北师大版八年级下册数学1.2《直角三角形的性质与判定》课件 (共21张PPT)

创设情境
2002年国际数学家大会在我国北京召开，大会会徽是根据中国古代数学家赵爽的“弦图”设计的。
第一章 三角形的证明
2．直角三角形（一)
直角三角形有哪些性质？
反之,一个三角形满足什么条件
才能是直角三角形呢?
温故知新
c
a
b
新知讲解
想一想：直角三角形的两个锐角为什么互余呢？
已知：如图(1) 所示，在Rt?ABC中，∠C＝90°.
求证： ∠A +∠B＝90°.
证明：在Rt?ABC中，
∵∠A +∠B+∠C＝90°.
又∵∠C＝90°，
∴ ∠A +∠B＝90°.
即：直角三角形的两个锐角互余.
A
B
C
(1)
一、我们一起观察直角三角形的角和边，思考它的性质和判定方法。
（一）仅观察角
反之，如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
已知：如图(2) 所示，在?ABC中，∠A +∠B＝90°.
求证：?ABC是直角三角形
证明：在?ABC中，
∵∠A +∠B+∠C＝90°.
又∵∠A +∠B＝90°，
∴ ∠C＝90°.
∴?ABC是直角三角形.
即：有两个角互余的三角形是直角三角形.
新知讲解
A
B
C
(2)
直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
符号描述：
在Rt?ABC中，
∵ ∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=90° .
符号描述：
在?ABC中，
∵ ∠A+∠B=90°，
∴?ABC是直角三角形.
A
B
C
(2)
A
B
C
(1)
新知讲解
想一想：在上学期，我们通过数方格和割补法得到了勾股定理，你能说一说勾股定理的内容吗？
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
符号描述：
∵?ABC是直角三角形，且∠C＝90 ° ，
∴AC 2+BC 2=AB 2.
（二）仅观察边
新知讲解
A
B
C
证明：如图 ,作Rt ?A′B ′C ′ ,使∠A′＝90°,A′B ′＝AB, A′C ′＝AC,
则A′B ′ 2＋A′C ′ 2 ＝B ′C′ 2（勾股定理）.
∵AB2＋AC2＝BC2 ，
∴BC2 ＝ B ′C ′ 2.
∴BC ＝ B ′C ′.
∴?ABC≌?A′B ′C ′(SSS).
∴ ∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等）.
因此， ?ABC是直角三角形.
反之：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方, 那么这个三角形是直角三角形吗？
已知：如图所示，在?ABC中，AB2＋AC2＝BC2.
求证：?ABC是直角三角形
新知讲解
B
A
C
C′
A′
B′
直角三角形的判定定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
符号描述：
在?ABC中
∵ AC 2+BC 2=AB 2，
∴ ?ABC是直角三角形.
新知讲解
A
B
C
议一议：观察下面两组定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？
定理：直角三角形的两个锐角互余.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
议一议
议一议
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
条件 结论
条件 结论
再观察下面三组命题：
（1）如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
（2）如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？
新知讲解
条件 结论
条件 结论
注：互逆命题是一对命题的称呼，其中一个命题称原命题，另一个命题称原命题的逆命题．
你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?
如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等.
它们都是真命题吗?
第一个命题是真命题，它的逆命题是假命题.
注意：一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举反例就可以．
新知讲解
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
一、互逆命题、逆命题的定义
二、命题一定是真命题吗？
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
定理：直角三角形的两个锐角互余.
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
互逆定理
新知讲解
互逆定理
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
议一议：你还能想到其它互逆定理吗？
练一练
′
例1：说出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假？
四边形是多边形;
直角三角形有一个角是直角；
两直线平行,同旁内角互补;
如果ab=0,那么a=0,b=0.
游戏1：请甲同学说出一个命题,乙同学回答出它的逆命题,并判断这个逆命题的真假.若乙同学回答的逆命题和真假都正确，则乙胜，否则甲胜。轮流各出两次题，决出最终胜者。
读一读
2、中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
勾股定理的证明
1、请阅读教材P16勾股定理的证明材料，读完后与同伴交流证明过程中使用了哪些数学方法，并相互合作探究其他证明方法。
c
a

(弦)c
(勾)a

c
(股) b

c
a

∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2
c2 =2ab+b2-2ab+a2
c2 =a2+b2
∴a2+b2=c2
赵爽创制的“勾股圆方图”如图：
大正方形的面积可以表示为 ；
c2
4?ab/2+(b- a)2
赵爽的证法如下：
也可以用4个直角三角形和中间小正方形的面积之和表示为
解:(1)中间的小正方形边长可表示为b-a,当b-a=0,即b=a时，中间的小正方形面积最小。
知识拓展：
赵爽创制的“勾股圆方图”如图：请探究：
（1）勾a,股b满足什么关系时？中间的小正方形面积最小。
（2）当勾a对应的锐角为30°时，此图最和谐美丽，请问此时大正方形的面积和中间小正方形的面积有何关系？
A
c
a

(弦)c
(勾)a

c
(股) b

c
a

B
C
（2）当勾a对应的锐角为30°时，此图最和谐美丽，请问此时大正方形的面积和中间小正方形的面积有何关系？
A
c
a

(弦)c
(勾)a

c
(股) b

c
a

B
C
解：在Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=a，
∴AB=2BC=2a．
∴AC2=AB2－BC2=4a2－a2=3a2, 既AC=????a
?
∵大正方形的面积为：S大=c2= (2a)2=4a2,
小正方形的面积为：
S小= (b-a)2= (????a-a)2= (????-1)2a2=2?????2?4a2
?
∴S小=2?????2 S大
?
知识拓展：
1、说一说直角三角形在角上的性质与判定？
性质：直角三角形的两个锐角互余.
判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
2、说一说直角三角形在边上的性质与判定？
勾股定理（性质）：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理的逆定理（判定）：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
我会总结：
3、什么是互逆命题、互逆定理？
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
我会总结：
1、家庭作业
教科书习题1.5
2、调查研究
利用课余时间，去调查勾股定理在生活中的运用，并写出简要的调查过程和结论。
我的作业