（ C ）
A．1
B．2
C．
D．2
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ D ）
A．r≥
B．r＝3或r＝4
C．≤r≤3
D．≤r≤4
9．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（ C ）
A．65°
B．115°
C．115°或65°
D．130°或65°
10．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（ C ）
A．5＜r＜12
B．18＜r＜25
C．1＜r＜8
D．5＜r＜8
11．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：
①S四边形ABCD＝AB?CD；
②AD＝AB；
③AD＝ON；
④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（ C ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：连接OD、AP，
∵DA、DP、BC分别是圆的切线，切点分别是A、P、B，
∴DA＝DP，CP＝CB，∠A＝90°＝∠B＝∠DPO，
∴AD+BC＝DP+CP＝CD，
∴S四边形ABCD＝（AD+BC）?AB＝AB?CD，∴①正确；
∵AD＝DP＜OD，
∵四边形ODPN是平行四边形，得到OD＝NP＜BP＜AB，则AD＜AB，∴②错误；
∵AB是圆的直径，
∴∠APB＝90°，
∵DP＝AD，AO＝OP，
∴D、O在AP的垂直平分线上，
∴OD⊥AP，
∵∠DPO＝∠APB＝90°，
∴∠OPB＝∠DPA＝∠DOP，
∵OM∥CD，
∴∠POM＝∠DPO＝90°，
在△DPO和△NOP中
∠PON＝∠DPO，OP＝OP，∠DOP＝∠OPN，
∴△DPO≌△NOP，
∴ON＝DP＝AD，∴③正确；
∵AP⊥OD，OA＝OP，
∴∠AOD＝∠POD，
同理∠BOC＝∠POC，
∴∠DOC＝×180°＝90°，
∴△CDO的外接圆的直径是CD，
∵∠A＝∠B＝90°，
取CD的中点Q，连接OQ，
∵OA＝OB，
∴AD∥OQ∥BC，
∴∠AOQ＝90°，
∴④正确．
故选：C．
12．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ A ）
A．
B．6π﹣
C．
D．
解析：如图，连接DF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝CD＝3，AD＝DF＝BC＝6，
∴CF＝＝3，BF＝BC﹣CF＝3，
∴tan∠FDC＝，
∴∠FDC＝30°，∠ADF＝60°
∴S阴＝S扇形ABE﹣（S矩形ABCD﹣S扇形DAF﹣S△DCF）
＝﹣（18﹣﹣?3?3）
＝π﹣，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．在圆内接四边形ACBD中，∠B＝115°，∠A＝ 65° ．
14．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）， 不能 确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
15．正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为 4
16．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为 ．
17．若圆锥的侧面展开图是直径为4的半圆，则该圆锥的高为 ．
18．（3分）如图，三个同样大小的钢珠紧紧卡在一个等边三角形工件内，若等边三角形的边长为6cm，则钢珠的半径为 （﹣1）cm ．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
解：设∠B＝x，
∵BD＝OD，
∴∠DOB＝∠B＝x，
∴∠ADO＝∠DOB+∠B＝2x，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2x，
∵∠AOC＝∠A+∠B，
∴2x+x＝114°，解得x＝38°，
∴∠AOD＝180°﹣∠OAD﹣∠ADO＝180°﹣4x＝180°﹣4×38°＝28°．
20．（8分）如图，一个正多边形的半径为，边心距为1，求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积．
解：连接OB，如图所示：
∵sin∠OAM＝＝＝，
∴∠OAM＝45°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAM＝45°，
∴中心角∠AOB＝90°，
∵＝4，
∴正多边形为正方形，
∴AM＝BM＝OM＝1，
∴边长AB＝2，
∴正多边形的内角为90°，周长＝4AB＝8，正多边形的面积＝AB2＝4．
21．（8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的圆，分别交AB、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝4，BE＝6，求AC的长．
解：（1）证明：连接AE，如图1所示：
∵AC为圆的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）解：连接DE，如图2所示：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝∠C，
∴∠B＝∠BDE，
∴DE＝BE＝6，
由（1）得：BC＝2BE＝12，
∵∠B＝∠B，∠BDE＝∠C（圆内接四边形的外角等于它的内对角），
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，
即＝，
解得：AC＝18．
22．（8分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点I是△ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：DA＝DI；
（2）若AB＝10，AC＝6，求AD、CD的长．
解：（1）证明：连接AI；如图1所示：
∵点I是△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，∠ACI＝∠BCI；
∵∠DAB＝∠BCI，
∴∠DAB＝∠ACI；
∴∠DAB+∠OAI＝∠ACI+∠CAI；
∵∠AID＝∠ACI+∠CAI，∠DAI＝∠DAB+∠OAI，
∴∠AID＝∠DAI，
∴DA＝DI．
（2）解：连接BD，如图2所示：
∵∠ACB＝90°，点I是△ABC的内心，
∴∠ACD＝∠BCD，∠CAI＝∠BAI，
∴，
∴AD＝BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5，
∵∠BCD＝∠BAD＝45°，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴AD＝DI＝5，
作IQ⊥AC与Q，IP⊥BC于P，
则四边形CQIP为正方形，
∴△CQI是等腰直角三角形，IQ＝×（6+8﹣10）＝2，
∴CI＝IQ＝2，
∴CD＝ID+CI＝5+2＝7．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A、B、E三点的⊙O交BC于点D，且．
（1）求证：AB为⊙O的直径；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
解：（1）证明：连接AD，
∵，
∴∠BAD＝∠CAD，又AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB为⊙O的直径；
（2）∵AB为⊙O的直径，
∴点O在AB上，连接OE，
由圆周角定理得，∠AOE＝∠BOE＝90°，
∴阴影部分的面积＝×4×4+＝8+4π．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．
（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；
（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．
解：（1）在△ABC中，∵AB＝AC，M为BC中点
∴AM⊥BC
在Rt△ABM中，AB＝10，BM＝8∴AM＝6．（1分）
当⊙O与⊙A相外切
可得
（t+3）2＝（8﹣t）2+62解得（3分）
当⊙O与⊙A相内切
可得（t﹣3）2＝（t﹣8）2+62解得（5分）
∴当或时，⊙O与⊙A相切．
（2）存在
当点O在BM上运动时（0＜t≤8））
可得（8﹣t）2+62＝（8﹣t+3）2解得（8分）
此时半径
当点O在MC上运动时（8＜t≤16））
可得（t﹣8）2+62＝（t﹣8+3）2解得（10分）
此时半径
当或时，，⊙O与直线AM相切并且与⊙A相外切．
25．（8分）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
解：（1）∵直径AB＝26m，
∴OD＝，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD＝5：24，
∴OE：ED＝5：12，
∴设OE＝5x，ED＝12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2＝132，
解得x＝1，
∴CD＝2DE＝2×12×1＝24m；
（2）由（1）得OE＝1×5＝5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF＝OF﹣OE＝13﹣5＝8m，
∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
26．（12分）已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB交⊙O于另一点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线
（2）若PD＝3，PB＝1，求⊙O的半径；
（3）若PD＝4，sin∠CDB＝，求⊙O的半径．
解：（1）证明：连接OC，OD，
∴OC＝OD
∵CD⊥AB，
∴∠COB＝∠DOB
∵OP＝OP，
∴△OCP≌△ODP（SAS），
∴∠ODP＝∠OCP，
∵PC切⊙O于C，
∴OC⊥CP，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ODP＝90°，
∵点D在⊙O上，
∴PD是⊙O的切线．
（2）解：∵PD是⊙O的切线，PBA是⊙O的割线，
∴PD2＝PB×PA，
∵PD＝3，PB＝1，
∴32＝1×PA，
∴PA＝9，
∴AB＝PA﹣PB＝9﹣1＝8，
∴OC＝AB＝8＝4，
即：⊙O的半径为4
（3）解：∵sin∠CDB＝＝，
∴设BE＝x，BD＝5x，
∵CD⊥AB，
∴∠BED＝90°，
在Rt△BED中，根据勾股定理，有DE＝＝2x，
∵PD切⊙O于D，
∠PDB＝∠BCD，
AB为⊙O直径，且CD⊥AB，
∴∠BCD＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠PDB，
∴，
∴，
∴BP＝2，
设⊙O的半径为r，
∵PD切⊙O于D，
PAB为⊙O的割线，
∴PD2＝PB×PA＝PB（PB+2r），
∴42＝2（2+2r），
∴r＝3．
答：⊙O的半径为3．2020年秋季学期湘教版九年级期末复习---第二章圆（3）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋转对称性”的原理
2．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm
B．4cm
C．2cm或4cm
D．2cm或4cm
3．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（ ）
A．13
B．24
C．26
D．28
4．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝150°，则∠AOC的大小是（ ）
A．75°
B．100°
C．60°
D．30°
7．边长为2的正六边形的边心距为（ ）
A．1
B．2
C．
D．2
8．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有公共点，则r的取值范围为（ ）
A．r≥
B．r＝3或r＝4
C．≤r≤3
D．≤r≤4
9．如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的点，则∠BPC的度数是（ ）
A．65°
B．115°
C．115°或65°
D．130°或65°
10．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，如果分别以A、C为圆心的两圆外切，且点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是（ ）
A．5＜r＜12
B．18＜r＜25
C．1＜r＜8
D．5＜r＜8
11．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，连接OC、BP，过点O作OM∥CD分别交BC与BP于点M、N．下列结论：
①S四边形ABCD＝AB?CD；
②AD＝AB；
③AD＝ON；
④AB为过O、C、D三点的圆的切线．
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
12．如图，矩形ABCD中．AB＝3，BC＝6，以点B为圆心、BA为半径画弧，交BC于点E，以点D为圆心、DA为半径画弧，交BC于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．
B．6π﹣
C．
D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．在圆内接四边形ACBD中，∠B＝115°，∠A＝
．
14．平面直角坐标系内的三个点A（1，﹣3）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3），
确定一个圆，（填“能”或“不能”）．
15．正n边形的一个外角为60°，外接圆半径为4，则它的边长为
16．如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为
．
17．若圆锥的侧面展开图是直径为4的半圆，则该圆锥的高为
．
18．如图，三个同样大小的钢珠紧紧卡在一个等边三角形工件内，若等边三角形的边长为6cm，则钢珠的半径为
．
三．解答题（共8题，满分66分）
19．（6分）如图，BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
20．（8分）如图，一个正多边形的半径为，边心距为1，求该正多边形的中心角、边长、内角、周长和面积．
21．（8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的圆，分别交AB、BC于点D、E．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BD＝4，BE＝6，求AC的长．
22．（8分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点I是△ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：DA＝DI；
（2）若AB＝10，AC＝6，求AD、CD的长．
23．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A、B、E三点的⊙O交BC于点D，且．
（1）求证：AB为⊙O的直径；
（2）若AB＝8，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积．
24．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，M为BC的中点．⊙A的半径为3，动点O从点B出发沿BC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，设运动时间为t秒．
（1）当以OB为半径的⊙O与⊙A相切时，求t的值；
（2）探究：在线段BC上是否存在点O，使得⊙O与直线AM相切，且与⊙A相外切？若存在，求出此时t的值及相应的⊙O的半径；若不存在，请说明理由．
25．（8分）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
26．（12分）已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB交⊙O于另一点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线
（2）若PD＝3，PB＝1，求⊙O的半径；
（3）若PD＝4，sin∠CDB＝，求⊙O的半径．
