九年级数学期末考试二次函数专题复习（四）
参考答案与试题解析
二次函数图象上点的坐标特征（共10题）
（一）选择题部分（共10小题）
1．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ C ）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y3＜y1
2．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ C ）
A．﹣1或3
B．﹣1
C．3
D．﹣3或1
3．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ C ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y2＞y1
D．y2＞y3＞y1
4．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ C ）
A．0或2
B．0
C．2
D．无法确定
5．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ B ）
A．y2＞y3＞y1
B．y2＞y1＝y3
C．y1＝y3＞y2
D．y1＝y2＞y3
6．已知抛物线y＝ax2经过点（﹣2，﹣4），则a的值是（ C ）
A．﹣2
B．1
C．﹣1
D．2
7．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ C ）
A．2
B．4
C．8
D．16
解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，
∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，
解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），
∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，
∴n＝8，
故选：C．
8．若抛物线y＝ax2+c（a≠0）过点P（﹣2，3），则该抛物线必过下列点（ D ）
A．（0，3）
B．（﹣2，﹣3）
C．（3，﹣2）
D．（2，3）
9．二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）的图象经过点（0，2），则a+b的值是（ C ）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．3
10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝a（x+1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ A ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2
D．y2＞y3＞y1
二、二次函数综合题（共8题）
（一）二次函数中周长与面积问题（共4题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过点A、C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；
（3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，对于直线y＝x﹣2，令y＝0，得x＝4，
令x＝0，得y＝﹣2，
∴点A（4，0），点C（0，﹣2），
将A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x﹣2；
（2）如图2，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e，0），则AE＝4﹣e，
在Rt△COE中，
根据勾股定理得：CE2＝OC2+OE2＝22+e2，
∵AE＝CE，
∴（4﹣e）2＝22+e2，
解得：e＝，
则点E的坐标为（，0）；
（3
）
存在．
如图3，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（﹣1，0），连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点．
∵y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣）2+，
∴顶点D（，），
设直线B′D的解析式为y＝kx+d（k≠0），
则，解得：，
∴直线B′D的解析式为y＝x+，
当x＝0时，y＝，
∴点G的坐标为（0，
）．
2．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
解：（1）对于y＝﹣x2+6x+3，令x＝0，则y＝3，故点A（0，3），
令y＝﹣x2+6x+3＝3，解得x＝0或6，故点B（6，3），
故AB＝6；
（2）设P（m，﹣m2+6m+3），
∵∠P＝∠B，∠AHP＝∠OAB＝90°，
∴△ABO～△HPA，故，
∴＝，
解得m＝4．
∴P（4，11）；
（3）当△APH的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，
则2（AO+HQ）＝PH，
∴2（3+）＝﹣m2+6m，
解得：m1＝4，m2＝3，
∴P（4，11）或P（3，12）．
3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积．
解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C（0，3）．
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，
解得，x＝﹣3或x＝l，
∴A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．
∵M（m，0），
∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）×2＝﹣2m2﹣8m+2．
（3）∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．
∵A（﹣3，0），C（0，3），
设直线AC的解析式y＝kx+b，
∴，解得k＝l，b＝3，
∴直线AC的解析式y＝x+3，
令x＝﹣2，则y＝1，
∴E（﹣2，1），
∴EM＝1，AM＝1，
∴S△AEM＝AM×EM＝．
4．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；
（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．
解：（1）由抛物线y＝ax2+2ax+c，可得C（0，c），对称轴为x＝﹣＝﹣1，
∵OC＝OA，
∴A（﹣c，0），B（﹣2+c，0），
∵AB＝4，
∴﹣2+c﹣（﹣c）＝4，
∴c＝3，
∴A（﹣3，0），
代入抛物线y＝ax2+2ax+3，得
0＝9a﹣6a+3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，∵M（m，0），PM⊥x轴，
∴P（m，﹣m2﹣2m+3），
又∵对称轴为x＝﹣1，PQ∥AB，
∴Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+3），
又∵QN⊥x轴，
∴矩形PQNM的周长
＝2（PM+PQ）
＝2[（﹣m2﹣2m+3）+（﹣2﹣m﹣m）]
＝2（﹣m2﹣4m+1）
＝﹣2（m+2）2+10，
∴当m＝﹣2时，矩形PQNM的周长有最大值10，
此时，M（﹣2，0），
由A（﹣3，0），C（0，3），可得
直线AC为y＝x+3，AM＝1，
∴当x＝﹣2时，y＝1，即E（﹣2，1），ME＝1，
∴△AEM的面积＝×AM×ME＝×1×1＝；
（3）如图2，连接CB并延长，交直线HG与Q，
∵HG⊥CF，BC＝BF，
∴∠BFC+∠BFQ＝∠BCF+∠Q＝90°，∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFQ＝∠Q，
∴BC＝BF＝BQ，
又∵C（0，3），B（1，0），
∴Q（2，﹣3），
又∵H（0，﹣1），
∴QH的解析式为y＝﹣x﹣1，
解方程组，可得
或，
∴点G的坐标为（，）或（，）．
（二）二次函数与三角形有关问题（共4题）
1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将直线BC向下移动n个单位（n＞0），若直线与抛物线有交点，求n的取值范围；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入函数解析式，得，
解得，
∴这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，3），
设直线BC的表达式为y＝mx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
直线BC平移后的表达式为y＝﹣x+3﹣n②，
联立①②并整理得：x2﹣3x+n＝0，
则△＝9﹣4n≥0，解得n≤，
故0＜n≤；
（3）设：M（m，﹣m+3），N（m，m2﹣4m+3），点B（3，0），
则MN＝|m2﹣4m+3+m﹣3|＝|m2﹣3m|，BM＝＝|m﹣3|，
当MN＝BM时，①m2﹣3m＝（m﹣3），
解得m＝或3（舍去3），
②m2﹣3m＝﹣（m﹣3），
解得m＝﹣或3（舍去3），
当BN＝MN时，∠NBM＝∠BMN＝45°，
m2﹣4m+3＝0，
解得m＝1或m＝3（舍），
当BM＝BN时，∠BMN＝∠BNM＝45°，
则﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m+3，
解得m＝2或m＝3（舍），
当△BMN是等腰三角形时，m的值为，﹣，1，2．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，S△ABP＝S△ABC，求此时点P的坐标．
（3）若将△AOC沿射线CB方向平移，平移后的三角形记为△A1O1C1，连接AA1，直线AA1交抛物线于M点，是否存在点C1，使得△AMC1为等腰三角形？若存在，直接写出C1点横坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）对于y＝x2﹣2x﹣3①，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3），
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3；
（2）∵S△ABP＝S△ABC，则|yP|＝|yC|＝×3＝4，
则x2﹣2x﹣3＝±4，
解得x＝1±2或1，
故点P的坐标为（1，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）；
（3）存在，理由：
由BC的表达式知，直线BC与x轴的夹角为45°，则△AOC沿射线CB向右平移m个单位就向上平移了m个单位，
则点C1（m，m﹣3），
∵AA1∥BC，则设直线AA1的表达式为y＝x+s，
将点A的坐标代入上式并解得s＝1，
故直线AA1的表达式为y＝x+1②，
联立①②并解得，即点M的坐标为（4，5），
由点A、M、C1的坐标的：AM2＝50，MC12＝（m﹣4）2+（m﹣8）2，AC12＝（m+1）2+（，m﹣3）2，
当AM＝MC1时，则AM2＝（m﹣4）2+（m﹣8）2，解得m＝6±；
当AM＝AC1时，同理可得：m＝1（舍去负值）；
当MC1＝AC1时，同理可得：m＝3.5；
综上，点C1的横坐标为6+或6﹣或1+或3.5．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（1，2），B（﹣3，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线AB下方抛物线上任意一点，连接AE，BE，求△EAB面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2+3x﹣2；
（2）由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝x+1，
过点E作y轴的平行线交直线AB于点H，
设点E（x，x2+3x﹣2），则点H（x，x+1），
则△EAB面积＝S△EHA+S△EHB＝EH?（xA﹣xB）＝×（1+3）（x+1﹣x2﹣3x+2）＝﹣2x2﹣4x+6，
∵﹣2＜0，故△EAB面积有最大值，
当x＝﹣1时，△EAB面积的最大值为8，此时点E（﹣1，﹣4）；
（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣，设点D（﹣，m），
由点A、B、D的坐标得：AB2＝32，AD2＝（1+）2+（m﹣2）2，BD2＝（）2+（m+2）2，
当AB＝AD时，即32＝（1+）2+（m﹣2）2，解得m＝2±；
当AB＝BD时，同理可得：m＝﹣2±；
当AD＝BD时，同理可得：m＝，
故点D的坐标为（﹣，2+）或（﹣，2﹣）或（﹣，﹣2+）或（﹣，﹣2﹣）或（﹣，）．
4．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．
解：（1）抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，
∵直线BC过点B（3，0），C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x+3，
设D（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），
∴DE＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值；
（3）设点M（1，m），
则MB2＝m2+4，MC2＝1+（m﹣3）2，BC2＝18；
①当MC是斜边时，
1+（m﹣3）2＝m2+4+18；
解得：m＝﹣2；
②当MB是斜边时，
同理可得：m＝4，
故点M的坐标为：（1，﹣2），（1，4）．九年级数学期末考试二次函数专题复习（四）
二次函数图象上点的坐标特征（共10题）
（一）选择题部分（共10小题）
1．若抛物线y＝ax2+2ax+4（a＜0）上有A（﹣，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3
B．y3＜y2＜y1
C．y3＜y1＜y2
D．y2＜y3＜y1
2．若二次函数y＝（m+1）x2﹣mx+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（ ）
A．﹣1或3
B．﹣1
C．3
D．﹣3或1
3．已知A（，y1），B（2，y2），C（﹣，y3）是二次函数y＝3（x﹣1）2+k图象上三点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y2＞y1
D．y2＞y3＞y1
4．已知二次函数y＝mx2+x+m（m﹣2）的图象经过原点，则m的值为（ ）
A．0或2
B．0
C．2
D．无法确定
5．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（4，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＞y3＞y1
B．y2＞y1＝y3
C．y1＝y3＞y2
D．y1＝y2＞y3
6．已知抛物线y＝ax2经过点（﹣2，﹣4），则a的值是（ ）
A．﹣2
B．1
C．﹣1
D．2
7．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
8．若抛物线y＝ax2+c（a≠0）过点P（﹣2，3），则该抛物线必过下列点（ ）
A．（0，3）
B．（﹣2，﹣3）
C．（3，﹣2）
D．（2，3）
9．二次函数y＝a（x﹣1）2+b（a≠0）的图象经过点（0，2），则a+b的值是（ ）
A．﹣3
B．﹣1
C．2
D．3
10．若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝a（x+1）2（a＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y3＞y1＞y2
D．y2＞y3＞y1
二、二次函数综合题（共8题）
（一）二次函数中周长与面积问题（共4题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B（1，0），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2经过点A、C．抛物线的顶点为D，对称轴为直线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点E为x轴上一点，且AE＝CE，求点E的坐标；
（3）设点G是y轴上一点，是否存在点G，使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+6x+3交y轴于点A，过A作AB∥x轴，交抛物线于点B，连结OB．点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．
（1）求AB的长；
（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；
（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．
3．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积．
4．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）AB＝4，与y轴交于点C，OC＝OA，点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M（m，0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM，如图1，点P在点Q左边，当矩形PQNM的周长最大时，求m的值，并求出此时的△AEM的面积；
（3）已知H（0，﹣1），点G在抛物线上，连HG，直线HG⊥CF，垂足为F，若BF＝BC，求点G的坐标．
（二）二次函数与三角形有关问题（共4题）
1．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将直线BC向下移动n个单位（n＞0），若直线与抛物线有交点，求n的取值范围；
（3）直线x＝m分别交直线BC和抛物线于点M，N，当△BMN是等腰三角形时，直接写出m的值．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若点P为抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，S△ABP＝S△ABC，求此时点P的坐标．
（3）若将△AOC沿射线CB方向平移，平移后的三角形记为△A1O1C1，连接AA1，直线AA1交抛物线于M点，是否存在点C1，使得△AMC1为等腰三角形？若存在，直接写出C1点横坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（1，2），B（﹣3，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点E为直线AB下方抛物线上任意一点，连接AE，BE，求△EAB面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标．
4．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；
（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．
