九年级数学期末考试二次函数专题复习（四）
参考答案与试题解析
一、二次函数综合题（共8题）
（一）二次函数与四边形问题（共6题）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x＝0时，则y＝，
∴C（0，），
当y＝0时，﹣x2+2x+＝0，
化简，得x2﹣4x﹣5＝0，
解得，x＝﹣1或x＝5，
∴A（﹣1，0），B（5，0）；
（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，连接AP．
∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，
∴AP＝PB，
要使PA+PC的值最小，则应使PB+PC的值最小，
∴BC与对称轴的交点，使得PA+PC的值最小．
设BC的解析式为y＝kx+b．
将B（5，0），C（0，）代入y＝kx+b，
得，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝2
当x＝2时，y＝﹣×2+＝，
∴P（2，）；
（3）设点M（m，0），N（n，﹣n2+2n+），
由（1）知，A（﹣1，0），C（0，），
当AC与MN是对角线时，
∴AC与MN互相平分，
∴（0+）＝（﹣n2+2n+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
当AM与CN是对角线时，AM与AN互相平分，
∴（m﹣1）＝n，×0＝（﹣n2+2n++），
解得，n＝2±，
∴N（2+，﹣）或（2﹣，﹣），
当AN与CM是对角线时，AN与CM互相平分，
∴（﹣n2+2n+）＝×（0+），
解得，n＝0（舍）或n＝4，
∴N（4，），
即：以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（4，）或（2+，﹣）或（2﹣，﹣），
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连结AC、BC、DB、DC．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值．
（3）当m＝2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线交点式表达式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，6），
由点B、C的坐标，得直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC于点H，
设点D（m，﹣m2+m+6），则点H（m，﹣m+6），
则S△BDC＝HD×OB＝2（﹣m2+m+6+m﹣6）＝2（﹣m2+3m），
∴S△ACO＝××6×2＝，
即：2（﹣m2+3m）＝，
解得：m＝1或3（舍去1），
故m＝3；
（3）当m＝2时，点D（2，6），
设点M（x，0），点N（t，n），则n＝﹣t2+t+6①，
①当BD是边时，
点B向左平移2个单位向上平移6个单位得到点D，同样点M（N）向左平移2个单位向上平移6个单位得到点N（M），
故，
解得x＝4（此时是点B的横坐标，舍去）或（不合题意的值已舍去）；
故点M的坐标为（，0）或（﹣，0）；
②当BD是对角线时，
由中点公式得：③，
联立①③并解得，
故点M的坐标为（5，0）；
综上，点M的坐标为（，0）或（﹣，0）或（5，0）．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得．
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2①；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，
设点P（m，﹣m2+m+2），则点Q（m，﹣m+2），
过点Q作QH⊥y轴于点H，
由点B、C的坐标知，CO＝2，OB＝4，则tan∠CBO＝＝＝tan∠CQH，则sin∠CQH＝，
则CH＝CQsin∠CQH＝CQ＝CH＝yC﹣yH＝2﹣（﹣m+2）＝m，
则PQ+CQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）m＝﹣m2+m，
∵﹣＜0，故PQ+CQ有最大值，
当m＝3时，PQ+CQ最大值为，此时点P（3，）；
（3）将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，则向左平移了2个单位，向上平移了1个单位，
则抛物线的抛物线为y＝﹣（x+1）2+（x+1）+2+1＝﹣x2﹣x+3②；
联立①②并解得，故点G（1，），
设点N的坐标为（x，﹣x2﹣x+3），
①当CG是边时，
将点C向上平移个单位得到点G，则点N（M）向上平移个单位得到M（N），
即﹣x2﹣x+3±＝0，解得x＝﹣1±或1±2，
故点N的坐标为（﹣1+，）或（﹣1﹣，）或（﹣1+2，﹣）或（﹣1﹣2，﹣）；
②当CG是对角线时，
由中点公式得：（2+）＝（﹣x2﹣x+3），
整理得：x2+2x+5＝0，
∵△＜0，故该方程无解；
综上，点N的坐标为（﹣1+，）或（﹣1﹣，）或（﹣1+2，﹣）或（﹣1﹣2，﹣）．
4．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）把A（3，0）代入二次函数y＝﹣x2+2x+m得：
﹣9+6+m＝0，
m＝3；
（2）由（1）可知，二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
x2﹣2x﹣3＝0，
（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x＝﹣1或3，
∴B（﹣1，0）；
（3）∵S△ABD＝S△ABC，
当y＝3时，﹣x2+2x+3＝3，
﹣x2+2x＝0，
x2﹣2x＝0，
x（x﹣2）＝0，
x＝0或2，
∴只有（2，3）符合题意．
综上所述，点D的坐标为（2，3）；
（4）存在，理由：
①当AB是矩形的边时，此时，对应的矩形为ABP′Q′，
∵AO＝OC＝3，故∠PAB＝45°，
∴矩形ABP′Q′为正方形，
故点Q′的坐标为（3，4）；
②当AB是矩形的对角线时，此时，对应的矩形为APBQ，
同理可得，矩形APBQ为正方形，
故点Q的坐标为（1，﹣2），
故点Q的坐标为（3，4）或（1，﹣2）．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH的长度；
（3）在（2）中，HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F′作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3，故点A（1，3），
由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，故点B（3，3），
∴AB＝2；
（2）如图1中，设P（m，﹣m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．
∵直线BE的解析式为y＝x，
∴N（m，m），
∴S△PEB＝×2×（﹣m2+3m）＝﹣m2+3m，
∴当m＝时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3），
∴PH＝﹣3＝；
（3）存在，理由：
如图1，作直线OG交AB于G，使得∠COG＝30°，作HK⊥OG于K交OC于F，
∵FK＝OF，
∴HF+FO＝FH+FK＝HK，此时HF+OF的值最小，
∵S△OGH＝?HG?OC＝?OG?HK，
∴HK＝＝+，
∴HF+OF的最小值为＝+，
如图2中，由题意CH＝，CF＝，QF′＝，CQ＝1，
∴Q（﹣1，3），D（2，4），DQ＝，
①当DQ为菱形的边时，
则DQ＝QS1＝，而点Q（﹣1，3），则点S1（﹣1，3﹣），
同理可得：S2（﹣1，3+），S4（5，3）；
②当DQ为对角线时，同理可得S3（﹣1，8），
综上所述，满足条件的点S坐标为（﹣1，3﹣）或（﹣1，3+）或（﹣1，8）或（5，3）．
6．如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，3）．△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（t＞0）秒，直线DF交x轴于点G，交抛物线于点P，连接PE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当S△PEF＝3时，请求出t的值；
（3）如图2，点M为抛物线顶点，在平面内找一点N，使点O，M，F，N为顶点构成菱形，请直接写出满足条件的点N的坐标．
解：（1）直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为（0，﹣3）、（3，0），
将B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点A、B的坐标知，OA＝OB，故直线AB与x轴的夹角为45°，
故△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，t秒后，向右和向上均平移了t个单位，
则点D（t，t﹣3），则点F（t，t），点E（t+3，t），则点P（t，﹣t2+2t+3），
S△PEF＝3＝×EF?PF＝×3×|﹣t2+2t+3﹣t|，
解得t＝或（不合题意值已舍去）；
（3）由抛物线的表达式知，点M（1，4），则OM2＝17，
设点N的坐标为（m，n），
①当OM是边时，
点O向右平移1个单位向上平移4个单位得到点M，
同样，点N（F）向右平移1个单位向上平移4个单位得到点F（N），且OM＝ON（OM＝OF），
即m±1＝t，n±4＝t，且17＝m2+n2（17＝t2+t2），
解得或（不合题意值已舍去），
故点N的坐标为（，）或（4，1）；
②当OM是对角线时，
由中点公式得：且OM＝FN，即17＝（m﹣t）2＝（n﹣t）2，
解得：，
故点N的坐标为（﹣0.7，2.3），
综上，点N的坐标为（，）或（4，1）或（﹣0.7，2.3）．
（二）二次函数与相似问题（共3题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M坐标．
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，此时发现∠ADM﹣ACM是个常数，请写出这个常数，并证明．
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G，当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）解：对于抛物线y＝x2﹣2x，令y＝0，得到x2﹣2x＝0，
解得x＝0或6，
∴A（6，0），
∵直线y＝﹣x+b经过点A，
∴0＝﹣3+b，
∴b＝3，
∵y＝x2﹣2x＝（x﹣3）2﹣3，
∴M（3，﹣3）；
（2）证明：如图1中，设平移后的直线的解析式y＝﹣x+n．
∵平移后的直线经过M（3，﹣3），
∴﹣3＝﹣+n，
∴n＝﹣，
∴平移后的直线的解析式为y＝﹣x﹣①，
过点D（2，0）作DH⊥MC于H，
则直线DH的解析式为y＝2x﹣4②，
联立①②并解得，
∴H（1，﹣2），
∵D（2，0），M（3，﹣3），
∴DH＝＝，HM＝＝，
∴DH＝HM．
∴∠DMC＝45°，
∵∠ADM＝∠DMC+∠ACM，
∴∠ADM﹣∠ACM＝45°为常数；
（3）解：存在，理由：
如图2中，过点G作GH⊥OA于H，过点E作EK⊥OA于K．
∵∠BEF＝2∠BAO，∠BEF＝∠BAO+∠EFA，
∴∠EFA＝∠BAO，
∵∠EFA＝∠GFH，tan∠BAO＝，
∴tan∠GFH＝tan∠EFK＝，
∵GH∥EK，
∴，设GH＝4k，EK＝3k，
则OH＝HG＝4k，FH＝8k，FK＝AK＝6k，
∴OF＝AF＝12k＝3，
∴k＝，
∴OF＝3，FK＝AK＝，EK＝，
∴OK＝，
∴E（，）．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2﹣（6a﹣2）x+b与直线AC交于另一点B（4，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知x轴上一动点Q（m，0），连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求出m的值．
解：（1）点C的坐标为（0，1），b＝1，
将点B坐标代入代入一次函数表达式得：3＝4k+1，解得：k＝，
则一次函数表达式为：y＝x+1，则点A坐标为（﹣2，0），
把点C、B坐标代入二次函数表达式得：3＝a×42﹣4（6a﹣2）+1，解得：a＝，
则二次函数表达式为：y＝x2﹣x+1；
（2）①如下图，当∠AQB＝90°时，
△ABQ与△AOC相似，m＝4，
②当∠ABQ＝90°时，△ABQ与△AOC相似，
AB＝＝3，cos∠BAO＝＝，
则AQ＝＝，
则m＝﹣2＝，
即：m的值为4或．
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N．
（1）如图，若此抛物线过点A（3，﹣1），求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，
①求∠ABO的度数；
②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作CD∥x轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∽△BNA时，线段CD的长为 1+ ．
（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为（2，0），当∠MHN＝90°时，请直接写出k的值．
解：（1）将点A的坐标代入y＝x2﹣kx﹣2k并解得k＝2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣4；
（2）①对于y＝x2﹣2x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，故点B（0，﹣4），
而点A（3，﹣1），
点A、B横坐标的差和纵坐标的差相等，AB与x轴的夹角为45°，
故∠ABO＝45°；
②由抛物线的表达式知，点N（1，﹣5），
由点A、B、N的坐标知，BN2＝12+（﹣5+4）2＝2，AB＝3，
∵△BPN∽△BNA，
∴，即BP＝＝＝，
由①知，∠ABO＝45°，故△BPD为等腰直角三角形，
故BD＝BP＝×＝，故点D（0，﹣），
当y＝﹣时，即x2﹣2x﹣4＝﹣，
解得x＝1±（舍去负值），
故CD的长为x＝1+，
故答案为1+；
（3）y＝x2﹣kx﹣2k＝x2﹣k（x+2），
当x＝﹣2时，y＝x2﹣kx﹣2k＝4，即点H（﹣2，4），
如图，过点H作y轴的平行线交过点N与x轴的平行线于点G，HG交x轴于点K，
由抛物线的表达式知，点N（k，﹣﹣2k），
∵∠NHG+∠MHG＝90°，∠MHG+∠HMO＝90°，
∴∠NHG＝∠HMO，
∴tan∠NHG＝tan∠HMO，即，
∴＝，解得k＝﹣4或﹣6，
当k＝﹣4时，点N的坐标为（﹣2，4）和点H重合，故舍去k＝﹣4，
故k＝﹣6．
（三）二次函数与图形变换问题（平移、旋转、对称）（共3题）
1．如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（3，4），点C的坐标为（0，4），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C，连接AC，点M是线段AC上一动点，连接OM，点N在线段AM上（不与点M重合）连接ON并延长交边AB于点E，连接ME．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当ON＝时，求线段CN的长；
（3）在（2）的条件下，将△MOE绕点O逆时针旋转得到△M1OE1，使OE1落在线段OC上，如图②，当＝时，过点C作CP∥M1E1交抛物线于点P（点C除外），请直接写出点P的横坐标．
解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4①；
（2）过点N作NH⊥x轴于点H，
在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝，
则设HN＝4x，则AH＝3x，AN＝5x，
则OH＝3﹣3x，
在Rt△ONH中，ON2＝OH2+NH2，
即（）2＝（3﹣3x）2+（4x）2，
解得x＝（舍去）或，
故点N（，），
故AN＝5x＝1，
由点A、C的坐标得，AC＝5，
则CN＝CA﹣AN＝5﹣1＝4；
（3）由点O、N的坐标得，直线ON的表达式为y＝x，
当x＝3时，y＝x＝1，故点E（3，1），则OE＝＝OE1，
当＝时，MA＝AC＝，
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为y＝﹣x+3，
设点M（x，3﹣x），
由AM2＝（）2＝（x﹣3）2+（3﹣x）2，解得x＝，
故点M的坐标为（，），
由点E、M、O的坐标得：ME2＝（﹣3）2+（﹣1）2＝3.6，
同理可得：OE2＝6.4，OE2＝10，
∵ME2+OE2＝OE2，故△OEM是直角三角形，
则tan∠MOE＝＝＝tan∠M1OE1，
过点M1作M1K⊥y轴于点K，
则∠E1M1K＝∠M1OK，
则tan∠E1M1K＝tan∠M1OK＝，
∵CP∥M1E1，
故设直线CP的表达式为y＝x+b，
∵点C（0，4），故b＝4，
故直线CP的表达式为y＝x+4②，
联立①②并解得x＝0（舍去）或，
即点P的横坐标为．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC．且OA：OB：OC＝1：2：3．
（1）请求出抛物线解析式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，是否存在直线OP平分四边形ABPC的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，现将原抛物线沿射线CB方向移动，平移后点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．记BC中点为K，连接B'K、A'K．若∠KA′B'＝∠KB'A'，请直接写出原抛物线平移的距离．
解：（1）由抛物线y＝ax2+bx+6知，c＝6，即OC＝6，
而OA：OB：OC＝1：2：3，故OA＝2，OB＝4，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0）、（0，6），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
则﹣8a＝6，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝﹣（x2﹣2x﹣8）＝﹣x2+x+6；
（2）设点P的坐标为（m，n），则n＝﹣m2+m+6①，
则四边形ABPC的面积＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝×2×6+×6?m+×4×n＝3m+2n+6，
△POB的面积＝×OB?n＝×4n＝2n，
由题意得：4n＝3m+2n+6②，
联立①②并解得（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（2，6）；
（3）∵BC中点为K，则点K（2，3），
设直线BC的表达式为y＝kx+t，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+6，
则设抛物线向右平移2m个单位就向下平移了3m个单位，
则A′、B′的坐标分别为（﹣2+2m，﹣3m）、（4+2m，﹣3m），
∵∠KA′B'＝∠KB'A'，则点K在A′B′的中垂线上，
即2＝（﹣2+2m+4+2m），解得m＝，
则抛物线向右平移1个单位就向下平移了个单位，
则平移的距离为＝．
3．如图，过原点的抛物线y＝﹣x2+2x与x轴交于点A，B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．
（1）将△POC绕着点P按顺时针方向旋转90°，得△PO′C′，当点C′落在抛物线上时，求点P的坐标；
（2）当PB⊥OA时，将线段PC绕平面某点旋转180°得到线段EF，若点E、F都落在抛物线上，求点E和F的坐标；
（3）当（1）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为M、N，是否存在n，使得以O、M、N、A为顶点的四边形周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
解：（1）y＝﹣x2+2x＝﹣x（x﹣4）＝﹣（x﹣2）2+2．
∴点B的坐标为（2，2）．
∴∠BOA＝45°．
∴△POC为等腰直角三角形．
如图1，过C′作C′D⊥O′P于D，设点P的横坐标为m，
∵O′P＝OP＝m．
∴C′D＝O′P＝．
∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，）．
当点O′在y＝﹣x2+2x上．
则y＝﹣m
﹣m2+2m＝m．
解得：m1＝2，m2＝0（舍去）．
∴m＝2．
当点C′在y＝﹣x2+2x上，
同理可得：m＝或0（舍去），
∴m＝，
故点P的坐标为（，0）；
（2）如图2，当PB⊥OA时，则点P（2，0），点C的坐标为（1，1），
设线段PC绕平面某点旋转180°得到线段EF，
点P与点E为对应点（点P与点F是对应点计算结果相同），
设旋转中点的坐标为（a，b），
由中点公式得，点E、F的坐标分别为（2a﹣1，2b﹣1）、（2a﹣2，2b），
将点E、F的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得，
故点E、F的坐标分别为（﹣，﹣）、（﹣，﹣）；
（3）存在n＝，抛物线向左平移．
当m＝时，点C′的坐标为（，）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．
以过点B的直线y＝2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．
当M为OA″与直线y＝2的交点时，四边形OMNA的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′＝AC′，点A（4，0），点C′（，），点B（2，2）．
∴点A′（，）．
∴点A″的坐标为（，）．
设直线OA″的解析式为y＝kx，将点A″代入得：k＝，
解得：k＝．
∴直线OA″的解析式为y＝x．
将y＝2代入得：x＝2，
解得：x＝，
∴点M得坐标为（，2）．
∴n＝2﹣＝．
∴存在n＝，抛物线向左平移．
（四）二次函数与角、线段有关问题（共8题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．抛物线顶点纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标．
（2）如图1，过C作x轴的平行线，与抛物线交于点M，连接AM、BM，在y轴上是否存在点N，使∠ANB＝∠AMB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）把线段OC绕O点顺时针旋转，使C点恰好落在抛物线对称轴上的点P处，如图2，再将线段OP绕P点逆时针旋转45°得线段PQ，请计算Q点坐标，并判断Q点在抛物线上吗？
解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），
函数的对称轴为x＝3，当x＝3时，y＝a（x2﹣6x+5）＝﹣4a＝﹣4，解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣6x+5，
当x＝0时，y＝5，故点C（0，5）；
（2）存在，理由：
根据点的对称性，点C（0，5），函数对称轴为x＝3，故点M（6，5），
∵∠ANB＝∠AMB，则点N、M、B、A四点共圆，
∵△ABM的外接圆圆心在抛物线的对称轴上，故设圆心为H（3，m），设点N（0，t），
则MH＝BH，
即（5﹣3）2+（m﹣0）2＝（5﹣3）2+（m﹣5）2，解得m＝3，
故点H（3，3），
同样HM＝HN，即（5﹣3）2+（m﹣0）2＝（0﹣3）2+（t﹣3）2，解得t＝1或5，
故点N的坐标为（0，1）或（0，5），
根据图象的对称性，符合条件的点N还有（0，﹣1）或（0，﹣5），
故点N的坐标为（0，1）或（0，5）或（0，﹣1）或（0，﹣5）；
（3）不在，理由：
设函数对称轴交x轴于点D，
在Rt△OPD中，OP＝OC＝5，OD＝3，则PD＝4，
故P（3，4），则OP＝5，
设直线PQ交x轴于点K，则KR⊥OP于点R，
tan∠POD＝，
在Rt△ORK中，设RK＝4x，则OR＝3x，OK＝5x，
在Rt△RKP中，∠RPK＝45°，则PR＝RK＝4x，
则OP＝OR+PR＝7x＝5，解得x＝，故OK＝5x＝，
故点K（，0），
由点P、K的坐标得，直线PK的表达式为y＝﹣7x+25，
设点Q的坐标为（s，﹣7s+25），
由PQ＝PO＝5得：（3﹣s）2+（4+7s﹣25）2＝25，
解得s＝（不合题意值已舍去），
故点Q的坐标为（，），
当x＝时，y＝x2﹣6x+5＝﹣3.5≠，
故点Q不在抛物线上．
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
C：y＝x2+4x+3的顶点为M，与y轴交点为N．
（Ⅰ）求点M，N的坐标；
（Ⅱ）已知点P（4，2），将抛物线C向上平移得抛物线C′，点N平移后的对应点为N′，且PN′＝ON′，求抛物线C'的解析式；
（Ⅲ）如图，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点A，与直线OM交于点
B．现将抛物线C平移，保持顶点在直线OB上，若平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，求它的顶点横坐标h的取值范围．
解：（Ⅰ）对于y＝x2+4x+3，令x＝0，则y＝3，故点N（0，3），
∵y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，
故点M的坐标为（﹣2，﹣1）；
（Ⅱ）设平移后抛物线的表达式为y＝x2+4x+m，则点N′（0，m），
由PN′＝ON′得，42+（m﹣2）2＝m2，解得m＝5，
故C′抛物线的表达式为y＝x2+4x+5；
（Ⅲ）∵直线y＝﹣2x+9①与y轴交于点A，则点A（0，9），
设直线OB的表达式为y＝kx，将点M的坐标代入上式得：﹣1＝﹣2k，解得k＝，
故直线OB的表达式为y＝x，
设平移后的抛物线为抛物线C″，其顶点为R，则设点R（h，h），
则C″的表达式为y＝（x﹣h）2+h②，
当抛物线C″过点A时，将点A的坐标代入上式得：9＝（0﹣h）2+h，解得h＝，
故当≤h＜时，平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，
当抛物线C″与直线AB只有一个公共点时，
联立①②并整理得：x2+（﹣2h+2）x+h﹣9＝0，
则△＝（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）＝0，解得h＝4，
当h＝4时，x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9＝0，即为x2﹣6x+9＝0，解得x＝3，
故唯一交点的坐标为（3，3），该点在射线AB上，
故顶点横坐标h的取值范围为≤h＜或h＝4．
3．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．
解：（1）∵A（﹣1，0），则OA＝1，
又∵CO＝3AO，∴OC＝3，C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由﹣x2+2x+3＝0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将点B（3，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点D（x，﹣x+3）（0＜x＜3），
∴，
∴当时，PD有最大值；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OC＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∵∠BCP＝45°，
∴∠BCP＝∠BCO＝45°，
∴CP∥OB，
设P（t，3），代入抛物线y＝﹣x2+2x+3得P（2，3），
故CP＝2﹣0＝2，
在△CMB和△CPB中，
，
∴△CMB≌△CPB（ASA），
∴CM＝CP＝2，
∴OM＝3﹣2＝1，
∴点M（0，1）．
4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标 （1，2） ；
（2）直接写出△ABC的形状为 等腰直角三角形 ；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）①把点A（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+中得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+；
②y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点B的坐标为（1，2）；
故答案为：（1，2）
（2）△ABC的形状是等腰直角三角形，理由是：
如图1，
∵A（﹣1，0），C（3，0），B（1，2），
∴AC2＝（3+1）2＝16，
AB2＝（1+1）2+22＝4+4＝8，
BC2＝（3﹣1）2+（2﹣0）2＝4+4＝8，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴△ABC的形状是等腰直角三角形；
（3）由题意得：P（m，﹣m2+m+），
∵A（﹣1，0），B（1，2），
设直线AB的解析式为：y＝kx+n（k≠0），
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝x+1，
∴D（0，1），
同理可得直线CD的解析式为：y＝﹣x+1，
如图2，过P作PN∥y轴，交CD于N，
∴N（m，﹣m+1），
∴PN＝﹣m2+m+﹣（﹣m+1）＝﹣m2+m+，
∴S＝，
＝，
＝﹣m2+2m+，
＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，S有最大值；
（4）分两种情况：
①当Q在x轴的下方时，如图3，延长BA，CQ交于点F，过F作FG⊥y轴于G，
∵∠BCA+∠QCA＝∠α，且tanα＝2，
∴＝2，
∵BC＝AB＝2，
∴AF＝2，
∵∠FAG＝∠BAC＝45°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴AG＝FG＝2，
∴F（﹣3，﹣2），
∵C（3，0），
同理得直线CF的解析式为：y＝x﹣1，
∵﹣x2+x+＝x﹣1，
3x2﹣4x﹣15＝0，
（x﹣3）（3x+5）＝0，
x1＝3，x2＝﹣，
∴Q的横坐标为﹣；
②当Q1在x轴的上方时，如图4，
∵∠QCA＝∠Q1CA，OD＝OH＝1，
由对称得：CQ1经过点D，
∴CQ1的解析式为：y＝﹣x+1，
∴﹣x2+x+＝﹣x+1，
解得：x1＝3，x2＝﹣，
∴Q1的横坐标为﹣，
综上，Q的横坐标为﹣或﹣．
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．
（1）求a的值；
（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．
（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．
解：（1）对于抛物线y＝ax2+3ax﹣18a，
令y＝0，可得ax2+3ax﹣18a＝0，
解得x＝﹣6或3，
∴C（﹣6，0），A（3，0），
∴OC＝6，OA＝3，
∴AC＝9，
∵AC＝OB，
∴OB＝6，
∴B（0，6），
∴﹣18a＝6，
∴a＝﹣．
（2）如图1中，取AB的中点T，连接OT，设PA交OT于N，交OB于M．
∵OA＝3，OB＝6，
∴AB＝＝3，
∵∠AOB＝90°，AT＝BT，
∴TO＝TB＝TA＝，
∴∠OBA＝∠TOB，
∴∠ATO＝∠OBA+∠TOB＝2∠OBA，
∵2∠OBA+∠DAB＝90°，
∴∠ATO+∠DAB＝90°，
∴∠ANT＝90°，
∵S△AOT＝S△AOB＝?OT?AN，
∴AN＝＝，
∴ON＝＝＝，
∵∠OAN＝∠OAM，∠ONA＝∠AOM＝90°，
∴△ANO∽△AOM，
∴＝，
∴＝，
∴OM＝，
∴M（0，），
∵A（3，0），
∴直线AP的解析式为y＝﹣x+，
由，
解得或，
∴P（﹣，）．
（3）如图2中，过点E作ES∥AC交AD于S，交y轴于L，设直线AD交QE于J．
∵AD平分线段QE，
∴JE＝JQ，
∵ES∥AQ，
∴∠ESJ＝∠QAJ，
∵∠EJS＝∠QJA，
∴△ESJ≌△QAJ（AAS），
∴ES＝AQ，
∵BE：AQ＝4：3＝4：15，
∴可以假设BE＝4m，AQ＝ES＝15m，则BL＝8m，LE＝4m，
∴SL＝11m，OL＝6﹣8m，
∴S（﹣11m，6﹣8m），
∵点S在直线AD：y＝﹣x+上，
∴6﹣8m＝m+，
解得m＝，
∴AQ＝5，OQ＝AQ﹣AO＝2，
∴Q（﹣2，0），
当S△MNK＝4时，过点M作MW⊥QR于W．
∵QR∥OM，
∴∠MNK＝∠NMB，
∵∠NMK＝∠NMB，
∴∠NMK＝∠MNK，
∴MK＝KN，
∴?KN?2＝4，
∴KN＝MK＝4，
∵∠MWK＝90°，KM＝4，WM＝OQ＝2，
∴MK＝2MW，
∴∠MKE＝30°，
∴∠MKN＝180°﹣30°＝150°，
当S△M′K′N′＝4时，同法可得∠M′K′N′＝30°，
综上所述，满足条件的∠MKN的值为30°或150°．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+c与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B坐标为（4，0）．
（1）求点C坐标；
（2）若点P是射线CB上一点，过点P作PH⊥x轴于H，交抛物线于点Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，线段PH的长为e．
①求出d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②若d，e为关于z的方程z2﹣（m+3）z+（m2+9）＝0（m为常数）的两根，则抛物线上是否存在这样的点M，使得MP平分∠QMH，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）将点B的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣42+12+c，
解得c＝4，
故点C的坐标为（0，4）；
（2）①设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝﹣x+4，
而抛物线的表达式为y＝﹣x2+3x+4，
设点P（t，4﹣t），则点Q（t，﹣t2+3t+4），
则d＝PQ＝|﹣t2+3t+4﹣4+t|＝|﹣t2+4t|，e＝PH＝|4﹣t|，
故d与t之间的函数关系式为；
②若d，e为关于z的方程z2﹣（m+3）z+（m2+9）＝0（m为常数）的两根，
则△＝（﹣m﹣3）2﹣4×（m2+9）＝﹣（m﹣3）2≥0，
而﹣（m﹣3）2≤0，
故△＝0，即d＝e，
即PQ＝PH，
当点P在x轴上方时，
∵MP平分∠QMH，
过点P作PG⊥HM于点G，作PK⊥QM于点K，
则PK＝PG，
而PQ＝PH，
∴Rt△PMQ≌Rt△PGH（HL），
∴∠MQH＝∠MHQ，
∴△QHM为等腰三角形，
∴PM⊥QH，
而PQ＝PH，
故PM是HQ的中垂线，
∵d＝e，即﹣t2+4t＝4﹣t，解得t＝4（舍去）或1，
故点P的坐标为（1，3），
当y＝3时，y＝﹣x2+3x+4＝3，解得x＝（不合题意的值已舍去），
故点M的坐标为（，3）；
当点P在x轴下方时，
同理可得：t＝1或4（舍去），
综上，点M的坐标为（，3）．
7．直线BE：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、E，抛物线L：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图1，点P在y轴上，连接BP，若∠OCB+∠OPB＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线L1，平移直线BE经过原点O，交抛物线L1于点F．点M（﹣，0），点N是L1第一象限内一动点，MN交L1于Q点，QR∥x轴分别交OF、ON于S、R，试探究QS与SR之间的数量关系．
解：（1）对于y＝﹣x+1，令y＝﹣x+1＝0，解得x＝1，令x＝0，则y＝1，
故点B、E的坐标分别为（1，0）、（0，1），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
故﹣3a＝﹣3，解得a＝1，
故抛物线L的表达式为y＝x2+2x﹣3；
（2）如图，连接BC，在OC上取点D使OD＝OE，连接BD，则△BOD为等腰直角三角形，
则∠ODB＝∠OBD＝45°＝∠OCB+∠OPB，
而∠ODB＝∠OPB+∠PBD，
∴∠PBD＝∠OCB，
而∠BDP＝∠BDC，
∴△DPB∽△DBC，
∴，即，解得PD＝1，
故点P（0，﹣2），
由对称性知，点P（0，2）也符合条件，
故点P的坐标为（0，﹣2）或（0，2）；
（3）QS＝SR．理由如下：
∵将抛物线L平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线L1，将直线DB向下平移经过坐标原点O，交抛物线L1于另一点F，
∴抛物线L1的解析式为y＝x2，直线OF的解析式为：y＝﹣x，
不妨设N（n，n2），
∵点M（﹣，0），
∴直线MN的解析式为：y＝x+，
同理，直线ON的解析式为y＝nx，
∵MN交L1于Q点，
∴点Q（﹣，），
∵QR∥x轴分别交OF，ON于S，R，
∴S（﹣，），R（，），
∴QS＝，SR＝，
∴QS＝SR．
8．抛物线y＝ax2+x+c的对称轴为x＝1，与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D是抛物线的顶点，点E为抛物线对称轴上一点，点Q为抛物线对称轴右侧上一点，若△BOC与△DEQ相似，求点Q的坐标．
（3）点P是直线y＝5上的动点（点P不在抛物线的对称轴上），过点P的两条直线l1，l2与抛物线均只有唯一公共点且都不与y轴平行，l1，l2分别交抛物线的对称轴于点M、N，点G为抛物线对称轴上点M、N下方一点，若恒有GP2＝GM?GN，求点G的坐标．
解：（1）由题意得：，解得，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4①；
（2）由（1）知，点A、B、C、D的坐标分别为（4，0）、（﹣2，0）、（0，4）、（1，），
∵△BOC为直角三角形且＝＝，
设点Q的坐标为（m，n），则n＝﹣m2+m+4②；
①当∠DQE为直角时，如图1，
故点Q作y轴的平行线交过点与x轴的平行线于点M，交过点E与x轴的平行线于点N，
∵∠DQM+∠EQN＝90°，∠EQN+∠QEN＝90°，
∴∠DQM＝∠QEN，
∵∠DMQ＝∠QNE＝90°，
∴△DMQ∽△QNE，
∵△BOC与△DEQ相似且OB：OC＝，
∴△DMQ和△QNE的相似比为或2，
即＝或2，
而MQ＝yD﹣yQ＝﹣n，EN＝m﹣1，
故③，
联立②③并解得：m＝1（舍去）或2或5，
故点Q的坐标为（2，4）或（5，﹣3.5）；
②当∠DEQ为直角时，如图2，
同理可得，点Q的坐标为（2，4）．
综上，点Q的坐标为（2，4）或（5，﹣3.5）；
（3）设点P的坐标为（p，5），设直线y＝5与函数的对称轴交于点H，
则过点P的直线的表达式为y＝k（x﹣p）+5④，
联立①④并整理得：﹣x2+（1﹣k）x+kp﹣1＝0，
令△＝（1﹣k）2﹣4×（﹣）?（kp﹣1）＝0，
即k2+（2p﹣2）k﹣1＝0，
则k1+k2＝2﹣2p，k1k2＝﹣1，
当x＝1时，y＝k（1﹣p）x+5＝k（1﹣p）+5，
故yM＝k1（1﹣p）+5＝y1，yN＝k2（1﹣p）+5＝y2，
设点G（1，t），
∵GP2＝GM?GN，
∴GH2+PH2＝GM?GN，即（5﹣t）2+（p﹣1）2＝（y1﹣t）（y2﹣t），
即（5﹣t）2+（p﹣1）2＝y1y2﹣t（y1+y2）+t2，
∴（5﹣t）2+（p﹣1）2＝[k1（1﹣p）+5][k2（1﹣p）+5]﹣t[k1（1﹣p）+5+k2（1﹣p）+5]+t2，
∴（5﹣t）2+（p﹣1）2＝﹣（1﹣p）2+5（1﹣p）（2﹣2p）+25﹣t[（1﹣p）（2﹣2p）+10]+t2，
∴（5﹣t）2+（p﹣1）2＝﹣（1﹣p）2+10（1﹣p）2+25﹣2t（1﹣p）2﹣10t+t2，
即（8﹣2t）（1﹣p）2＝0，
∵该式恒成立，故与p无关，
故8﹣2t＝0，解得t＝4，
故点G（1，4）．
（五）二次函数与圆有关问题（共2题）
1．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）求抛物线的解析式；
（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．
∵与y轴相切于点D（0，4），
∴CD⊥OD，
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形，
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∴BM＝8﹣r，
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，
∴r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5，
∴C（5，4），
∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．
（2）点C的坐标为（5，4），则抛物线的对称轴为x＝5，
点B（8，0），根据函数的对称性，点A（2，0），
则抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），
将点D的坐标代入上式得：4＝a（﹣2）（﹣8），解得a＝，
故抛物线的表达式为y＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣x+4．
（3）结论：AE是⊙C的切线．
理由：连接AC，CE．
由抛物线的表达式知，顶点E（5，﹣），
∵AE＝＝，CE＝4+＝，AC＝5，
∴EC2＝AC2+AE2，
∴∠CAE＝90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙C的切线．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．
（1）求出抛物线的对称轴；
（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）令y＝mx﹣4m＝0，解得x＝4，故点M（4，0），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过原点O，则c＝0，
故抛物线的表达式为y＝ax2+bx，
将点M的坐标代入上式得：16a+4b＝0，即b＝﹣4a，
故抛物线的表达式为y＝ax2﹣4ax①，
则抛物线的对称轴为x＝2；
（2）由（1）知，OC＝2，则△OBC为边长为2的等边三角形，
则该三角形的高为2×sin60°＝，故点B的坐标为（1，），
在Rt△EBC中，∠EBC＝90°﹣∠ECB＝90°﹣60°＝30°，
故OE＝2BC＝4，则点E的坐标为（﹣2，0），
设切线l的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线l的表达式为y＝x+②，
（3）存在，理由：
∵抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，
则有一个点D为抛物线的顶点，如下图，
根据函数的对称轴，则△OMD为边长为4的等边三角形，
同理可得，点D（2，﹣2），即抛物线的顶点为D，
将点D的坐标代入①得：﹣2＝4ax﹣8a，解得a＝，
则抛物线的表达式为y＝x2﹣2x③，
联立②③并整理得：3x2﹣14x﹣4＝0，
解得x＝，则xQ﹣xP＝，
过点N作NH∥y轴交PQ于点H，
设点N（x，x2﹣2x），则点H（x，x+），
则S△PQN＝S△HNP+S△HNQ＝?HN?（xQ﹣xP）＝（x+﹣x2+2x）＝（﹣x2+x+），
∵a＜0，
故抛物线开口向下，△PNQ的面积存在最大值，
此时x＝，则点N的坐标为（，﹣）．九年级数学期末考试二次函数专题复习（五）
一、二次函数综合题（共22题）
（一）二次函数与四边形问题（共6题）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连结AC、BC、DB、DC．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值．
（3）当m＝2时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
4．如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一交点为B，且与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求点B的坐标；
（3）该二次函数图象上有一点D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；
（4）若点P在直线AC上，点Q是平面上一点，是否存在点Q，使以点A、点B、点P、点Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH的长度；
（3）在（2）中，HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F′作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
6．如图，直线y＝x﹣3与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，3）．△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（t＞0）秒，直线DF交x轴于点G，交抛物线于点P，连接PE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当S△PEF＝3时，请求出t的值；
（3）如图2，点M为抛物线顶点，在平面内找一点N，使点O，M，F，N为顶点构成菱形，请直接写出满足条件的点N的坐标．
（二）二次函数与相似问题（共3题）
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y＝﹣x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M坐标．
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，此时发现∠ADM﹣ACM是个常数，请写出这个常数，并证明．
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G，当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线y＝ax2﹣（6a﹣2）x+b与直线AC交于另一点B（4，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）已知x轴上一动点Q（m，0），连接BQ，若△ABQ与△AOC相似，求出m的值．
3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣kx﹣2k（k为常数）的顶点为N．
（1）如图，若此抛物线过点A（3，﹣1），求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，
①求∠ABO的度数；
②连接AB，点P为线段AB上不与点A，B重合的一个动点，过点P作CD∥x轴交抛物线在第四象限部分于点C，交y轴于点D，连接PN，当△BPN∽△BNA时，线段CD的长为
．
（3）无论k取何值，抛物线都过定点H，点M的坐标为（2，0），当∠MHN＝90°时，请直接写出k的值．
（三）二次函数与图形变换问题（平移、旋转、对称）（共3题）
1．如图①，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B的坐标为（3，4），点C的坐标为（0，4），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C，连接AC，点M是线段AC上一动点，连接OM，点N在线段AM上（不与点M重合）连接ON并延长交边AB于点E，连接ME．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当ON＝时，求线段CN的长；
（3）在（2）的条件下，将△MOE绕点O逆时针旋转得到△M1OE1，使OE1落在线段OC上，如图②，当＝时，过点C作CP∥M1E1交抛物线于点P（点C除外），请直接写出点P的横坐标．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+6交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC．且OA：OB：OC＝1：2：3．
（1）请求出抛物线解析式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上一动点，是否存在直线OP平分四边形ABPC的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，现将原抛物线沿射线CB方向移动，平移后点A的对应点为点A'，点B的对应点为点B'．记BC中点为K，连接B'K、A'K．若∠KA′B'＝∠KB'A'，请直接写出原抛物线平移的距离．
3．如图，过原点的抛物线y＝﹣x2+2x与x轴交于点A，B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．
（1）将△POC绕着点P按顺时针方向旋转90°，得△PO′C′，当点C′落在抛物线上时，求点P的坐标；
（2）当PB⊥OA时，将线段PC绕平面某点旋转180°得到线段EF，若点E、F都落在抛物线上，求点E和F的坐标；
（3）当（1）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为M、N，是否存在n，使得以O、M、N、A为顶点的四边形周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．
（四）二次函数与角、线段有关问题（共8题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．抛物线顶点纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标．
（2）如图1，过C作x轴的平行线，与抛物线交于点M，连接AM、BM，在y轴上是否存在点N，使∠ANB＝∠AMB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）把线段OC绕O点顺时针旋转，使C点恰好落在抛物线对称轴上的点P处，如图2，再将线段OP绕P点逆时针旋转45°得线段PQ，请计算Q点坐标，并判断Q点在抛物线上吗？
2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
C：y＝x2+4x+3的顶点为M，与y轴交点为N．
（Ⅰ）求点M，N的坐标；
（Ⅱ）已知点P（4，2），将抛物线C向上平移得抛物线C′，点N平移后的对应点为N′，且PN′＝ON′，求抛物线C'的解析式；
（Ⅲ）如图，直线y＝﹣2x+9与y轴交于点A，与直线OM交于点
B．现将抛物线C平移，保持顶点在直线OB上，若平移后抛物线与射线AB（含端点A）只有一个公共点，求它的顶点横坐标h的取值范围．
3．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．
4．如图1，抛物线y＝ax2+bx+与x轴交于点A（﹣1，0），C（3，0），点B为抛物线顶点，连接AB，BC，AB与y轴交于点D，连接CD．
（1）①求这条抛物线的函数表达式；
②直接写出顶点B的坐标
；
（2）直接写出△ABC的形状为
；
（3）点P为抛物线上第一象限内的一个动点，设△PDC的面积为S，点P的横坐标为m，当S有最大值时，求m的值；
（4）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使∠BCA+∠QCA＝∠α，当tanα＝2时，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+3ax﹣18a（a≠0），交x轴于点A、C两点，与y轴交于点B，且AC＝OB．
（1）求a的值；
（2）连接AB、BC，点D为BC上一点，直线AD交对称轴左侧的抛物线于点P，当2∠OBA+∠DAB＝90°时，求P点坐标．
（3）在（2）的条件下，在AB上取点E，在AC上取点Q，使BE：AQ＝4：3，连接EQ，且AD平分线段EQ，在第二象限取点R，使射线QR⊥x轴于点Q，M为射线OB上的一点，在QR边上取点N，将∠OMN沿MN折叠，使MO的对应线段所在的直线与射线QR交于点K，得到△MNK的面积为4时，求∠MKN的度数．
6．如图，抛物线y＝﹣x2+3x+c与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知点B坐标为（4，0）．
（1）求点C坐标；
（2）若点P是射线CB上一点，过点P作PH⊥x轴于H，交抛物线于点Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，线段PH的长为e．
①求出d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
②若d，e为关于z的方程z2﹣（m+3）z+（m2+9）＝0（m为常数）的两根，则抛物线上是否存在这样的点M，使得MP平分∠QMH，若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
7．直线BE：y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、E，抛物线L：y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）如图1，点P在y轴上，连接BP，若∠OCB+∠OPB＝45°，求点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L平移，使其顶点是坐标原点O，得到抛物线L1，平移直线BE经过原点O，交抛物线L1于点F．点M（﹣，0），点N是L1第一象限内一动点，MN交L1于Q点，QR∥x轴分别交OF、ON于S、R，试探究QS与SR之间的数量关系．
8．抛物线y＝ax2+x+c的对称轴为x＝1，与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D是抛物线的顶点，点E为抛物线对称轴上一点，点Q为抛物线对称轴右侧上一点，若△BOC与△DEQ相似，求点Q的坐标．
（3）点P是直线y＝5上的动点（点P不在抛物线的对称轴上），过点P的两条直线l1，l2与抛物线均只有唯一公共点且都不与y轴平行，l1，l2分别交抛物线的对称轴于点M、N，点G为抛物线对称轴上点M、N下方一点，若恒有GP2＝GM?GN，求点G的坐标．
（五）二次函数与圆有关问题（共2题）
1．我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）求抛物线的解析式；
（3）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
2．已知抛物线y＝ax2+bx+c过点M和坐标原点O，一次函数y＝mx﹣4m与x轴交于点M．
（1）求出抛物线的对称轴；
（2）如图1，以线段OM为直径作⊙C，在第一象限内的圆上存在一点B，使得△OBC为等边三角形，求⊙C过点B的切线l的函数解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，当a＞0时，若抛物线上有且只存在三点D1、D2、D3，使得∠OD1M＝∠OD2M＝∠OD3M＝60°，过点B的切线与抛物线交于P、Q两点，试问：在直线PQ下方的抛物线上是否存在一点N，使得△PNQ的面积最大？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
