北师大版八年级下册数学4.3第2课时 完全平方公式课件 (共20张PPT)

第四章 因式分解
4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
1.因式分解：
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2－b2=(a＋b)(a－b)
1、把下列各式因式分解：
（2）ax4 - ax2
（1）16a2 – 9b2
=(4a)2 –(3b)2
=(4a+3b) (4a-3b)
=ax2(x2-1)
=ax2(x+1)(x-1)
2、你能用前面学过的方法把多项式x2+10x+25因式分解吗？
学习目标
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）
2.学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式．（难点）
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？
同学们拼出图形为：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a?
b?
ab
用完全平方公式分解因式
1
这个大正方形的面积可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a?
ab
ab
b?
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看，能得到：
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a?＋2ab＋b?和a?－2ab＋b?这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
2.m?－6m+9=( )? － 2· ( ) ·( )+( )? =( )?
1. x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a?±2ab+b?=(a±b)?，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a?;
（3）4b2+4b－1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b?与－1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
如果x2－6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. －11 D. －9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项：
－6x=2x×(－3),故可知N=(－3)2=9.
如果x2－mx+16是一个完全平方式,那么m的值为___.
解析：∵16=(±4)2，故－m=2×(±4)，m=±8.
±8
例1
练一练
分解因式：
（1）x2+14x+49； (2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
分析：(1)中， x2=x2, 49=7?,14x=2·x·7, 所以x2+14x
+49是一个完全平方式，即x2 + 14x +49= x2+ 2·x·7 + 72.
2
a
b
+b2
a2
(2)中，把（m＋n）看成一个整体，所以(m＋n)2－6(m＋n)＋9是一个完全平方式.
例2
解： (1)x2+＋14x ＋49
= (x + 7)2；
解：原式= x2 ＋ 2·x·7 ＋ 72
(2) (m＋n)2－6(m＋n)＋9
解：原式=[(m＋n)－3]2
=(m＋n－3)2.
把下列式子分解因式
(1)m2 -12mn+36n2
解：原式=m2-2·m·6n+(6n)2
=(m-6n)2
（2）a2-2a(b+c)+(b+c)2
解：原式=a2-2·a· (b+c) + (b+c) 2
=[a- (b+c) ]2
=(a-b-c)2
把下列各式分解因式：
(1)3ax2＋6axy＋3ay2 ；(2)－x2－4y2＋4xy.
解: (1)原式=3a（x2＋2xy＋y2）
=3a（x＋y）2；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为－(x2－4xy＋4y2),然后再利用公式分解因式.
(2)原式=－(x2－4xy＋4y2)
=－(x－2y)2.
例3
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
练一练
（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。
（3）因式分解要_________.
（2）因式分解通常首先考虑______________方法。
提取公因式法
彻底
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.