2020年秋季学期湘教版九年级期末复习---第二章圆（2）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ B ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（ B ）
A．
B．
C．
D．
3．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ C ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
4.如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（ C ）
A．α＝β
B．α+2β＝90°
C．2α+β＝90°
D．α+β＝45°
5．如图，?O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ D ）
A．PC?CA＝PB?BD
B．CE?AE＝BE?ED
C．CE?CD＝BE?BA
D．PB?PD＝PC?PA
6．如图，已知正方形ABCD中，连结AC，在AC上截取AE＝AD，作△ADE的外接圆交AB于点F，连结DF交AC于点M，连结EF．下列选项正确的是（ B ）
①DG＝AF；
②AM＝EC；
③∠EFB＝∠AFD；
④S四边形BCMF＝S四边形ADEF．
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
解析：连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＝∠ADC＝90°，
∴DF是圆的直径，
∴∠DGF＝90°，
∴四边形AFGD是矩形，
∴DG＝AF，
故①正确；
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠AFD＝∠AED，∠BFE＝∠ADE，
∴∠EFB＝∠AFD，
故③正确；
∵DF是圆的直径，
∴∠DEF＝90°，
∵∠DFE＝∠DAC＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝EF，
∵∠CDE+∠ADE＝∠AEF+∠AED＝90°，
∴∠CDE＝∠EAF，
∴△CDE≌△AEF（SAS），
∴AF＝EC，
∵∠ADE＝∠AED，∠ADE＝∠ADF+45°，∠AED＝∠CDE+45°，
∴∠ADF＝∠CDE，
∵∠AMF＝∠ADF+45°，∠AFD＝∠AED，
∴∠AMF＝∠AFD，
∴AM＝AF，
∴AE＝CE．
故②正确；
连接BE，
∵AE＝BC＝AD，CE＝AF，∠CAF＝∠BCE＝45°，
∴△AEF≌△CBE（SAS），
∴S四边形ADEF＝S△ADE+S△AEF＝S△ADE+S△CDE＝S△ACD＝S△ABC，
∵S四边形BCMF＜S△ABC，
∴S四边形BCMF＜S四边形ADEF，
故④错误，
故选：B．
7．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（ D ）
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①②③④
解析：∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，选项①正确；
连接OD，如图，
∵D为BC中点，O为AB中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE为圆O的切线，选项④正确；
又OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠EDA＝∠BDO，
∴∠EDA＝∠B，选项②正确；
由D为BC中点，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC＝AB，又OA＝AB，
∴OA＝AC，选项③正确；
则正确的结论为①②③④．
故选：D．
8．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（ B ）
A．16
B．
C．
D．
9．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（ D ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．80°
10．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ D ）
A．2≤x≤10
B．4≤x≤16
C．4≤x≤4
D．2≤x≤8
11．如图，菱形ACBD中，AB与CD交于O点，∠ACB＝120°，以C为圆心AC为半径作弧AB，再以C为圆心，CO为半径作弧EF分别交AC于F点，BC于E点，若CB＝2，则图中阴影部分的面积为（ A ）
A．
B．
C．
D．
解析：∵四边形ACBD是菱形，∠ACB＝120°，
∴∠DCA＝∠ACB＝60°，AB⊥CD，AD＝BC＝AC＝2，
∴∠CBA＝∠CBA＝（180°﹣∠ACB）＝30°，∠AOC＝90°，
∴OC＝AC＝＝1，
由勾股定理得：AO＝＝，
∵AC＝AD，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴CD＝AC＝2，
∴DO＝CD﹣OC＝2﹣1＝1，
∴阴影部分的面积S＝S扇形DCA﹣S△DOA＝﹣＝﹣，
故选：A．
12．（3分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ A ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
解析：（1）连接AQ，如图1，
∵BP与半圆O切于点B，AB是半圆O的直径，
∴∠ABP＝∠ACB＝90°．
∵OQ⊥BC，
∴∠OQB＝90°．
∴∠OQB＝∠OBP＝90°．
又∵∠BOQ＝∠POB，
∴△OQB∽△OBP．
∴．
∵OA＝OB，
∴．
又∵∠AOQ＝∠POA，
∴△OAQ∽△OPA．
∴∠OAQ＝∠APO．
∵∠OQB＝∠ACB＝90°，
∴AC∥OP．
∴∠CAP＝∠APO．
∴∠CAP＝∠OAQ．
∴∠CAQ＝∠BAP．
∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，
∴△ACQ∽△ABP．
∴．
故A正确．
（2）如图1，
∵△OBP∽△OQB，
∴．
∴．
∵AQ≠OP，
∴．
故C不正确．
（3）连接OR，如图2所示．
∵OQ⊥BC，
∴BQ＝CQ．
∵AO＝BO，
∴OQ＝AC．
∵OR＝AB．
∴＝，＝2．
∴≠．
∴．
故B不正确．
（4）如图2，
∵，
且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，
∴．
∵AB≠AP，
∴．
故D不正确．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为 5 m．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为 60 °．
15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点P为上任意一点（点P不与点A、点B重合），连结PB、PO，取BC的中点D，取OP的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠PBC的度数为 60°+α ．（用含α的代数式表示）
解析：如图：连接OD、OB，
∵等边△ABC内接于⊙O，
∴OD⊥BC，OD＝OB，∠OBD＝30°．
∵E点是OP的中点，
∴OE＝OP，
∵OB＝OP，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE＝α，
∴∠EOD＝180°﹣2α．
因为四边形DOEB内角和为360°，
∴∠BED＝360°﹣90°﹣60°﹣（180﹣2α）﹣α＝30°+α，
∠EOB＝180°﹣30°﹣（30+2α）＝120﹣2α．
∵OB＝OP，
∴∠P＝∠OBP＝（180°﹣∠POB）＝（180﹣120+2α）＝30°+α．
∴∠PBC＝∠OBP+∠OBC＝30°+α+30°＝60°+α．
故答案为60°+α．
16．圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为 4 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On为n个等圆，⊙O1与⊙O2外切，⊙O2与⊙O3外切，…，⊙On﹣1与⊙On外切，且均与AB相切，⊙O1与AC相切，⊙On与BC相切，则这些等圆的半径为 ．（用n表示）
解析：如图，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
设这些等圆的半径为r．
∵AD平分∠CAB，∠C＝∠APO1，
∴△ACD～△APO1．
作DH⊥AB于点H，
∴CD＝DH，AC＝AH，
∴sin∠CBA＝＝，
即，
∵AC＝AH＝4，
∴BH＝AB﹣AH＝1，
DB＝BC﹣CD＝3﹣CD，
∴在Rt△DBH中，根据勾股定理，得
（3﹣CD）2＝CD2+12，
∴CD＝，
∴，
即
∴AP＝3r．
同理，BQ＝2r，PQ＝（n﹣1）?2r．
∴2rn﹣2r+5r＝5，
解得．
故答案为：．
18．如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB＝58°，则∠C的度数是 122 度．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）如图，⊙O中，，∠A＝∠C，AB与CD交于点P．求证DP＝BP．
解：证明：∵＝，
∴＝，
∴AD＝CB，
在△ADP和△CBP中，
，
∴△ADP≌△CBP（AAS），
∴DP＝BP．
20．（8分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
（1）求线段CD、AC的长；
（2）求⊙O的半径．
解：（1）作AE⊥BC于E，如图1所示：
则AE＝DC，EC＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣EC＝9﹣2＝7，
∴CD＝AE＝＝＝4，
∴AC＝＝＝6；
（2）作BF⊥AC于F，连接OA，如图2所示：
则AF＝CF＝AC＝3，
∴BF垂直平分AC，
∴BF一定过圆心O，BF＝＝＝6，
设⊙O的半径为r，则OF＝6﹣r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得：（6﹣r）2+32＝r2，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
21．（8分）求如图正方形的内切圆与外接圆的半径之比．
解：设⊙O与正方形ABC的边AB相切于点E，连接OA、OE，如图所示：
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
设AE＝x，则OE＝x，
∴OA＝＝x，
∴OE：OA＝x：x＝1：，
即正方形的内切圆与外接圆的半径之比为1：．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
解：（1）证明：∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC，
∵BE⊥DC，
∴OC∥BE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBE，即BC是∠ABE的平分线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD＝r+4，
在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（r+4）2＝r2+82，
解得，r＝6，
则AB＝2r＝12．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接OF，
∵直径AB⊥DE，
∴CE＝DE＝1．
∵DE平分AO，
∴CO＝AO＝OE．
设CO＝x，则OE＝2x．
由勾股定理得：12+x2＝（2x）2．
x＝．
∴OE＝2x＝．
即⊙O的半径为．
（2）在Rt△DCP中，
∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°﹣45°＝45°．
∴∠EOF＝2∠D＝90°．
∴S扇形OEF＝＝π．
∵∠EOF＝2∠D＝90°，OE＝OF＝
SRt△OEF＝＝．
∴S阴影＝S扇形OEF﹣SRt△OEF＝π﹣．
24．（8分）如图，在△ABC中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知BF＝BA，CE＝CA．
（1）求证：O是△AEF的外心；
（2）若∠B＝40°，∠C＝30°，求∠EOF的大小．
解：（1）证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，
∵O是△ABC的内心，
∴∠OBA＝∠FBO，
在△ABO和△FBO中
∴△ABO≌△FBO（SAS），
∴OA＝OF，
同理OA＝OE，
∴OA＝OE＝OF，
∴O是△ABC的外心．
（2）∵O是△AEF的外心，
∴∠EOF＝2∠EAF，
在等腰三角形BO⊥AF，
∴∠AFE＝90°﹣∠B，
同理∠AEF＝90°﹣∠C，
∴∠EOF＝2∠EAF＝2（180°﹣∠AEF﹣∠AFE），
＝[180°﹣（90°﹣∠C）﹣（90°﹣∠B）＝2（∠B+∠C）＝70°，
答：∠EOF的度数是70°．
25．（8分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．
（1）求证：O1E＝O1C；
（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．
解：（1）证明：连接O1A，
∵点E为AD的中点，
∴O1E⊥AD，
∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，
∴O1C⊥AB，
在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，
，
∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）
∴O1E＝O1C；
（2）解：设⊙O2的半径长为r，
∵O1E＝O1C＝6，
∴O2C＝10﹣6＝4，
在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，
则AC＝AE＝8﹣r，
在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，
解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．
26．（8分）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED＝60°，，求PA的长．
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
（1）解：直线PD为⊙O的切线
证明：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB＝90°
∴∠ADO+∠BDO＝90°，
又∵DO＝BO，∴∠BDO＝∠PBD
∵∠PDA＝∠PBD，∴∠BDO＝∠PDA
∴∠ADO+∠PDA＝90°，即PD⊥OD
∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线．
（2）解：∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA＝90°
∵∠BED＝60°，∴∠P＝30°
∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO＝90°
在Rt△PDO中，∠P＝30°，
∴，解得OD＝1
∴
∴PA＝PO﹣AO＝2﹣1＝1
（3）（方法一）证明：如图2，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠PAD＝∠DAF
∵∠PDA＝∠PBD∠ADF＝∠ABF
∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF
∵AB是圆O的直径∴∠ADB＝90°
设∠PBD＝x°，则∠DAF＝∠PAD＝90°+x°，∠DBF＝2x°
∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF＝180°
即90°+x+2x＝180°，解得x＝30°
∴∠ADF＝∠PDA＝∠PBD＝∠ABF＝30°
∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE＝BE，∠EBA＝90°
∴∠DBE＝60°，∴△BDE是等边三角形．
∴BD＝DE＝BE
又∵∠FDB＝∠ADB﹣∠ADF＝90°﹣30°＝60°∠DBF＝2x°＝60°
∴△BDF是等边三角形．∴BD＝DF＝BF
∴DE＝BE＝DF＝BF，∴四边形DFBE为菱形
（方法二）证明：如图3，依题意得：∠ADF＝∠PDA，∠APD＝∠AFD，
∵∠PDA＝∠PBD，∠ADF＝∠ABF，∠PAD＝∠DAF，
∴∠ADF＝∠AFD＝∠BPD＝∠ABF
∴AD＝AF，BF∥PD
∴DF⊥PB∵BE为切线∴BE⊥PB
∴DF∥BE
∴四边形DFBE为平行四边形
∵PE、BE为切线∴BE＝DE
∴四边形DFBE为菱形2020年秋季学期湘教版九年级期末复习---第二章圆（2）
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（ ）
A．把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点之间线段最短”的原理
B．木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的原理
C．将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳定性”的原理
D．将车轮设计为圆形是运用了“圆上所有的点到圆心的距离相等”的原理
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝6，CD＝4，则AE的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
4．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（ ）
A．α＝β
B．α+2β＝90°
C．2α+β＝90°
D．α+β＝45°
5．如图，?O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论中成立的是（ ）
A．PC?CA＝PB?BD
B．CE?AE＝BE?ED
C．CE?CD＝BE?BA
D．PB?PD＝PC?PA
6．如图，已知正方形ABCD中，连结AC，在AC上截取AE＝AD，作△ADE的外接圆交AB于点F，连结DF交AC于点M，连结EF．下列选项正确的是（ ）
①DG＝AF；
②AM＝EC；
③∠EFB＝∠AFD；
④S四边形BCMF＝S四边形ADEF．
A．①②
B．①②③
C．②③④
D．①②③④
7．如图，点D是△ABC中BC边的中点，DE⊥AC于E，以AB为直径的⊙O经过D，连接AD，有下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线．其中正确的结论是（ ）
A．①②
B．①②③
C．②③
D．①②③④
8．如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB＝60°，PA＝8，那么点P与O间的距离是（ ）
A．16
B．
C．
D．
9．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．80°
10．如图，⊙O1的直径AB长度为12，⊙O2的直径为8，∠AO1O2＝30°，⊙O2沿直线O1O2平移，当⊙O2平移到与⊙O1和AB所在直线都有公共点时，令圆心距O1O2＝x，则x的取值范围是（ ）
A．2≤x≤10
B．4≤x≤16
C．4≤x≤4
D．2≤x≤8
11．如图，菱形ACBD中，AB与CD交于O点，∠ACB＝120°，以C为圆心AC为半径作弧AB，再以C为圆心，CO为半径作弧EF分别交AC于F点，BC于E点，若CB＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上一点，OQ⊥BC于点Q，过点B作半圆O的切线，交OQ的延长线于点P，PA交半圆O于R，则下列等式中正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
二．填空题（共6小题，满分18分）
13．王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为
m．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC＝∠B，则∠D的度数为
°．
15．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点P为上任意一点（点P不与点A、点B重合），连结PB、PO，取BC的中点D，取OP的中点E，连结DE，若∠OED＝α，则∠PBC的度数为
．（用含α的代数式表示）
16．圆锥的底面半径为3，侧面积为12π，则这个圆锥的母线长为
．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On为n个等圆，⊙O1与⊙O2外切，⊙O2与⊙O3外切，…，⊙On﹣1与⊙On外切，且均与AB相切，⊙O1与AC相切，⊙On与BC相切，则这些等圆的半径为
．（用n表示）
18．如图，PA切⊙O于A点，C是弧AB上任意一点，∠PAB＝58°，则∠C的度数是
度．
三．解答题（共8小题，满分66分）
19．（6分）如图，⊙O中，，∠A＝∠C，AB与CD交于点P．求证DP＝BP．
20．（8分）如图，点A、B、C在⊙O上，AB＝CB＝9，AD∥BC，CD⊥AD，且AD＝2．
（1）求线段CD、AC的长；
（2）求⊙O的半径．
21．（8分）求如图正方形的内切圆与外接圆的半径之比．
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在射线BA上，DC与⊙O相切于点C，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E，连接BC、OC．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC＝8，DA＝4，求AB的长．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（8分）如图，在△ABC中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知BF＝BA，CE＝CA．
（1）求证：O是△AEF的外心；
（2）若∠B＝40°，∠C＝30°，求∠EOF的大小．
25．（8分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．
（1）求证：O1E＝O1C；
（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．
26．（12分）如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA＝∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BED＝60°，，求PA的长．
（3）将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
